{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych\njest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa\n(G10.7).\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma\ndługość\n. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n,\n,\nStąd\nlub\nDrugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc\nobwód jest równy 60 cm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n, gdzie\nx jest długością krótszej przyprostokątnej\nalbo\n• zapisze układ równań, np.:\n2\n2\n2\n26\na\nb\ni\n14\nb\na\n, gdzie a jest długością krótszej\noraz b długością dłuższej przyprostokątnej\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni,\nże rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.\n14\nx +\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx\n2\n2\n28\n196\n676\nx\nx\nx\n2\n14\n240\n0\nx\nx\n10\nx =\n24\nx = -\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi **60 cm**\n\n## Sposób 1 - Równanie kwadratowe z tw. Pitagorasa\n\n**Oznaczamy zmienne.** Niech krótsza przyprostokątna ma długość \\(a\\) cm. Wtedy dłuższa ma długość \\((a + 14)\\) cm.\n\n**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa** (przeciwprostokątna = 26):\n\\[a^2 + (a+14)^2 = 26^2\\]\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\\[a^2 + a^2 + 28a + 196 = 676\\]\n\\[2a^2 + 28a + 196 = 676\\]\n\\[2a^2 + 28a - 480 = 0\\]\n\\[a^2 + 14a - 240 = 0\\]\n\n**Wyznaczamy deltę:**\n\\[\\Delta = 14^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[a = \\frac{-14 \\pm 34}{2}\\]\n\\[a_1 = \\frac{-14 + 34}{2} = \\frac{20}{2} = 10 \\qquad a_2 = \\frac{-14 - 34}{2} = \\frac{-48}{2} = -24\\]\n\nOdrzucamy \\(a_2 = -24\\), bo długość nie może być ujemna.\n\n**Zatem:**\n- krótsza przyprostokątna: \\(a = 10\\) cm\n- dłuższa przyprostokątna: \\(a + 14 = 24\\) cm\n\n**Obwód trójkąta:**\n\\[O = 10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a + szybka weryfikacja\n\nZ równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\) korzystamy ze wzorów Viète'a, żeby szybko **sprawdzić**, czy wyniki są poprawne:\n\\[a_1 + a_2 = -14, \\quad a_1 \\cdot a_2 = -240\\]\n\nDla \\(a_1 = 10\\) i \\(a_2 = -24\\):\n\\[10 + (-24) = -14 \\checkmark\\]\n\\[10 \\cdot (-24) = -240 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja tw. Pitagorasa:**\n\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]\n\nObwód: \\(10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go, żeby ułożyć równanie łączące przyprostokątne z przeciwprostokątną.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe i deltę:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\).\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o odrzuceniu ujemnego rozwiązania - długość boku nie może być ujemna! Wielu uczniów wpisuje obydwa wyniki bez sprawdzenia sensu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która wielkość to przeciwprostokątna, a która przyprostokątna. Przeciwprostokątna to **najdłuższy** bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego - tu podana wprost jako 26 cm.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((a+14)^2\\) nie zapomnij o wyrazie środkowym: \\((a+14)^2 = a^2 + \\mathbf{28a} + 196\\), a nie \\(a^2 + 196\\).\n\n**Odpowiedź: obwód \\(= 60\\) cm**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + równanie kwadratowe\nNiech \\(x\\) - krótsza przyprostokątna. Wtedy dłuższa = \\(x + 14\\), przeciwprostokątna = \\(26\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[x^2 + (x+14)^2 = 26^2\\]\n\\[x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676\\]\n\\[2x^2 + 28x - 480 = 0\\]\n\\[x^2 + 14x - 240 = 0.\\]\n\nWzory Viète'a lub delta:\n\\[\\Delta = 196 + 960 = 1156, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 34\\]\n\\[x = \\tfrac{-14 \\pm 34}{2}.\\]\n\\(x_1 = 10\\) (dodatni) lub \\(x_2 = -24\\) (odrzucamy, długość musi być dodatnia).\n\n**Boki trójkąta:** \\(10, 10+14 = 24, 26\\).\n**Obwód:** \\(10 + 24 + 26 = 60\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta pitagorejskiego\nTrójkąt o bokach \\(10, 24, 26\\) to \\(2\\cdot(5, 12, 13)\\) - znany trójkąt pitagorejski. Sprawdzenie: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓.\n\nJeśli rozpoznamy skali \\(2\\), bezpośrednio otrzymujemy boki: \\(10, 24, 26\\), obwód \\(60\\).\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja warunku\nRóżnica przyprostokątnych: \\(24 - 10 = 14\\) ✓.\nPitagoras: \\(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** obwód = \\(60\\) cm.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych
jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.
G10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa
(G10.7).

