{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są: wyraz\n1\n8\na = i suma trzech\npoczątkowych wyrazów tego ciągu\n3\n33\nS =\n. Oblicz różnicę 16\n13\na\na\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a_1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33. Oblicz różnicę a_16 - a_13.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.\nW tym celu stosujemy wzory na sumę częściową\n3\n1\n3\n3\n33\nS\na\nr\ni\n1\n8\na =\nlub zapisujemy\nrównanie\n1\n1\n1\n2\n33\na\na\nr\na\nr\nObliczamy r:\n3\nr =\nNastępnie obliczamy różnicę 16\n13\na\na\n, jako 3r lub po wyznaczeniu\n16\na i\n13\na , czyli\n53\n3\n15\n8\n16\n⋅\na\n,\n44\n3\n12\n8\n13\n⋅\na\nZatem 16\n13\n3\n9\na\na\nr\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy różnicę ciągu\n3\nr =\n(lub 3\n9\nr =\n) lub obliczy wartość\n1\n11\na\nr\n, lub obliczy\nwartość\n2\n11\na =\n, lub zapisze, że 16\n13\n3\na\na\nr\n, lub obliczy\n3\n14\na =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy różnicę 16\n13\na\na\n9\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmuje\n33\nn =\nlub\n3\n33\na =\ni nie przedstawia poprawnej metody\nobliczenia różnicy 16\n13\na\na\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający poda wartość\n3\nr = i zapisze 16\n13\na\na\n3\n9\nr\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie różnicy \\(r\\) ze wzoru na \\(S_3\\)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\).**\n\nZe wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_3 = \\frac{2a_1 + (3-1)r}{2} \\cdot 3 = \\frac{2a_1 + 2r}{2} \\cdot 3 = 3(a_1 + r)\\]\n\nMożemy też po prostu zapisać:\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 8\\), \\(S_3 = 33\\):\n\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33\\]\n\\[24 + 3r = 33\\]\n\\[3r = 9\\]\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\).**\n\n\\[a_{16} = a_1 + 15r = 8 + 15 \\cdot 3 = 8 + 45 = 53\\]\n\\[a_{13} = a_1 + 12r = 8 + 12 \\cdot 3 = 8 + 36 = 44\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy różnicę.**\n\n\\[a_{16} - a_{13} = 53 - 44 = \\mathbf{9}\\]\n\n## Sposób 2 - sprytny trick: różnica wyrazów to wielokrotność \\(r\\)\n\nZamiast liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\), zauważamy od razu:\n\n\\[a_{16} - a_{13} = \\bigl(a_1 + 15r\\bigr) - \\bigl(a_1 + 12r\\bigr) = 3r\\]\n\n**Wyraz \\(a_1\\) się skraca!** Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) pozycji wynosi zawsze \\(k \\cdot r\\). Tutaj \\(16 - 13 = 3\\), więc:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r\\]\n\nWystarczy już tylko wyznaczyć \\(r\\) (tak samo jak w Sposobie 1):\n\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33 \\implies r = 3\\]\n\nA zatem:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{9}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\) (Sposób 1).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go (dla \\(n = 3\\)) do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(S_3 = 3a_1 + 3r\\) z \\(S_3 = 3a_1 + r\\) - pamiętaj, że w sumie trzech wyrazów mamy: \\(a_1\\), \\(a_1 + r\\), \\(a_1 + 2r\\), czyli łącznie \\(3a_1 + (0+1+2)r = 3a_1 + 3r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\)! Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) miejsc to zawsze \\(k \\cdot r\\). To znacznie szybszy sposób - szczególnie gdy pytanie dotyczy tylko różnicy, nie konkretnych wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik - \\(r = 3\\) oznacza \\(a_2 = 11\\), \\(a_3 = 14\\), więc \\(S_3 = 8 + 11 + 14 = 33\\). ✓\n\n**Odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(r\\) z \\(S_3\\)\nWzór na sumę: \\(S_3 = 3a_1 + 3r = 24 + 3r = 33\\).\nStąd \\(3r = 9\\), czyli \\(r = 3\\).\n\n**Różnica \\(a_{16} - a_{13}\\):**\n\\[a_{16} - a_{13} = (a_1 + 15r) - (a_1 + 12r) = 3r = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólna własność\nDla ciągu arytmetycznego \\(a_m - a_n = (m-n)\\cdot r\\). Zatem:\n\\[a_{16} - a_{13} = 3r.\\]\nZ \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 33\\): \\(r = 3\\).\n\\[a_{16} - a_{13} = 3\\cdot 3 = 9.\\]\n\n### Sposób 3 - Wartości \\(a_{16}, a_{13}\\) osobno\n\\(a_{16} = 8 + 15\\cdot 3 = 53\\), \\(a_{13} = 8 + 12\\cdot 3 = 44\\). Różnica: \\(53 - 44 = 9\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a_{16} - a_{13} = 9\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
W ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, dane są: wyraz
1
8
a = i suma trzech
początkowych wyrazów tego ciągu
3
33
S =
. Oblicz różnicę 16
13
a
a
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a_1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33. Oblicz różnicę a_16 - a_13.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n
\n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).
Przykładowe rozwiązanie
Wyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.
W tym celu stosujemy wzory na sumę częściową
3
1
3
3
33
S
a
r
i
1
8
a =
lub zapisujemy
równanie
1
1
1
2
33
a
a
r
a
r
Obliczamy r:
3
r =
Następnie obliczamy różnicę 16
13
a
a
, jako 3r lub po wyznaczeniu
16
a i
13
a , czyli
53
3
15
8
16
⋅
a
,
44
3
12
8
13
⋅
a
Zatem 16
13
3
9
a
a
r
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy różnicę ciągu
3
r =
(lub 3
9
r =
) lub obliczy wartość
1
11
a
r
, lub obliczy
wartość
2
11
a =
, lub zapisze, że 16
13
3
a
a
r
, lub obliczy
3
14
a =
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy różnicę 16
13
a
a
9
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający przyjmuje
\n

