{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C.\nProsta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz\nAPC\nα\n\ni\nABC\nβ\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że\n180\n2\nα\nβ\n°-\nA\nP\nR\nα\nβ\nC\n\nB\n\n\n\n\n\nMMA_1P\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz ∠APC=α i ∠ABC=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180° - 2β.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG10. Figury płaskie. Zdający korzysta z faktu, że styczna do\nokręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do\npunktu styczności (G10.3).\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie katów trójkąta (SP9.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\nCBR\nδ\nβ\n°-\n\n17\n4k\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nγ\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nZatem\n(\n)\n180\n2 90\n2\nBRC\nγ\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nSuma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360° ,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBRP\nRPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n90\n2\n360\n°+\n°+\n°\nβ α\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nBRC\nγ\nβ\n\nPonieważ\n90\n°\nABR\ni\n90\n°\nPAB\n, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach\nAP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc\n180\n°\nα γ\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\nStąd\n180\n2\n°-\nα\nβ . To kończy dowód.\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nγ\nIII sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nKąty BCR i PCB są przyległe, więc\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBCR\nη\nβ\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\nSuma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360° ,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBCP\nCPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n360\n°+\n°\nβ\nη\nα\n,\n(\n)\n90\n90\n360\nβ\nβ\nα\n°+\n°+\n° ,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nη\nα\nφ\nφ\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nψ\nStąd\n90\nδ\nβ\n° -\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nTrójkąt PAC jest równoramienny, więc\n180\n90\n2\n2\nPAC\nPCA\nα\nα\nϕ\n° -\n° -\n\n\nProsta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc\n90\nPAB =\n°\n\n. Stąd\n90\n90\n90\n2\n2\nCAB\nα\nα\nψ\nϕ\n\n\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\n\nMiara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa\n180\n180\n2\nACB\nα\nβ\nψ\nβ\n° -\n° -\n\nSuma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc\n180\nPCA\nACB\nBCR\n°\n\n\n\n,\n180\n2\nα\nϕ\nβ\nδ\n\n\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n90\n180\n90\n2\n2\nα\nα\nβ\nβ\n\n\n°-\n°-\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nV sposób\nPoprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej\nprzecięcia z prostą AB.\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nα\nψ =\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nψ\nS\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS\nCS\nBS\n. Stąd wynika, że S jest\nśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc\ntrójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli\n90\nβ\nψ\n° .\n90\n2\nα\nβ +\n°,\n180\n2\nα\nβ\n° -\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości\n180\n2\nα\nβ\n° -\n, np.:\n90\nδ\nβ\n° -\ni 2\n180\nδ\nγ\n° i\n360\nα\nγ\n+ 90° + 90° =\n°\nlub\n2\nγ\nβ\ni\n180\nα\nγ\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n180\nη\nδ\n° -\ni 90\n360\nβ\nη\nα\n° +\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n90\n2\nα\nϕ =\n° -\ni\n90\nψ\nϕ\n° -\ni\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nβ ψ\nϕ\nδ\n°-\n°-\n,\nlub\n90\nβ\nψ\n° i\n2\nα\nψ =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód, że \\(\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta\\)\n\nTo zadanie otwarte - podajemy pełne uzasadnienie.\n\n## Sposób 1 - Kąty przyległe na prostej PR i równoległe proste\n\n**Kluczowe obserwacje geometryczne:**\n\n**Krok 1.** Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej:\n\\[\\angle PAB = 90^\\circ \\quad \\text{oraz} \\quad \\angle RBA = 90^\\circ\\]\nStąd \\(PA \\parallel RB\\) (obie proste prostopadłe do \\(AB\\)).\n\n**Krok 2.** Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \\(C\\), punkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe (punkt styczności leży na odcinku łączącym środki).\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy kąt \\(\\angle BRC\\).\n\nTrójkąt \\(RBC\\) jest **równoramienny**, bo \\(RB = RC = r_2\\) (oba to promienie okręgu \\(R\\)).\n\nKąt \\(\\angle RBC\\):\n\\[\\angle RBC = \\angle RBA - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\]\nZ równoramienności trójkąta \\(RBC\\):\n\\[\\angle RCB = \\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\]\nStąd kąt przy wierzchołku \\(R\\):\n\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta\\]\n\nPonieważ \\(C\\) leży **między** \\(P\\) i \\(R\\) na odcinku \\(PR\\), promień \\(RC\\) ma ten sam kierunek co \\(RP\\), więc:\n\\[\\angle BRP = \\angle BRC = 2\\beta\\]\n\n**Krok 4.