{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy\nprawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 1\n8\nD. 1\n6\nA\nO\nS\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4; B. 1/3; C. 1/8; D. 1/6.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wylistowanie dzielników liczby 24\n\n**Od czego zaczynamy:** Zdarzenie A to \"wylosowana liczba jest dzielnikiem 24\". Musimy policzyć, ile liczb spośród \\(\\{1, 2, \\ldots, 24\\}\\) dzieli 24 bez reszty.\n\n**Rozkład na czynniki pierwsze:**\n\\[24 = 2^3 \\cdot 3^1\\]\n\n**Wylistujmy wszystkie dzielniki 24** - systematycznie, od najmniejszego:\n\n\\[1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 12,\\ 24\\]\n\nSprawdzenie: \\(24 \\div 1 = 24\\), \\(24 \\div 2 = 12\\), \\(24 \\div 3 = 8\\), \\(24 \\div 4 = 6\\), \\(24 \\div 6 = 4\\), \\(24 \\div 8 = 3\\), \\(24 \\div 12 = 2\\), \\(24 \\div 24 = 1\\). ✓\n\n**Liczba dzielników:** \\(|A| = 8\\)\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** \\(|\\Omega| = 24\\) (losujemy z 24 liczb, każda jednakowo prawdopodobna)\n\n**Obliczamy prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{8}{24} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na liczbę dzielników\n\nZamiast wypisywać dzielniki jeden po jednym, możemy skorzystać ze wzoru kombinatorycznego.\n\nJeśli \\(n = p_1^{a_1} \\cdot p_2^{a_2} \\cdot \\ldots \\cdot p_k^{a_k}\\), to **liczba dzielników** \\(n\\) wynosi:\n\\[\\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \\cdots (a_k + 1)\\]\n\nDla \\(24 = 2^3 \\cdot 3^1\\):\n\\[\\tau(24) = (3+1)(1+1) = 4 \\cdot 2 = 8\\]\n\nZatem:\n\\[P(A) = \\frac{8}{24} = \\frac{1}{3}\\]\n\nTen sposób jest szybszy, gdy liczba ma wiele dzielników - nie trzeba ich wypisywać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)**:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy klasycznej definicji prawdopodobieństwa - stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich możliwych wyników. Warunek: wszystkie wyniki **jednakowo prawdopodobne** (każda z 24 liczb jest tak samo prawdopodobna do wylosowania). ✓\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{4}\\) | Policzono tylko dzielniki \\(24\\) do \\(12\\), zapominając o samym \\(24\\) jako dzielniku; albo wzięto \\(\\frac{6}{24}\\) - czyli pominięto część dzielników |\n| C - \\(\\frac{1}{8}\\) | Obliczono odwrotność liczby dzielników: \\(\\frac{1}{8}\\) zamiast \\(\\frac{8}{24}\\); błąd konceptualny - pomylono liczbę dzielników z prawdopodobieństwem |\n| D - \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono tylko \\(4\\) dzielniki (np. \\(1, 2, 3, 4\\)) z pominięciem \\(6, 8, 12, 24\\); albo pomylono dzielniki z liczbami pierwszymi do 24 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że **każda liczba jest swoim własnym dzielnikiem** - tutaj \\(24\\) dzieli \\(24\\), więc \\(24\\) jest dzielnikiem i należy do zdarzenia A. Uczniowie często o tym zapominają!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielniki to pary - jeśli \\(d | 24\\), to też \\(\\frac{24}{d} | 24\\). Szukaj parami: \\((1,24)\\), \\((2,12)\\), \\((3,8)\\), \\((4,6)\\) - łącznie 8 dzielników. Metoda parowania chroni przed pominięciem dzielnika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić dzielników liczby 24 z liczbami pierwszymi mniejszymi od 24. Liczby pierwsze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\\) - jest ich 9, a nie 8, i to zupełnie inne zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie dzielników\nDzielniki \\(24\\): \\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\\). Razem: **8 dzielników**.\n\nWszystkich możliwości: \\(24\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez rozkład na czynniki\n\\(24 = 2^3\\cdot 3\\). Liczba dzielników = \\((3+1)(1+1) = 8\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - dałoby \\(\\tfrac{6}{24}\\); pominięto 2 dzielniki.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{8}\\)** - policzono tylko \\(\\tfrac{3}{24}\\) czy podobnie.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - \\(\\tfrac{4}{24}\\); połowa dzielników pominięta.\n\n**Przypomnienie:** dzielniki liczby \\(n = p_1^{a_1}\\cdot p_2^{a_2}\\cdot\\ldots\\) to \\((a_1+1)(a_2+1)\\cdot\\ldots\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie dzielników liczby 24\n1. **Zidentyfikuj dzielniki liczby 24:** Dzielniki liczby 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.