33
n =
lub
3
33
a =
i nie przedstawia poprawnej metody
obliczenia różnicy 16
13
a
a
, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający poda wartość
\n

3
r = i zapisze 16
13
a
a
3
9
r
, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie różnicy \\(r\\) ze wzoru na \\(S_3\\)

\n

Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\).

\n

Ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_3 = \\frac{2a_1 + (3-1)r}{2} \\cdot 3 = \\frac{2a_1 + 2r}{2} \\cdot 3 = 3(a_1 + r)\\]

\n

Możemy też po prostu zapisać:
\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = 8\\), \\(S_3 = 33\\):
\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33\\]
\\[24 + 3r = 33\\]
\\[3r = 9\\]
\\[r = 3\\]

\n

Krok 2: Obliczamy \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\).

\n

\\[a_{16} = a_1 + 15r = 8 + 15 \\cdot 3 = 8 + 45 = 53\\]
\\[a_{13} = a_1 + 12r = 8 + 12 \\cdot 3 = 8 + 36 = 44\\]

\n

Krok 3: Obliczamy różnicę.

\n

\\[a_{16} - a_{13} = 53 - 44 = \\mathbf{9}\\]

\n

Sposób 2 - sprytny trick: różnica wyrazów to wielokrotność \\(r\\)

\n

Zamiast liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\), zauważamy od razu:

\n

\\[a_{16} - a_{13} = \\bigl(a_1 + 15r\\bigr) - \\bigl(a_1 + 12r\\bigr) = 3r\\]

\n

Wyraz \\(a_1\\) się skraca! Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) pozycji wynosi zawsze \\(k \\cdot r\\). Tutaj \\(16 - 13 = 3\\), więc:
\\[a_{16} - a_{13} = 3r\\]

\n

Wystarczy już tylko wyznaczyć \\(r\\) (tak samo jak w Sposobie 1):
\\[3 \\cdot 8 + 3r = 33 \\implies r = 3\\]

\n

A zatem:
\\[a_{16} - a_{13} = 3r = 3 \\cdot 3 = \\mathbf{9}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\) (Sposób 1).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go (dla \\(n = 3\\)) do wyznaczenia różnicy \\(r\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(S_3 = 3a_1 + 3r\\) z \\(S_3 = 3a_1 + r\\) - pamiętaj, że w sumie trzech wyrazów mamy: \\(a_1\\), \\(a_1 + r\\), \\(a_1 + 2r\\), czyli łącznie \\(3a_1 + (0+1+2)r = 3a_1 + 3r\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz liczyć osobno \\(a_{16}\\) i \\(a_{13}\\)! Różnica wyrazów odległych o \\(k\\) miejsc to zawsze \\(k \\cdot r\\). To znacznie szybszy sposób - szczególnie gdy pytanie dotyczy tylko różnicy, nie konkretnych wartości.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź wynik - \\(r = 3\\) oznacza \\(a_2 = 11\\), \\(a_3 = 14\\), więc \\(S_3 = 8 + 11 + 14 = 33\\). ✓
\n

Odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\)

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie \\(r\\) z \\(S_3\\)
\n

Wzór na sumę: \\(S_3 = 3a_1 + 3r = 24 + 3r = 33\\).
Stąd \\(3r = 9\\), czyli \\(r = 3\\).

\n

Różnica \\(a_{16} - a_{13}\\):
\\[a_{16} - a_{13} = (a_1 + 15r) - (a_1 + 12r) = 3r = 9.\\]

\n
Sposób 2 - Ogólna własność
\n

Dla ciągu arytmetycznego \\(a_m - a_n = (m-n)\\cdot r\\). Zatem:
\\[a_{16} - a_{13} = 3r.\\]
Z \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) = 3a_1 + 3r = 33\\): \\(r = 3\\).
\\[a_{16} - a_{13} = 3\\cdot 3 = 9.\\]

\n
Sposób 3 - Wartości \\(a_{16}, a_{13}\\) osobno
\n

\\(a_{16} = 8 + 15\\cdot 3 = 53\\), \\(a_{13} = 8 + 12\\cdot 3 = 44\\). Różnica: \\(53 - 44 = 9\\).

\n

Odpowiedź: \\(a_{16} - a_{13} = 9\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$9$

"}]}