** Stosujemy własność kątów jednostronnych.\n\n\\(PA \\parallel RB\\) - sieczna \\(PR\\) przecina dwie równoległe proste. Kąty jednostronne (po tej samej stronie siecznej) sumują się do \\(180^\\circ\\):\n\\[\\angle APR + \\angle PRB = 180^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(C \\in PR\\), zachodzi \\(\\angle APR = \\angle APC = \\alpha\\). Wstawiamy:\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie i kąty na prostej\n\n**Krok 1.** Wyznaczyć \\(\\angle CAB\\).\n\nTrójkąt \\(PAC\\) jest równoramienny: \\(PA = PC = r_1\\), więc:\n\\[\\angle PAC = \\angle PCA = \\frac{180^\\circ - \\alpha}{2} = 90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nSkoro \\(\\angle PAB = 90^\\circ\\):\n\\[\\angle CAB = 90^\\circ - \\angle PAC = 90^\\circ - \\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczyć \\(\\angle RCB\\).\n\nZ trójkąta \\(RBC\\) (równoramiennego, \\(RB = RC = r_2\\)), jak w Sposobie 1:\n\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]\n\n**Krok 3.** Skorzystać z kątów na prostej \\(PCR\\).\n\nPunkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe, więc kąty \\(\\angle PCA\\), \\(\\angle ACB\\) i \\(\\angle BCR\\) leżą na tej prostej:\n\\[\\angle PCA + \\angle ACB + \\angle BCR = 180^\\circ\\]\n\\[\\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) + \\angle ACB + \\left(90^\\circ - \\beta\\right) = 180^\\circ\\]\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\]\n\n**Krok 4.** Suma kątów trójkąta \\(ABC\\).\n\n\\[\\angle CAB + \\angle ABC + \\angle BCA = 180^\\circ\\]\n\\[\\frac{\\alpha}{2} + \\beta + \\left(\\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\right) = 180^\\circ\\]\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - własności okręgu i stycznych:\n\n> Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej. Jeśli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, ich środki i punkt styczny są współliniowe.\n\nUżyliśmy tego dwukrotnie: do stwierdzenia \\(\\angle PAB = \\angle RBA = 90^\\circ\\) oraz do uzasadnienia, że \\(P, C, R\\) są współliniowe.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - dla trójkąta \\(RBC\\) (wyznaczenie \\(\\angle BRC\\)) i dla trójkąta \\(ABC\\) (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie mylą \\(\\angle ABC = \\beta\\) z \\(\\angle RBC\\). To NIE jest to samo - \\(\\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\), bo \\(R\\) leży prostopadle nad \\(B\\). Ten krok jest kluczowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trzeba pamiętać, że przy styczności zewnętrznej punkt \\(C\\) leży **między** \\(P\\) i \\(R\\), więc promień \\(RP\\) i promień \\(RC\\) mają **ten sam kierunek** - stąd \\(\\angle BRP = \\angle BRC\\). Gdyby styczność była wewnętrzna, byłoby odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kąty jednostronne przy siecznej sumują się do \\(180^\\circ\\) - upewnij się, że bierzesz właściwe kąty (po tej samej stronie siecznej \\(PR\\)). Kąty naprzemianległe sumowałyby się do innej wartości.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Suma kątów czworokąta \\(ABRP\\)\nW czworokącie \\(ABRP\\):\n- \\(\\angle PAB = 90^\\circ\\) (styczna \\(AB\\) prostopadła do promienia \\(PA\\) w punkcie styczności)\n- \\(\\angle ABR = 90^\\circ\\) (styczna \\(AB\\) prostopadła do \\(RB\\))\n\nTrójkąt \\(BRC\\) jest równoramienny (\\(|RC| = |RB| = r_2\\) - promienie małego okręgu). Dwa równe kąty przy podstawie:\n\\[\\angle RBC = \\angle RCB.\\]\nPonieważ suma wszystkich trzech kątów trójkąta \\(BRC\\) = \\(180^\\circ\\), a \\(\\angle RBC = \\angle ABR - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\) (zakładając, że \\(C\\) leży po stronie \\(B\\)):\n\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]\n\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta.\\]\n\nSuma kątów czworokąta \\(ABRP\\) = \\(360^\\circ\\):\n\\[\\angle PAB + \\angle ABR + \\angle BRP + \\angle RPA = 360^\\circ\\]\n\\[90^\\circ + 90^\\circ + 2\\beta + \\alpha = 360^\\circ\\]\n\\[\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Trapez prostokątny\nPonieważ \\(PA \\perp AB\\) i \\(RB \\perp AB\\), to \\(PA \\parallel RB\\), więc \\(ABRP\\) jest trapezem prostokątnym z podstawami \\(PA\\) i \\(RB\\).\n\nW tym trapezie suma kątów przy jednym ramieniu (\\(PR\\)) wynosi \\(180^\\circ\\):\n\\[\\alpha + \\angle BRP = 180^\\circ.\\]\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (w okręgu o środku \\(R\\)), styczna \\(AB\\), cięciwa \\(BC\\), kąt \\(\\angle ABC = \\beta\\) = połowa kąta środkowego \\(\\angle BRC\\), więc \\(\\angle BRC = 2\\beta\\).\n\nZatem:\n\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Kluczowe własności:**\n- Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.\n- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.\n- Suma kątów czworokąta = \\(360^\\circ\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C.
Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz
APC
α