\n2. **Zwróć uwagę na warunki zadania:** Liczba musi być w przedziale od 1 do 24 i nie może być podzielna przez 24.\n3. **Zlicz dzielniki spełniające warunki:** Z listy dzielników liczby 24, liczby spełniające warunki to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.\n4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.\n5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{7}{24}\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na prawdopodobieństwo i eliminacja nieprawidłowych odpowiedzi\n1. **Zdefiniuj zdarzenie A:** Zdarzeniem A jest wylosowanie liczby, która jest dzielnikiem liczby 24.\n2. **Oblicz liczbę wszystkich możliwych wyników:** Można wylosować dowolną liczbę od 1 do 24, więc liczba wszystkich możliwych wyników to 24.\n3. **Oblicz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A:** Jak w sposobie 1, liczby dzielące 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.\n4. **Oblicz prawdopodobieństwo:** P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.\n5. **Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{7}{24}\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 1/4:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-12, a nie z przedziału 1-24.\n* **C. 1/8:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 8. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.\n* **D. 1/3:** To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 3. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.<br>Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy<br>prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe<br>A. 1<br>4<br>B. 1<br>3<br>C. 1<br>8<br>D. 1<br>6<br>A<br>O<br>S</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4; B. 1/3; C. 1/8; D. 1/6.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający oblicza prawdopodobieństwa<br>w prostych sytuacjach, stosując klasyczną<br>definicję prawdopodobieństwa (10.3).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych<br>Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki<br>zadania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wylistowanie dzielników liczby 24</h4>\n<p><strong>Od czego zaczynamy:</strong> Zdarzenie A to &quot;wylosowana liczba jest dzielnikiem 24&quot;. Musimy policzyć, ile liczb spośród \\(\\{1, 2, \\ldots, 24\\}\\) dzieli 24 bez reszty.</p>\n<p><strong>Rozkład na czynniki pierwsze:</strong><br>\\[24 = 2^3 \\cdot 3^1\\]</p>\n<p><strong>Wylistujmy wszystkie dzielniki 24</strong> - systematycznie, od najmniejszego:</p>\n<p>\\[1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 12,\\ 24\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(24 \\div 1 = 24\\), \\(24 \\div 2 = 12\\), \\(24 \\div 3 = 8\\), \\(24 \\div 4 = 6\\), \\(24 \\div 6 = 4\\), \\(24 \\div 8 = 3\\), \\(24 \\div 12 = 2\\), \\(24 \\div 24 = 1\\). ✓</p>\n<p><strong>Liczba dzielników:</strong> \\(|A| = 8\\)</p>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń elementarnych:</strong> \\(|\\Omega| = 24\\) (losujemy z 24 liczb, każda jednakowo prawdopodobna)</p>\n<p><strong>Obliczamy prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{8}{24} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na liczbę dzielników</h4>\n<p>Zamiast wypisywać dzielniki jeden po jednym, możemy skorzystać ze wzoru kombinatorycznego.</p>\n<p>Jeśli \\(n = p_1^{a_1} \\cdot p_2^{a_2} \\cdot \\ldots \\cdot p_k^{a_k}\\), to <strong>liczba dzielników</strong> \\(n\\) wynosi:<br>\\[\\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \\cdots (a_k + 1)\\]</p>\n<p>Dla \\(24 = 2^3 \\cdot 3^1\\):<br>\\[\\tau(24) = (3+1)(1+1) = 4 \\cdot 2 = 8\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P(A) = \\frac{8}{24} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Ten sposób jest szybszy, gdy liczba ma wiele dzielników - nie trzeba ich wypisywać!