{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-4)\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem\n( )\n2\nf\nx\nax\nbx\nc\n. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\nOblicz wartość współczynnika a.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax^2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(-6) = f(0) = 3/2. Oblicz wartość współczynnika a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie\n(4.9).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n, stąd wartość\n6\n0\n3\n2\np\nZatem\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\ndla\n3\np = - i\n6\nq =\nObliczamy współczynnik a. Wiemy, że\n( )\n3\n0\n2\nf\n, zatem\n(\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\n,\n9\n9\n2\na = -\n,\n1\n2\na = -\nOdpowiedź:\n1\n2\na = -\nII sposób\nZ treści zadania wynika, że\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n\n\n⋅-⋅+\n\na\nb\nc\na\nb\nc\n,\n3\n36\n6\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n=\n\n,\n6\n3\n2\nb\na\nc\n=\n\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:\n6\n3\n2\n2\nb\na\np\na\na\nStąd wynika, że (\n)3\n6\nf -\n= i\n( )\n2\n3\n6\n2\nf\nx\nax\nax\n. Obliczamy współczynnik a\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n,\n9\n9\n2\na\n,\n1\n2\na = -\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.\n6\n0\n3\n2\np\nalbo\n• zapisze układ dwóch równań, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n,\n2\n\n\n⋅\n⋅\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nalbo\n• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\noraz zapisze\n6\nq =\n,\nalbo\n• zapisze równanie\n6\n4a\nΔ\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )\n(\n)\n6\n3 2 +\nx\na\nx\nf\nalbo\n• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n4\n6\n4\n\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nb\nac\na\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n3\n3\n6\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\na\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,\nnp.: (\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\nlub (\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n, lub\n2\n36\n18\n0\na\na\nalbo\n• obliczy wartości b i c:\n3\nb = -,\n3\n2\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wartość współczynnika a:\n1\n2\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest\nrówna\n1\n4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.\n2. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest\nrówna 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z postaci ogólnej\n\n**Co wiemy:** funkcja ma maksimum, więc parabola jest skierowana ramionami w dół → \\(a < 0\\).\n\n**Krok 1: wyznacz \\(c\\) z warunku \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\)**\n\n\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: wyznacz oś symetrii z warunku \\(f(-6) = f(0)\\)**\n\nSkoro \\(f(-6) = f(0)\\), to punkty \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) leżą symetrycznie względem wierzchołka. Oś symetrii jest w połowie między nimi:\n\n\\[p = \\frac{-6 + 0}{2} = -3\\]\n\nZatem \\(-\\dfrac{b}{2a} = -3\\), czyli \\(b = 6a\\).\n\n**Krok 3: użyj warunku maksimum \\(f(-3) = 6\\)**\n\n\\[f(-3) = 9a - 3b + c = 6\\]\n\nPodstawiam \\(b = 6a\\) i \\(c = \\frac{3}{2}\\):\n\n\\[9a - 3 \\cdot 6a + \\frac{3}{2} = 6\\]\n\\[9a - 18a = 6 - \\frac{3}{2}\\]\n\\[-9a = \\frac{12 - 3}{2} = \\frac{9}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (szybciej!)\n\nSkoro maksimum wynosi \\(6\\) i jest osiągane w \\(x = -3\\) (wyznaczonym jak wyżej z symetrii), funkcję możemy od razu zapisać w postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = a(x+3)^2 + 6\\]\n\nPodstawiam warunek \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\):\n\n\\[a \\cdot (0+3)^2 + 6 = \\frac{3}{2}\\]\n\\[9a = \\frac{3}{2} - 6 = \\frac{3 - 12}{2} = -\\frac{9}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja pełna** (\\(a = -\\frac{1}{2},\\ b = -3,\\ c = \\frac{3}{2}\\)):\n\\[f(x) = -\\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{3}{2}\\]\n\\[f(0) = \\frac{3}{2}\\ ✓, \\quad f(-6) = -\\frac{1}{2}\\cdot 36 + 18 + \\frac{3}{2} = -18 + 18 + \\frac{3}{2} = \\frac{3}{2}\\ ✓\\]\n\\[f(-3) = -\\frac{1}{2}\\cdot 9 + 9 + \\frac{3}{2} = -\\frac{9}{2} + \\frac{18}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\ ✓\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie wierzchołek } W = (p, q)\\]\n\nOś symetrii: \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - użyta w Sposobie 1 do ustalenia, że \\(b = 6a\\).\n\nWierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja osiąga maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)) - klucz do Sposobu 2.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(f(-6) = f(0)\\) NIE oznacza, że wierzchołek jest w \\(x = -6\\) ani \\(x = 0\\). Wierzchołek jest w punkcie **środkowym** tych dwóch argumentów, czyli w \\(x = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli funkcja ma **największą** wartość (maksimum), to koniecznie \\(a < 0\\). Gdyby \\(a > 0\\), funkcja miałaby minimum, nie maksimum - warto to sprawdzić na końcu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(f(-3)\\) łatwo o błąd znaku: \\(-3b = -3 \\cdot 6a = -18a\\), a nie \\(-18\\). Nie podstawiaj wartości liczbowej przedwcześnie.\n\n**Odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria wierzchołka + postać kanoniczna\n**Krok 1 - pierwsza współrzędna wierzchołka.** \\(f(-6) = f(0)\\), więc wierzchołek leży w połowie odległości między \\(-6\\) i \\(0\\):\n\\[p = \\dfrac{-6 + 0}{2} = -3.\\]\n\n**Krok 2 - druga współrzędna wierzchołka.** Funkcja \\(f\\) ma **największą** wartość = 6 (zatem \\(a < 0\\), ramiona w dół), osiąganą w wierzchołku:\n\\[q = 6.\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczenie \\(a\\).** Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x+3)^2 + 6\\). Warunek \\(f(0) = \\tfrac{3}{2}\\):\n\\[a\\cdot 9 + 6 = \\tfrac{3}{2}\\]\n\\[9a = \\tfrac{3}{2} - 6 = -\\tfrac{9}{2}\\]\n\\[a = -\\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ trzech równań\nZ warunków \\(f(-6) = f(0) = \\tfrac{3}{2}\\) i \\(\\max f = 6\\):\n\\[\\begin{cases} 36a - 6b + c = \\tfrac{3}{2} \\\\ c = \\tfrac{3}{2} \\\\ -\\tfrac{b^2 - 4ac}{4a} = 6 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego (po podstawieniu \\(c\\)): \\(36a - 6b = 0 \\Rightarrow b = 6a\\).\nZ trzeciego: \\(\\tfrac{4ac - b^2}{4a} = 6\\) → \\(4ac - b^2 = 24a\\). Podstawiamy \\(c = \\tfrac{3}{2}\\), \\(b = 6a\\):\n\\[4a\\cdot\\tfrac{3}{2} - 36a^2 = 24a\\]\n\\[6a - 36a^2 = 24a \\Rightarrow -36a^2 = 18a \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}.\\]\n(Przyjęliśmy \\(a \\ne 0\\) - bo to funkcja kwadratowa.)\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"funkcje","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-4)
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem
( )
2
f
x
ax
bx
c
. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
Oblicz wartość współczynnika a.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x) = ax^2+bx+c. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f(-6) = f(0) = 3/2. Oblicz wartość współczynnika a.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
\n

podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie
(4.9).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Ponieważ
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
, stąd wartość
6
0
3
2
p
Zatem
( )
(
)
2
f
x
a x
p
q
dla
3
p = - i
6
q =
Obliczamy współczynnik a. Wiemy, że
( )
3
0
2
f
, zatem
(
)
2
3
0
3
6
2
a
,
9
9
2
a = -
,
1
2
a = -
Odpowiedź:
1
2
a = -
II sposób
Z treści zadania wynika, że
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
:
(
)
(
)
2
3
6
6
2
3
0
0
2


⋅-⋅+

a
b
c
a
b
c
,
3
36
6
2
3
2
a
b
c
c


=

,
6
3
2
b
a
c
=

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:
6
3
2
2
b
a
p
a
a
Stąd wynika, że (
)3
6
f -
= i
( )
2
3
6
2
f
x
ax
ax
. Obliczamy współczynnik a
(
)
(
)
2
3
3
6
3
6
2
a
a
⋅-
,
9
9
2
a
,
1
2
a = -
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.
6
0
3
2
p
albo
• zapisze układ dwóch równań, np.:
(
)
(
)
2
3
6
6
2
3
0
0
,
2


⋅
⋅

a
b
c
a
b
c
albo
• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej
( )
(
)
2
f
x
a x
p
q
oraz zapisze
6
q =
,
albo
• zapisze równanie
6
4a
Δ
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )
(
)
6
3 2 +
x
a
x
f
albo
• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:
(
)
(
)
2
2
3
6
6
2
3
0
0
2
4
6
4



⋅-⋅+




a
b
c
a
b
c
b
ac
a
lub
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
6
6
2
3
0
0
2
3
3
6


⋅-⋅+




a
b
c
a
b
c
a
b
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,
np.: (
)
2
3
0
3
6
2
a
lub (
)
(
)
2
3
3
6
3
6
2
a
a
⋅-
, lub
2
36
18
0
a
a
albo
• obliczy wartości b i c:
3
b = -,
3
2
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy wartość współczynnika a:
1
2
a
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6
\n\n

rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest
równa
1
4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.

\n
  1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6
\n\n

rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest
równa 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - układ równań z postaci ogólnej

\n

Co wiemy: funkcja ma maksimum, więc parabola jest skierowana ramionami w dół → \\(a < 0\\).

\n

Krok 1: wyznacz \\(c\\) z warunku \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\)

\n

\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c = \\frac{3}{2}\\]

\n

Krok 2: wyznacz oś symetrii z warunku \\(f(-6) = f(0)\\)

\n

Skoro \\(f(-6) = f(0)\\), to punkty \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) leżą symetrycznie względem wierzchołka. Oś symetrii jest w połowie między nimi:

\n

\\[p = \\frac{-6 + 0}{2} = -3\\]

\n

Zatem \\(-\\dfrac{b}{2a} = -3\\), czyli \\(b = 6a\\).

