{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że liczba\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\njest podzielna przez 17.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWykaż, że liczba 4^2017 + 4^2018 + 4^2019 + 4^2020 jest podzielna przez 17.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe\nwłasności potęg (1.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\n. Doprowadzamy liczbę do\npostaci\n2017\n4\n5 17\n⋅⋅\n. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze liczbę\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników\njest potęgą\n, gdzie 1985\n2017\nk\n≤\n≤\n, np.\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Kluczowa obserwacja:** wszystkie cztery potęgi mają wspólny czynnik $4^{2017}$ - wyłączamy go przed nawias.\n\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\\bigl(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3\\bigr)\\]\n\nObliczamy wartość nawiasu:\n\n\\[1 + 4 + 16 + 64 = 85\\]\n\nZatem:\n\n\\[4^{2017}\\bigl(1 + 4 + 16 + 64\\bigr) = 4^{2017} \\cdot 85\\]\n\nRozkładamy $85$ na czynniki pierwsze:\n\n\\[85 = 5 \\cdot 17\\]\n\nStąd:\n\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 5 \\cdot 17\\]\n\n**Wyrażenie jest iloczynem $17$ oraz $4^{2017} \\cdot 5$ - a to oznacza, że jest podzielne przez $17$.** $\\square$\n\n## Sposób 2 - Arytmetyka modulo 17 (reszty z dzielenia)\n\nSprawdzamy, jak zachowują się kolejne potęgi $4$ przy dzieleniu przez $17$ (szukamy cyklu reszt):\n\n\\[4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^2 = 16 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]\n\\[4^3 = 64 = 3 \\cdot 17 + 13 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^4 = 256 = 15 \\cdot 17 + 1 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]\n\n**Reszty tworzą cykl o długości $4$:** $4, -1, -4, 1, 4, -1, -4, 1, \\ldots$\n\nWyznaczamy reszty wykładników z dzielenia przez $4$:\n\n\\[2017 = 4 \\cdot 504 + 1 \\Rightarrow 2017 \\equiv 1 \\pmod{4}\\]\n\\[2018 \\equiv 2, \\quad 2019 \\equiv 3, \\quad 2020 \\equiv 0 \\pmod{4}\\]\n\nZatem:\n\n\\[4^{2017} \\equiv 4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2018} \\equiv 4^2 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2019} \\equiv 4^3 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]\n\\[4^{2020} \\equiv 4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]\n\nSumujemy reszty:\n\n\\[4 + (-1) + (-4) + 1 = 0 \\pmod{17}\\]\n\nSuma reszt wynosi $0$ - co oznacza, że całe wyrażenie daje resztę $0$ z dzielenia przez $17$, czyli **jest przez $17$ podzielne.** $\\square$\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 przy wyłączaniu $4^{2017}$ przed nawias:\n\\[4^{2018} = 4^{2017} \\cdot 4^1, \\quad 4^{2019} = 4^{2017} \\cdot 4^2, \\quad 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 4^3\\]\n\nW Sposobie 2 korzystamy też z własności:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nprzy wyznaczaniu cyklu reszt przez obserwację, że $4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}$, więc $4^{4k} \\equiv 1$.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj obliczać $4^{2017}$ jako liczby - to ma ponad tysiąc cyfr. Cała siła dowodu polega na tym, żeby **NIE liczyć**, lecz przekształcić algebraicznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowy jest nawias $(1 + 4 + 16 + 64) = 85 = 5 \\cdot 17$. Gdyby wyłączyć $4^{2018}$, $4^{2019}$ lub $4^{2020}$, nawias wyglądałby inaczej i obliczenia byłyby trudniejsze - zawsze wyłączaj **najmniejszą** potęgę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie reszt łatwo pomylić resztę wykładnika z resztą potęgi. Pamiętaj: najpierw wyznaczasz $2017 \\bmod 4 = 1$ (reszta *wykładnika*), a dopiero potem odczytujesz $4^1 \\bmod 17 = 4$ (reszta *wyrażenia*).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie najmniejszej potęgi przed nawias\nWyłączamy \\(4^{2017}\\):\n\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{2017}\\cdot 85.\\]\nZauważamy, że \\(85 = 5\\cdot 17\\), więc:\n\\[4^{2017}\\cdot 85 = 4^{2017}\\cdot 5\\cdot 17.\\]\nTo jest iloczyn liczb, jedna z nich to \\(17\\), więc wyrażenie dzieli się przez \\(17\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Grupowanie po dwa\n\\[4^{2017} + 4^{2018} = 4^{2017}(1+4) = 5\\cdot 4^{2017}\\]\n\\[4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2019}(1+4) = 5\\cdot 4^{2019}\\]\nSuma:\n\\[5\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2019} = 5\\cdot 4^{2017}(1 + 16) = 5\\cdot 4^{2017}\\cdot 17.\\]\nZawiera czynnik \\(17\\) → podzielne. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Grupowanie inne\n\\[4^{2017} + 4^{2020} + 4^{2018} + 4^{2019} = 4^{2017}(1 + 64) + 4^{2018}(1+4) = 65\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2018}.\\]\n\\(65 = 5\\cdot 13\\) - nie daje bezpośrednio \\(17\\). Sposób 1 lub 2 lepsze.\n\n**Kluczowe:** \\(1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5\\cdot 17\\) - rozpoznanie tej wartości jest kluczem.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że liczba
2017
2018
2019
2020
4
4
4
4
jest podzielna przez 17.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Wykaż, że liczba 4^2017 + 4^2018 + 4^2019 + 4^2020 jest podzielna przez 17.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe
\n

własności potęg (1.5).
Przykładowe rozwiązanie
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
(
)
2017
2
3
4
1
4
4
4
. Doprowadzamy liczbę do
postaci
2017
4
5 17
⋅⋅
. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze liczbę
2017
2018
2019
2020
4
4
4
4
w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników
jest potęgą
, gdzie 1985
2017
k
≤
≤
, np.
(
)
2017
2
3
4
1
4
4
4
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi poprawny dowód.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.