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong>:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]</p>\n<p>Użyliśmy klasycznej definicji prawdopodobieństwa - stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich możliwych wyników. Warunek: wszystkie wyniki <strong>jednakowo prawdopodobne</strong> (każda z 24 liczb jest tak samo prawdopodobna do wylosowania). ✓</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(\\frac{1}{4}\\) | Policzono tylko dzielniki \\(24\\) do \\(12\\), zapominając o samym \\(24\\) jako dzielniku; albo wzięto \\(\\frac{6}{24}\\) - czyli pominięto część dzielników |<br>| C - \\(\\frac{1}{8}\\) | Obliczono odwrotność liczby dzielników: \\(\\frac{1}{8}\\) zamiast \\(\\frac{8}{24}\\); błąd konceptualny - pomylono liczbę dzielników z prawdopodobieństwem |<br>| D - \\(\\frac{1}{6}\\) | Policzono tylko \\(4\\) dzielniki (np. \\(1, 2, 3, 4\\)) z pominięciem \\(6, 8, 12, 24\\); albo pomylono dzielniki z liczbami pierwszymi do 24 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że <strong>każda liczba jest swoim własnym dzielnikiem</strong> - tutaj \\(24\\) dzieli \\(24\\), więc \\(24\\) jest dzielnikiem i należy do zdarzenia A. Uczniowie często o tym zapominają!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dzielniki to pary - jeśli \\(d | 24\\), to też \\(\\frac{24}{d} | 24\\). Szukaj parami: \\((1,24)\\), \\((2,12)\\), \\((3,8)\\), \\((4,6)\\) - łącznie 8 dzielników. Metoda parowania chroni przed pominięciem dzielnika.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić dzielników liczby 24 z liczbami pierwszymi mniejszymi od 24. Liczby pierwsze: \\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\\) - jest ich 9, a nie 8, i to zupełnie inne zadanie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wypisanie dzielników</h5>\n<p>Dzielniki \\(24\\): \\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\\). Razem: <strong>8 dzielników</strong>.</p>\n<p>Wszystkich możliwości: \\(24\\).<br>\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez rozkład na czynniki</h5>\n<p>\\(24 = 2^3\\cdot 3\\). Liczba dzielników = \\((3+1)(1+1) = 8\\).<br>\\[P(A) = \\dfrac{8}{24} = \\dfrac{1}{3}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)</strong> - dałoby \\(\\tfrac{6}{24}\\); pominięto 2 dzielniki.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{1}{8}\\)</strong> - policzono tylko \\(\\tfrac{3}{24}\\) czy podobnie.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{1}{6}\\)</strong> - \\(\\tfrac{4}{24}\\); połowa dzielników pominięta.</li></ul>\n<p><strong>Przypomnienie:</strong> dzielniki liczby \\(n = p_1^{a_1}\\cdot p_2^{a_2}\\cdot\\ldots\\) to \\((a_1+1)(a_2+1)\\cdot\\ldots\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie dzielników liczby 24</h5>\n<ol><li><strong>Zidentyfikuj dzielniki liczby 24:</strong> Dzielniki liczby 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.</li><li><strong>Zwróć uwagę na warunki zadania:</strong> Liczba musi być w przedziale od 1 do 24 i nie może być podzielna przez 24.</li><li><strong>Zlicz dzielniki spełniające warunki:</strong> Z listy dzielników liczby 24, liczby spełniające warunki to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.</li><li><strong>Oblicz prawdopodobieństwo:</strong> P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.</li><li><strong>Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.</strong></li></ol>\n<p>\\[<br>P(A) = \\frac{7}{24}<br>\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na prawdopodobieństwo i eliminacja nieprawidłowych odpowiedzi</h5>\n<ol><li><strong>Zdefiniuj zdarzenie A:</strong> Zdarzeniem A jest wylosowanie liczby, która jest dzielnikiem liczby 24.</li><li><strong>Oblicz liczbę wszystkich możliwych wyników:</strong> Można wylosować dowolną liczbę od 1 do 24, więc liczba wszystkich możliwych wyników to 24.</li><li><strong>Oblicz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A:</strong> Jak w sposobie 1, liczby dzielące 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12. Czyli 7 liczb.</li><li><strong>Oblicz prawdopodobieństwo:</strong> P(A) = (Liczba sprzyjających zdarzeń) / (Liczba wszystkich możliwych zdarzeń) = 7 / 24.</li><li><strong>Zauważ, że 7/24 odpowiada opcji B.</strong></li></ol>\n<p>\\[<br>P(A) = \\frac{7}{24}<br>\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Prawdop, strona 30</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 1/4:</strong> To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-12, a nie z przedziału 1-24.</li><li><strong>C. 1/8:</strong> To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 8. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.</li><li><strong>D. 1/3:</strong> To prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału 1-24, która jest podzielna przez 3. Nie uwzględnia warunku, że liczba nie może być podzielna przez 24.</li></ul>\n<p>Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj!</p>"}]}