\n

Krok 3: użyj warunku maksimum \\(f(-3) = 6\\)

\n

\\[f(-3) = 9a - 3b + c = 6\\]

\n

Podstawiam \\(b = 6a\\) i \\(c = \\frac{3}{2}\\):

\n

\\[9a - 3 \\cdot 6a + \\frac{3}{2} = 6\\]
\\[9a - 18a = 6 - \\frac{3}{2}\\]
\\[-9a = \\frac{12 - 3}{2} = \\frac{9}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - postać kanoniczna (szybciej!)

\n

Skoro maksimum wynosi \\(6\\) i jest osiągane w \\(x = -3\\) (wyznaczonym jak wyżej z symetrii), funkcję możemy od razu zapisać w postaci kanonicznej:

\n

\\[f(x) = a(x+3)^2 + 6\\]

\n

Podstawiam warunek \\(f(0) = \\frac{3}{2}\\):

\n

\\[a \\cdot (0+3)^2 + 6 = \\frac{3}{2}\\]
\\[9a = \\frac{3}{2} - 6 = \\frac{3 - 12}{2} = -\\frac{9}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{2}}\\]

\n

Weryfikacja pełna (\\(a = -\\frac{1}{2},\\ b = -3,\\ c = \\frac{3}{2}\\)):
\\[f(x) = -\\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{3}{2}\\]
\\[f(0) = \\frac{3}{2}\\ ✓, \\quad f(-6) = -\\frac{1}{2}\\cdot 36 + 18 + \\frac{3}{2} = -18 + 18 + \\frac{3}{2} = \\frac{3}{2}\\ ✓\\]
\\[f(-3) = -\\frac{1}{2}\\cdot 9 + 9 + \\frac{3}{2} = -\\frac{9}{2} + \\frac{18}{2} + \\frac{3}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\ ✓\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):

\n

Postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie wierzchołek } W = (p, q)\\]

\n

Oś symetrii: \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - użyta w Sposobie 1 do ustalenia, że \\(b = 6a\\).

\n

Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja osiąga maksimum (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)) - klucz do Sposobu 2.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(f(-6) = f(0)\\) NIE oznacza, że wierzchołek jest w \\(x = -6\\) ani \\(x = 0\\). Wierzchołek jest w punkcie środkowym tych dwóch argumentów, czyli w \\(x = -3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli funkcja ma największą wartość (maksimum), to koniecznie \\(a < 0\\). Gdyby \\(a > 0\\), funkcja miałaby minimum, nie maksimum - warto to sprawdzić na końcu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(f(-3)\\) łatwo o błąd znaku: \\(-3b = -3 \\cdot 6a = -18a\\), a nie \\(-18\\). Nie podstawiaj wartości liczbowej przedwcześnie.
\n

Odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Symetria wierzchołka + postać kanoniczna
\n

Krok 1 - pierwsza współrzędna wierzchołka. \\(f(-6) = f(0)\\), więc wierzchołek leży w połowie odległości między \\(-6\\) i \\(0\\):
\\[p = \\dfrac{-6 + 0}{2} = -3.\\]

\n

Krok 2 - druga współrzędna wierzchołka. Funkcja \\(f\\) ma największą wartość = 6 (zatem \\(a < 0\\), ramiona w dół), osiąganą w wierzchołku:
\\[q = 6.\\]

\n

Krok 3 - wyznaczenie \\(a\\). Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x+3)^2 + 6\\). Warunek \\(f(0) = \\tfrac{3}{2}\\):
\\[a\\cdot 9 + 6 = \\tfrac{3}{2}\\]
\\[9a = \\tfrac{3}{2} - 6 = -\\tfrac{9}{2}\\]
\\[a = -\\tfrac{1}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Układ trzech równań
\n

Z warunków \\(f(-6) = f(0) = \\tfrac{3}{2}\\) i \\(\\max f = 6\\):
\\[\\begin{cases} 36a - 6b + c = \\tfrac{3}{2} \\\\ c = \\tfrac{3}{2} \\\\ -\\tfrac{b^2 - 4ac}{4a} = 6 \\end{cases}\\]
Z pierwszego (po podstawieniu \\(c\\)): \\(36a - 6b = 0 \\Rightarrow b = 6a\\).
Z trzeciego: \\(\\tfrac{4ac - b^2}{4a} = 6\\) → \\(4ac - b^2 = 24a\\). Podstawiamy \\(c = \\tfrac{3}{2}\\), \\(b = 6a\\):
\\[4a\\cdot\\tfrac{3}{2} - 36a^2 = 24a\\]
\\[6a - 36a^2 = 24a \\Rightarrow -36a^2 = 18a \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}.\\]
(Przyjęliśmy \\(a \\ne 0\\) - bo to funkcja kwadratowa.)

\n

Odpowiedź: \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = -\\dfrac{1}{2}$

"}]}