Zadanie 32. (0-5)
Dane są punkty
(
)
4,0
A = -
i
(
)
2,9
M =
oraz prosta k o równaniu
2
10
y
x
. Wierzchołek
B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek
C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:
MMA_1P
Dane są punkty A=(-4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=-2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Zadanie 32. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
(w postaci kierunkowej lub ogólnej) (8.1).
Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia
dwóch prostych (8.4).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
M
B
A
Prosta AM przechodzi przez punkty
(
)
4,0
A = -
i
(
)
2,9
M =
, więc jej równanie ma postać
(
)
9
4
2
4
y
x
, czyli
3
6
2
y
x
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Współrzędne punktu C obliczymy, rozwiązując układ równań:
3
6
2
y
x
i
2
10
y
x
Stąd
3
6
2
10
2 x
x
,
7
4
2 x =
,
8
7
x =
, a
3 8
12
54
6
6
2 7
7
7
y =
⋅
Zatem
8 54
,
7
7
C
=
. Wynika stąd, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C
na podstawę AB jest równa
54
7
C
h
y
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
1
1
54
243
5
9
34
2
2
7
7
7
ABC
P
AB h
⋅
⋅
⋅⋅
II sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
N
B
A
M
Wyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt
(
)
2,9
M =
:
(
)
2
2
9
y
x
,
2
13
y
x
Niech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox , więc
(
)
13
2 ,0
N =
. Zatem
(
)
13
21
2
2
4
AN =
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Z równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ANM, a skala
tego podobieństwa jest równa
21
2
9
18
6
21
7
AB
s
AN
Pole trójkąta ANM jest równe
1
1 21
21 9
9
9
2
2
2
4
ANM
P
AN
⋅
⋅
⋅
⋅
,
więc pole trójkąta ABC jest równe
2
2
6
21 9
243
5
34
7
4
7
7
ABC
ANM
P
s
P
⋅
⋅
⋅
Uwaga
Mając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając
ze wzoru
(
)(
) (
)(
)
1
2
ABC
B
A
C
A
B
A
C
A
P
x
x
y
y
y
y
x
x
⋅
:
(
)
1
54
8
1
54
243
5
5
4
0
0
4
9
34
2
7
7
2
7
7
7
ABC
P
⋅
-⋅
⋅
⋅
III sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
D
B
A
h
M
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Niech h
CD
. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy 2
-, więc
1
2
DA
h
Zatem
1
9
2
AD
h
Współczynnik kierunkowy prostej AM jest równy
(
)
9 0
3
2
4
2
AM
a
, ale
AM
CD
a
AD
, więc
3
2
CD
AD =
,
1
2
3
2
9
h
h
,
3
2
27
2
h
h
,
7
27
2 h =
,
54
7
h =
Pole trójkąta ABC jest równe
1
1
54
243
5
9
34
2
2
7
7
7
ABC
P
AB h
⋅
⋅
⋅⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AM:
3
2
a
albo
• wyznaczy współrzędne punktu B:
(
)
5,0
B =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• zapisze równanie prostej AM:
3
6
2
y
x
albo
• wyznaczy równanie prostej MN:
2
13
y
x
i zapisze, że trójkąty ABC i ANM są
podobne,
albo
• zapisze zależność między długościami odcinków CD i DA:
3
2
CD
AD =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość podstawy AB trójkąta:
9
AB =
oraz zapisze równanie, z którego
można wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu C
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:
8 54
,
7
7
C
=
(lub drugą współrzędną tego
punktu) i nie zapisze współrzędnych punktu B,
albo
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:
6
7
s =
(lub skalę
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :
1
7
6
s =
),
albo
• obliczy pole trójkąta ANM:
1 21 9
2
2
ANM
P
⋅
⋅ i zapisze, że
2
ABC
ANM
P
s P
⋅
, gdzie s
oznacza skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM,
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta
ABC, np.:
1
2
3
2
9
h
h
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy drugą współrzędną wierzchołka C oraz długość podstawy AB trójkąta ABC:
54
7
C
y
,
9
AB =
albo
• obliczy współrzędne wierzchołków B i C:
(
)
5,0
B =
,
8 54
,
7
7
C
=
,
albo
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:
6
7
s =
(lub skalę
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :
1
7
6
s =
) oraz pole trójkąta ANM:
1 21 9
2
2
ANM
P
⋅
⋅ i zapisze, że
2
ABC
ANM
P
s P
⋅
,
albo
• obliczy wysokość CD trójkąta ABC:
54
7
h =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pole trójkąta ABC:
243
7
ABC
P
Uwaga
Akceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np. 34,714.
Krok 1: Wyznacz punkt B (przecięcie prostej k z osią Ox)
\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\). Podstawiamy do równania prostej \\(k\\):
\\[0 = -2x + 10 \\implies x = 5\\]
\\[\\boxed{B = (5, 0)}\\]
Krok 2: Wyznacz równanie prostej AM
\nDane: \\(A = (-4, 0)\\), \\(M = (2, 9)\\).
\nWspółczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{9 - 0}{2 - (-4)} = \\frac{9}{6} = \\frac{3}{2}\\]
Równanie prostej (postać kierunkowa przez punkt A):
\\[y - 0 = \\frac{3}{2}(x - (-4)) \\implies y = \\frac{3}{2}x + 6\\]
Krok 3: Wyznacz punkt C (przecięcie prostej k z prostą AM)
\nUkład równań:
\\[\\begin{cases} y = -2x + 10 \\\\ y = \\frac{3}{2}x + 6 \\end{cases}\\]
Przyrównujemy prawe strony:
\\[-2x + 10 = \\frac{3}{2}x + 6\\]
\\[4 = \\frac{3}{2}x + 2x = \\frac{3}{2}x + \\frac{4}{2}x = \\frac{7}{2}x\\]
\\[x = \\frac{8}{7}\\]
Podstawiamy do równania prostej \\(k\\):
\\[y = -2 \\cdot \\frac{8}{7} + 10 = -\\frac{16}{7} + \\frac{70}{7} = \\frac{54}{7}\\]
\\[\\boxed{C = \\left(\\frac{8}{7},\\ \\frac{54}{7}\\right)}\\]
\nKrok 4: Oblicz pole trójkąta ABC
\nKluczowa obserwacja: punkty A i B leżą na osi Ox (oba mają \\(y = 0\\)), zatem odcinek AB jest podstawą trójkąta leżącą na osi poziomej.
\nDługość podstawy:
\\[|AB| = |5 - (-4)| = 9\\]
Wysokość trójkąta = rzędna punktu C (prostopadła odległość od C do osi Ox):
\\[h = \\frac{54}{7}\\]
Pole:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot \\frac{54}{7} = \\frac{486}{14} = \\boxed{\\frac{243}{7}}\\]
Korzystamy bezpośrednio ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych wierzchołków \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\):
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]
\nPodstawiamy \\(A = (-4, 0)\\), \\(B = (5, 0)\\), \\(C = \\left(\\frac{8}{7}, \\frac{54}{7}\\right)\\):
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(5-(-4))\\cdot\\left(\\frac{54}{7} - 0\\right) - (0-0)\\cdot\\left(\\frac{8}{7}-(-4)\\right)\\right|\\]
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|9 \\cdot \\frac{54}{7} - 0\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{486}{7} = \\frac{243}{7}\\]
\nWynik zgodny. ✓
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]
Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia prostej AM.
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.
⚠️ Uwaga: Przy szukaniu punktu B (przecięcie z osią \\(Ox\\)) podstawiamy \\(y = 0\\) - częsty błąd to szukanie przecięcia z \\(Oy\\) (czyli \\(x = 0\\)), co daje punkt \\((0, 10)\\), a nie B.\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu C trzeba najpierw znaleźć równanie prostej AM (nie prostej kM czy cokolwiek innego) - punkty A i M jednoznacznie wyznaczają tę prostą, ale M nie jest wierzchołkiem trójkąta, tylko punktem pomocniczym na tej prostej.\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\frac{243}{7}\\) jest ułamkiem - to poprawne! Nie trzeba "zaokrąglać" ani szukać wyniku całkowitego. Na maturze ułamek w wyniku jest akceptowalny, o ile jest nieskracalny (\\(\\gcd(243, 7) = 1\\), bo \\(243 = 3^5\\) i \\(7\\) jest pierwsze).\n
Odpowiedź: \\(P_{ABC} = \\dfrac{243}{7} = 34\\dfrac{5}{7}\\)
\nKrok 1 - wierzchołek \\(B\\) (przecięcie \\(k\\) z osią \\(Ox\\)):
\\(y = 0 \\Rightarrow -2x + 10 = 0 \\Rightarrow x = 5\\). Zatem \\(B = (5, 0)\\).
Krok 2 - równanie prostej \\(AM\\) przez \\(A = (-4, 0)\\) i \\(M = (2, 9)\\):
Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{9-0}{2-(-4)} = \\dfrac{9}{6} = \\dfrac{3}{2}\\).
Równanie: \\(y = \\dfrac{3}{2}(x+4) = \\dfrac{3}{2}x + 6\\).
Krok 3 - wierzchołek \\(C\\) (przecięcie \\(AM\\) i \\(k\\)):
\\[\\dfrac{3}{2}x + 6 = -2x + 10\\]
\\[\\dfrac{3}{2}x + 2x = 4 \\Rightarrow \\dfrac{7}{2}x = 4 \\Rightarrow x = \\dfrac{8}{7}.\\]
\\[y = -2\\cdot\\dfrac{8}{7} + 10 = -\\dfrac{16}{7} + \\dfrac{70}{7} = \\dfrac{54}{7}.\\]
Zatem \\(C = \\left(\\dfrac{8}{7}, \\dfrac{54}{7}\\right)\\).
Krok 4 - pole trójkąta \\(ABC\\):
\\(A\\) i \\(B\\) leżą na osi \\(Ox\\): \\(|AB| = |5 - (-4)| = 9\\). Wysokość z \\(C\\) do \\(AB\\) = \\(y_C = \\dfrac{54}{7}\\).
\\[P_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot\\dfrac{54}{7} = \\dfrac{486}{14} = \\dfrac{243}{7}.\\]
\\[P = \\dfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]
\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|(-4)(0 - \\tfrac{54}{7}) + 5(\\tfrac{54}{7} - 0) + \\tfrac{8}{7}(0 - 0)\\right|\\]
\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|\\tfrac{216}{7} + \\tfrac{270}{7}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{486}{7} = \\dfrac{243}{7}.\\]
Odpowiedź: \\(P = \\dfrac{243}{7} \\approx 34{,}71\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\dfrac{243}{7}$
"}]}