i
ABC
β

(zobacz rysunek). Wykaż, że
180
2
α
β
°-
A
P
R
α
β
C

B



\n

MMA_1P
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz ∠APC=α i ∠ABC=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180° - 2β.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
G10. Figury płaskie. Zdający korzysta z faktu, że styczna do
okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do
punktu styczności (G10.3).
SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie
o sumie katów trójkąta (SP9.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
. Stąd
90
CBR
δ
β
°-

17
4k
δ
R
P
C
A
B
β δ
α
γ
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Zatem
(
)
180
2 90
2
BRC
γ
β
β
°-
°-

Suma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360° ,
90
°
PAB
, więc
360
PAB
ABR
BRP
RPA
°




,
czyli
90
90
2
360
°+
°+
°
β α
,
2
180
°
α
β
,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
II sposób
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że
2
BRC
γ
β

Ponieważ
90
°
ABR
i
90
°
PAB
, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach
AP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc
180
°
α γ
,
2
180
°
α
β
Stąd
180
2
°-
α
β . To kończy dowód.
R
P
C
A
B
β
α
γ
III sposób
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
. Stąd
90
°-
δ
β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Kąty BCR i PCB są przyległe, więc
(
)
180
180
90
90
BCR
η
β
β
°-
°-
°-
°+

Suma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360° ,
90
°
PAB
, więc
360
PAB
ABR
BCP
CPA
°




,
czyli
90
360
°+
°
β
η
α
,
(
)
90
90
360
β
β
α
°+
°+
° ,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
IV sposób
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
δ
R
P
C
A
B
β δ
η
α
φ
φ
δ
R
P
C
A
B
β δ
α
ψ
Stąd
90
δ
β
° -
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Trójkąt PAC jest równoramienny, więc
180
90
2
2
PAC
PCA
α
α
ϕ
° -
° -


Prosta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc
90
PAB =
°

. Stąd
90
90
90
2
2
CAB
α
α
ψ
ϕ


°-
°-
°-





Miara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa
180
180
2
ACB
α
β
ψ
β
° -
° -