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).
Przykładowe rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma
długość
. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
,
,
Stąd
lub
Drugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc
obwód jest równy 60 cm.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
, gdzie
x jest długością krótszej przyprostokątnej
albo
• zapisze układ równań, np.:
2
2
2
26
a
b
i
14
b
a
, gdzie a jest długością krótszej
oraz b długością dłuższej przyprostokątnej
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to
\n

otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni,
\n

że rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.
\n

14
x +
(
)
2
2
2
14
26
x
x
2
2
28
196
676
x
x
x
2
14
240
0
x
x
10
x =
24
x = -
(
)
2
2
2
14
26
x
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi 60 cm

\n

Sposób 1 - Równanie kwadratowe z tw. Pitagorasa

\n

Oznaczamy zmienne. Niech krótsza przyprostokątna ma długość \\(a\\) cm. Wtedy dłuższa ma długość \\((a + 14)\\) cm.

\n

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa (przeciwprostokątna = 26):
\\[a^2 + (a+14)^2 = 26^2\\]

\n

Rozwijamy lewą stronę:
\\[a^2 + a^2 + 28a + 196 = 676\\]
\\[2a^2 + 28a + 196 = 676\\]
\\[2a^2 + 28a - 480 = 0\\]
\\[a^2 + 14a - 240 = 0\\]

\n

Wyznaczamy deltę:
\\[\\Delta = 14^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 = 34^2\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[a = \\frac{-14 \\pm 34}{2}\\]
\\[a_1 = \\frac{-14 + 34}{2} = \\frac{20}{2} = 10 \\qquad a_2 = \\frac{-14 - 34}{2} = \\frac{-48}{2} = -24\\]

\n

Odrzucamy \\(a_2 = -24\\), bo długość nie może być ujemna.

\n

Zatem:

\n\n

Obwód trójkąta:
\\[O = 10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\]

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a + szybka weryfikacja

\n

Z równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\) korzystamy ze wzorów Viète'a, żeby szybko sprawdzić, czy wyniki są poprawne:
\\[a_1 + a_2 = -14, \\quad a_1 \\cdot a_2 = -240\\]

\n

Dla \\(a_1 = 10\\) i \\(a_2 = -24\\):
\\[10 + (-24) = -14 \\checkmark\\]
\\[10 \\cdot (-24) = -240 \\checkmark\\]

\n

Weryfikacja tw. Pitagorasa:
\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]

\n

Obwód: \\(10 + 24 + 26 = \\mathbf{60 \\text{ cm}}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C = 90°\\text{)}\\]
Użyliśmy go, żeby ułożyć równanie łączące przyprostokątne z przeciwprostokątną.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory na miejsca zerowe i deltę:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy do rozwiązania równania \\(a^2 + 14a - 240 = 0\\).

\n

Dział 7 - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyników.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o odrzuceniu ujemnego rozwiązania - długość boku nie może być ujemna! Wielu uczniów wpisuje obydwa wyniki bez sprawdzenia sensu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, która wielkość to przeciwprostokątna, a która przyprostokątna. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciwko kąta prostego - tu podana wprost jako 26 cm.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((a+14)^2\\) nie zapomnij o wyrazie środkowym: \\((a+14)^2 = a^2 + \\mathbf{28a} + 196\\), a nie \\(a^2 + 196\\).
\n

Odpowiedź: obwód \\(= 60\\) cm

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + równanie kwadratowe
\n

Niech \\(x\\) - krótsza przyprostokątna. Wtedy dłuższa = \\(x + 14\\), przeciwprostokątna = \\(26\\).

\n

Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[x^2 + (x+14)^2 = 26^2\\]
\\[x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676\\]
\\[2x^2 + 28x - 480 = 0\\]
\\[x^2 + 14x - 240 = 0.\\]

\n

Wzory Viète'a lub delta:
\\[\\Delta = 196 + 960 = 1156, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 34\\]
\\[x = \\tfrac{-14 \\pm 34}{2}.\\]
\\(x_1 = 10\\) (dodatni) lub \\(x_2 = -24\\) (odrzucamy, długość musi być dodatnia).

\n

Boki trójkąta: \\(10, 10+14 = 24, 26\\).
Obwód: \\(10 + 24 + 26 = 60\\) cm.

\n
Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta pitagorejskiego
\n

Trójkąt o bokach \\(10, 24, 26\\) to \\(2\\cdot(5, 12, 13)\\) - znany trójkąt pitagorejski. Sprawdzenie: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓.

\n

Jeśli rozpoznamy skali \\(2\\), bezpośrednio otrzymujemy boki: \\(10, 24, 26\\), obwód \\(60\\).

\n
Sposób 3 - Weryfikacja warunku
\n

Różnica przyprostokątnych: \\(24 - 10 = 14\\) ✓.
Pitagoras: \\(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\\) ✓.

\n

Odpowiedź: obwód = \\(60\\) cm.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$60\\text{ cm}$

"}]}