\n

Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Kluczowa obserwacja: wszystkie cztery potęgi mają wspólny czynnik $4^{2017}$ - wyłączamy go przed nawias.

\n

\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\\bigl(1 + 4^1 + 4^2 + 4^3\\bigr)\\]

\n

Obliczamy wartość nawiasu:

\n

\\[1 + 4 + 16 + 64 = 85\\]

\n

Zatem:

\n

\\[4^{2017}\\bigl(1 + 4 + 16 + 64\\bigr) = 4^{2017} \\cdot 85\\]

\n

Rozkładamy $85$ na czynniki pierwsze:

\n

\\[85 = 5 \\cdot 17\\]

\n

Stąd:

\n

\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 5 \\cdot 17\\]

\n

Wyrażenie jest iloczynem $17$ oraz $4^{2017} \\cdot 5$ - a to oznacza, że jest podzielne przez $17$. $\\square$

\n

Sposób 2 - Arytmetyka modulo 17 (reszty z dzielenia)

\n

Sprawdzamy, jak zachowują się kolejne potęgi $4$ przy dzieleniu przez $17$ (szukamy cyklu reszt):

\n

\\[4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]
\\[4^2 = 16 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]
\\[4^3 = 64 = 3 \\cdot 17 + 13 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]
\\[4^4 = 256 = 15 \\cdot 17 + 1 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]

\n

Reszty tworzą cykl o długości $4$: $4, -1, -4, 1, 4, -1, -4, 1, \\ldots$

\n

Wyznaczamy reszty wykładników z dzielenia przez $4$:

\n

\\[2017 = 4 \\cdot 504 + 1 \\Rightarrow 2017 \\equiv 1 \\pmod{4}\\]
\\[2018 \\equiv 2, \\quad 2019 \\equiv 3, \\quad 2020 \\equiv 0 \\pmod{4}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[4^{2017} \\equiv 4^1 \\equiv 4 \\pmod{17}\\]
\\[4^{2018} \\equiv 4^2 \\equiv -1 \\pmod{17}\\]
\\[4^{2019} \\equiv 4^3 \\equiv -4 \\pmod{17}\\]
\\[4^{2020} \\equiv 4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}\\]

\n

Sumujemy reszty:

\n

\\[4 + (-1) + (-4) + 1 = 0 \\pmod{17}\\]

\n

Suma reszt wynosi $0$ - co oznacza, że całe wyrażenie daje resztę $0$ z dzielenia przez $17$, czyli jest przez $17$ podzielne. $\\square$

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 przy wyłączaniu $4^{2017}$ przed nawias:
\\[4^{2018} = 4^{2017} \\cdot 4^1, \\quad 4^{2019} = 4^{2017} \\cdot 4^2, \\quad 4^{2020} = 4^{2017} \\cdot 4^3\\]

\n

W Sposobie 2 korzystamy też z własności:
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
przy wyznaczaniu cyklu reszt przez obserwację, że $4^4 \\equiv 1 \\pmod{17}$, więc $4^{4k} \\equiv 1$.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj obliczać $4^{2017}$ jako liczby - to ma ponad tysiąc cyfr. Cała siła dowodu polega na tym, żeby NIE liczyć, lecz przekształcić algebraicznie.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 kluczowy jest nawias $(1 + 4 + 16 + 64) = 85 = 5 \\cdot 17$. Gdyby wyłączyć $4^{2018}$, $4^{2019}$ lub $4^{2020}$, nawias wyglądałby inaczej i obliczenia byłyby trudniejsze - zawsze wyłączaj najmniejszą potęgę.
\n
⚠️ Uwaga: W metodzie reszt łatwo pomylić resztę wykładnika z resztą potęgi. Pamiętaj: najpierw wyznaczasz $2017 \\bmod 4 = 1$ (reszta wykładnika), a dopiero potem odczytujesz $4^1 \\bmod 17 = 4$ (reszta wyrażenia).
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Wyłączenie najmniejszej potęgi przed nawias
\n

Wyłączamy \\(4^{2017}\\):
\\[4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{2017}\\cdot 85.\\]
Zauważamy, że \\(85 = 5\\cdot 17\\), więc:
\\[4^{2017}\\cdot 85 = 4^{2017}\\cdot 5\\cdot 17.\\]
To jest iloczyn liczb, jedna z nich to \\(17\\), więc wyrażenie dzieli się przez \\(17\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Grupowanie po dwa
\n

\\[4^{2017} + 4^{2018} = 4^{2017}(1+4) = 5\\cdot 4^{2017}\\]
\\[4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2019}(1+4) = 5\\cdot 4^{2019}\\]
Suma:
\\[5\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2019} = 5\\cdot 4^{2017}(1 + 16) = 5\\cdot 4^{2017}\\cdot 17.\\]
Zawiera czynnik \\(17\\) → podzielne. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 3 - Grupowanie inne
\n

\\[4^{2017} + 4^{2020} + 4^{2018} + 4^{2019} = 4^{2017}(1 + 64) + 4^{2018}(1+4) = 65\\cdot 4^{2017} + 5\\cdot 4^{2018}.\\]
\\(65 = 5\\cdot 13\\) - nie daje bezpośrednio \\(17\\). Sposób 1 lub 2 lepsze.

\n

Kluczowe: \\(1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5\\cdot 17\\) - rozpoznanie tej wartości jest kluczem.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}