Suma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc
180
PCA
ACB
BCR
°



,
180
2
α
ϕ
β
δ


°-
=180°




,
90
180
90
2
2
α
α
β
β


°-
°-
°-
=180°




,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
V sposób
Poprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej
przecięcia z prostą AB.
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że
2
α
ψ =
R
P
C
A
B
β
α
ψ
S
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS
CS
BS
. Stąd wynika, że S jest
środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc
trójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli
90
β
ψ
° .
90
2
α
β +
°,
180
2
α
β
° -
To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości
180
2
α
β
° -
, np.:
90
δ
β
° -
i 2
180
δ
γ
° i
360
α
γ

\n\n

°
lub
2
γ
β
i
180
α
γ
° ,
lub
90
δ
β
° -
i
180
η
δ
° -
i 90
360
β
η
α
° +
° ,
lub
90
δ
β
° -
i
90
2
α
ϕ =
° -
i
90
ψ
ϕ
° -
i
(
)
(
)
180
180
β ψ
ϕ
δ
°-
°-
,
lub
90
β
ψ
° i
2
α
ψ =
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód, że \\(\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta\\)

\n

To zadanie otwarte - podajemy pełne uzasadnienie.

\n

Sposób 1 - Kąty przyległe na prostej PR i równoległe proste

\n

Kluczowe obserwacje geometryczne:

\n

Krok 1. Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej:
\\[\\angle PAB = 90^\\circ \\quad \\text{oraz} \\quad \\angle RBA = 90^\\circ\\]
Stąd \\(PA \\parallel RB\\) (obie proste prostopadłe do \\(AB\\)).

\n

Krok 2. Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \\(C\\), punkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe (punkt styczności leży na odcinku łączącym środki).

\n

Krok 3. Wyznaczamy kąt \\(\\angle BRC\\).

\n

Trójkąt \\(RBC\\) jest równoramienny, bo \\(RB = RC = r_2\\) (oba to promienie okręgu \\(R\\)).

\n

Kąt \\(\\angle RBC\\):
\\[\\angle RBC = \\angle RBA - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\]
Z równoramienności trójkąta \\(RBC\\):
\\[\\angle RCB = \\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\]
Stąd kąt przy wierzchołku \\(R\\):
\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta\\]

\n

Ponieważ \\(C\\) leży między \\(P\\) i \\(R\\) na odcinku \\(PR\\), promień \\(RC\\) ma ten sam kierunek co \\(RP\\), więc:
\\[\\angle BRP = \\angle BRC = 2\\beta\\]

\n

Krok 4. Stosujemy własność kątów jednostronnych.

\n

\\(PA \\parallel RB\\) - sieczna \\(PR\\) przecina dwie równoległe proste. Kąty jednostronne (po tej samej stronie siecznej) sumują się do \\(180^\\circ\\):
\\[\\angle APR + \\angle PRB = 180^\\circ\\]

\n

Ponieważ \\(C \\in PR\\), zachodzi \\(\\angle APR = \\angle APC = \\alpha\\). Wstawiamy:
\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]
\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]

\n

\\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie i kąty na prostej

\n

Krok 1. Wyznaczyć \\(\\angle CAB\\).

\n

Trójkąt \\(PAC\\) jest równoramienny: \\(PA = PC = r_1\\), więc:
\\[\\angle PAC = \\angle PCA = \\frac{180^\\circ - \\alpha}{2} = 90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\]

\n

Skoro \\(\\angle PAB = 90^\\circ\\):
\\[\\angle CAB = 90^\\circ - \\angle PAC = 90^\\circ - \\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{\\alpha}{2}\\]

\n

Krok 2. Wyznaczyć \\(\\angle RCB\\).

\n

Z trójkąta \\(RBC\\) (równoramiennego, \\(RB = RC = r_2\\)), jak w Sposobie 1:
\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]

\n

Krok 3. Skorzystać z kątów na prostej \\(PCR\\).

\n

Punkty \\(P\\), \\(C\\), \\(R\\) są współliniowe, więc kąty \\(\\angle PCA\\), \\(\\angle ACB\\) i \\(\\angle BCR\\) leżą na tej prostej:
\\[\\angle PCA + \\angle ACB + \\angle BCR = 180^\\circ\\]
\\[\\left(90^\\circ - \\frac{\\alpha}{2}\\right) + \\angle ACB + \\left(90^\\circ - \\beta\\right) = 180^\\circ\\]
\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\]

\n

Krok 4. Suma kątów trójkąta \\(ABC\\).

