{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 8x^2-72x ≤ 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n:\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując\n,\nlub zaznaczając pierwiastki\ntrójmianu na wykresie\nalbo\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:\n,\n,\n2\n72\n72\n9\n16\nx\nDrugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nnp. odczytując go\nze szkicu wykresu funkcji\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd\n2\n8\n72\nx\nx\n2\n8\n72\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n2\n72\nΔ =\n1\n72\n72\n0\n16\nx\n2\n8\n72\n0\nx\nx\n≤\n0\n9\nx\n≤\n≤\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n( )\n2\n8\n72\nf\nx\nx\nx\n0\n9\nx\nrachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub 0,9\n\n lub\n0,9\n∈\n\nx\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\ni\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n, to przyznajemy 2 punkty.\n0\n9\nx\n≤\n≤\n1\n0\nx =\n2\n9\nx =\n9,0\nx ∈-\n9,0\nx∈\n0\n9\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika + szkic paraboli\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik:**\n\n\\[8x^2 - 72x \\leq 0\\]\n\nZauważamy, że każdy składnik jest podzielny przez \\(8x\\):\n\n\\[8x(x - 9) \\leq 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe:**\n\n\\[8x(x-9) = 0 \\implies x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 9\\]\n\n**Analizujemy znak iloczynu:**\n\nMamy iloczyn dwóch czynników: \\(8x\\) i \\((x-9)\\). Iloczyn jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem).\n\n| Przedział | \\(8x\\) | \\(x - 9\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(0 < x < 9\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 9\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 9\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy \\(8x^2 - 72x\\) jako trójmian kwadratowy z \\(a = 8\\), \\(b = -72\\), \\(c = 0\\).\n\n**Wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 0 = 5184\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 72\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 - 72}{16} = \\frac{0}{16} = 0\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 + 72}{16} = \\frac{144}{16} = 9\\]\n\n**Interpretacja graficzna:**\n\nParabola \\(f(x) = 8x^2 - 72x\\) ma ramiona skierowane **w górę** (bo \\(a = 8 > 0\\)). Zatem parabola leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) dokładnie **między** miejscami zerowymi.\n\n\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle = \\langle 0, 9 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków paraboli.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - kluczowa własność paraboli:\n- gdy \\(a > 0\\): parabola jest **wypukła ku górze**, wartości ujemne przyjmuje **między** miejscami zerowymi, czyli \\(f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- gdy \\(a < 0\\): odwrotnie - wartości ujemne **poza** miejscami zerowymi\n\nTa własność pozwala od razu zapisać rozwiązanie nierówności bez analizy znaku w każdym przedziale osobno.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (0, 9)\\) - z nawiasami okrągłymi zamiast kwadratowych. Nierówność jest **niestroga** (\\(\\leq 0\\)), więc punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 9\\) **są** rozwiązaniami (tam \\(f(x) = 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) bez rozważenia znaku \\(x\\)! Jeśli ktoś podzieli \\(8x^2 - 72x \\leq 0\\) przez \\(x\\), dostanie \\(8x - 72 \\leq 0\\), czyli \\(x \\leq 9\\) - to błędna odpowiedź, bo pomija ona przypadek \\(x < 0\\) (gdzie nierówność nie zachodzi) i \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z nierównością kwadratową zawsze sprawdź znak \\(a\\): jeśli \\(a > 0\\) - rozwiązanie \\(\\leq 0\\) to **przedział między pierwiastkami**; jeśli \\(a < 0\\) - to **suma dwóch promieni** na zewnątrz pierwiastków.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[8x^2 - 72x \\le 0\\]\n\\[8x(x - 9) \\le 0.\\]\nDzielimy obie strony przez \\(8 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):\n\\[x(x-9) \\le 0.\\]\nPierwiastki: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 9\\). Funkcja \\(f(x) = x(x-9)\\) to parabola z ramionami w górę, więc \\(f(x) \\le 0\\) **między** pierwiastkami (włącznie):\n\\[x \\in \\langle 0, 9\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Delta\n\\(8x^2 - 72x = 0\\):\n\\[\\Delta = 72^2 - 0 = 5184, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 72\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{72-72}{16} = 0, \\quad x_2 = \\tfrac{72+72}{16} = 9.\\]\nNierówność \\(\\le 0\\) z \\(a = 8 > 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami: \\(\\langle 0, 9\\rangle\\).\n\n### Sposób 3 - Analiza znaków\nFunkcja \\(g(x) = 8x(x-9)\\) zmienia znak w punktach \\(0\\) i \\(9\\):\n- \\(x < 0\\): \\(g > 0\\) (dodatnia·ujemna = ujemna hmm). Sprawdzam \\(x = -1\\): \\(8\\cdot(-1)\\cdot(-10) = 80 > 0\\). Czyli \\(g > 0\\).\n- \\(0 < x < 9\\): \\(x > 0, x-9 < 0\\) → \\(g < 0\\).\n- \\(x > 9\\): oba dodatnie → \\(g > 0\\).\n\nNierówność \\(g \\le 0\\) spełniona gdy \\(0 \\le x \\le 9\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
8
72
0
x
x
≤
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 8x^2-72x ≤ 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności
\n

kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
:
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując
,
lub zaznaczając pierwiastki
trójmianu na wykresie
albo
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:
,
,
2
72
72
9
16
x
Drugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub 0,9

 lub
0,9
∈

x
np. odczytując go
ze szkicu wykresu funkcji
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
i
i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji
i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd
2
8
72
x
x
2
8
72
x
x
1
0
x =
2
9
x =
2
72
Δ =
1
72
72
0
16
x
2
8
72
0
x
x
≤
0
9
x
≤
≤
( )
2
8
72
f
x
x
x
1
0
x =
2
9
x =
( )
2
8
72
f
x
x
x
0
9
x
rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub 0,9

 lub
0,9
∈

x
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to
\n

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
\n

oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów
\n

za całe rozwiązanie.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu
\n

i
i zapisze, np.
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
\n

nierówności w postaci
, to przyznajemy 2 punkty.
0
9
x
≤
≤
1
0
x =
2
9
x =
9,0
x ∈-
9,0
x∈
0
9
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika + szkic paraboli

\n

Wyłączamy wspólny czynnik:

\n

\\[8x^2 - 72x \\leq 0\\]

\n

Zauważamy, że każdy składnik jest podzielny przez \\(8x\\):

\n

\\[8x(x - 9) \\leq 0\\]

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe:

\n

\\[8x(x-9) = 0 \\implies x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 9\\]

\n

Analizujemy znak iloczynu:

\n

Mamy iloczyn dwóch czynników: \\(8x\\) i \\((x-9)\\). Iloczyn jest \\(\\leq 0\\), gdy czynniki mają przeciwne znaki (lub jeden z nich jest zerem).

\n

| Przedział | \\(8x\\) | \\(x - 9\\) | Iloczyn |
| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = 0\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(0 < x < 9\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x = 9\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 9\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Nierówność jest spełniona dla \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)

\n

Sposób 2 - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

\n

Traktujemy \\(8x^2 - 72x\\) jako trójmian kwadratowy z \\(a = 8\\), \\(b = -72\\), \\(c = 0\\).

\n

Wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 0 = 5184\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 72\\]

\n

Miejsca zerowe:

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 - 72}{16} = \\frac{0}{16} = 0\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{72 + 72}{16} = \\frac{144}{16} = 9\\]

\n

Interpretacja graficzna:

\n

Parabola \\(f(x) = 8x^2 - 72x\\) ma ramiona skierowane w górę (bo \\(a = 8 > 0\\)). Zatem parabola leży poniżej osi \\(OX\\) (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) dokładnie między miejscami zerowymi.

\n

\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle = \\langle 0, 9 \\rangle\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9 \\rangle\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków paraboli.

\n

Dział 7 (s. 8) - kluczowa własność paraboli:

\n\n

Ta własność pozwala od razu zapisać rozwiązanie nierówności bez analizy znaku w każdym przedziale osobno.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to podanie odpowiedzi \\(x \\in (0, 9)\\) - z nawiasami okrągłymi zamiast kwadratowych. Nierówność jest niestroga (\\(\\leq 0\\)), więc punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 9\\) są rozwiązaniami (tam \\(f(x) = 0\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno dzielić obu stron przez \\(x\\) bez rozważenia znaku \\(x\\)! Jeśli ktoś podzieli \\(8x^2 - 72x \\leq 0\\) przez \\(x\\), dostanie \\(8x - 72 \\leq 0\\), czyli \\(x \\leq 9\\) - to błędna odpowiedź, bo pomija ona przypadek \\(x < 0\\) (gdzie nierówność nie zachodzi) i \\(x = 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy zadaniach z nierównością kwadratową zawsze sprawdź znak \\(a\\): jeśli \\(a > 0\\) - rozwiązanie \\(\\leq 0\\) to przedział między pierwiastkami; jeśli \\(a < 0\\) - to suma dwóch promieni na zewnątrz pierwiastków.
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\)

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

\\[8x^2 - 72x \\le 0\\]
\\[8x(x - 9) \\le 0.\\]
Dzielimy obie strony przez \\(8 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):
\\[x(x-9) \\le 0.\\]
Pierwiastki: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 9\\). Funkcja \\(f(x) = x(x-9)\\) to parabola z ramionami w górę, więc \\(f(x) \\le 0\\) między pierwiastkami (włącznie):
\\[x \\in \\langle 0, 9\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - Delta
\n

\\(8x^2 - 72x = 0\\):
\\[\\Delta = 72^2 - 0 = 5184, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 72\\]
\\[x_1 = \\tfrac{72-72}{16} = 0, \\quad x_2 = \\tfrac{72+72}{16} = 9.\\]
Nierówność \\(\\le 0\\) z \\(a = 8 > 0\\) daje przedział między pierwiastkami: \\(\\langle 0, 9\\rangle\\).

\n
Sposób 3 - Analiza znaków
\n

Funkcja \\(g(x) = 8x(x-9)\\) zmienia znak w punktach \\(0\\) i \\(9\\):

\n\n

Nierówność \\(g \\le 0\\) spełniona gdy \\(0 \\le x \\le 9\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle 0, 9\\rangle\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$0 \\leq x \\leq 9$ lub $\\langle 0,9 \\rangle$ lub $x \\in \\langle 0,9 \\rangle$

"}]}