\n

\\[\\angle CAB + \\angle ABC + \\angle BCA = 180^\\circ\\]
\\[\\frac{\\alpha}{2} + \\beta + \\left(\\frac{\\alpha}{2} + \\beta\\right) = 180^\\circ\\]
\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ\\]
\\[\\boxed{\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta}\\]

\n

\\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-19) - własności okręgu i stycznych:

\n
Promień do punktu stycznej jest prostopadły do stycznej. Jeśli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, ich środki i punkt styczny są współliniowe.
\n

Użyliśmy tego dwukrotnie: do stwierdzenia \\(\\angle PAB = \\angle RBA = 90^\\circ\\) oraz do uzasadnienia, że \\(P, C, R\\) są współliniowe.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - suma kątów trójkąta:
\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180^\\circ\\]
Użyliśmy w obu sposobach - dla trójkąta \\(RBC\\) (wyznaczenie \\(\\angle BRC\\)) i dla trójkąta \\(ABC\\) (Sposób 2).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Uczniowie mylą \\(\\angle ABC = \\beta\\) z \\(\\angle RBC\\). To NIE jest to samo - \\(\\angle RBC = 90^\\circ - \\beta\\), bo \\(R\\) leży prostopadle nad \\(B\\). Ten krok jest kluczowy!
\n
⚠️ Uwaga: Trzeba pamiętać, że przy styczności zewnętrznej punkt \\(C\\) leży między \\(P\\) i \\(R\\), więc promień \\(RP\\) i promień \\(RC\\) mają ten sam kierunek - stąd \\(\\angle BRP = \\angle BRC\\). Gdyby styczność była wewnętrzna, byłoby odwrotnie.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 kąty jednostronne przy siecznej sumują się do \\(180^\\circ\\) - upewnij się, że bierzesz właściwe kąty (po tej samej stronie siecznej \\(PR\\)). Kąty naprzemianległe sumowałyby się do innej wartości.
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Suma kątów czworokąta \\(ABRP\\)
\n

W czworokącie \\(ABRP\\):

\n\n

Trójkąt \\(BRC\\) jest równoramienny (\\(|RC| = |RB| = r_2\\) - promienie małego okręgu). Dwa równe kąty przy podstawie:
\\[\\angle RBC = \\angle RCB.\\]
Ponieważ suma wszystkich trzech kątów trójkąta \\(BRC\\) = \\(180^\\circ\\), a \\(\\angle RBC = \\angle ABR - \\angle ABC = 90^\\circ - \\beta\\) (zakładając, że \\(C\\) leży po stronie \\(B\\)):
\\[\\angle RCB = 90^\\circ - \\beta\\]
\\[\\angle BRC = 180^\\circ - 2(90^\\circ - \\beta) = 2\\beta.\\]

\n

Suma kątów czworokąta \\(ABRP\\) = \\(360^\\circ\\):
\\[\\angle PAB + \\angle ABR + \\angle BRP + \\angle RPA = 360^\\circ\\]
\\[90^\\circ + 90^\\circ + 2\\beta + \\alpha = 360^\\circ\\]
\\[\\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 - Trapez prostokątny
\n

Ponieważ \\(PA \\perp AB\\) i \\(RB \\perp AB\\), to \\(PA \\parallel RB\\), więc \\(ABRP\\) jest trapezem prostokątnym z podstawami \\(PA\\) i \\(RB\\).

\n

W tym trapezie suma kątów przy jednym ramieniu (\\(PR\\)) wynosi \\(180^\\circ\\):
\\[\\alpha + \\angle BRP = 180^\\circ.\\]
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (w okręgu o środku \\(R\\)), styczna \\(AB\\), cięciwa \\(BC\\), kąt \\(\\angle ABC = \\beta\\) = połowa kąta środkowego \\(\\angle BRC\\), więc \\(\\angle BRC = 2\\beta\\).

\n

Zatem:
\\[\\alpha + 2\\beta = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 180^\\circ - 2\\beta. \\quad \\blacksquare\\]

\n

Kluczowe własności:

\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}