{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od\n40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n90\nΩ =\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych\ndwucyfrowych.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie\nmniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne\n}\n{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\nA\nStąd\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n90\n9\nΩ\nA\nP A\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,\nktóra jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1\n9.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n90\nΩ =\nalbo\n• zapisze, że\n10\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:\n( )\n10\n1\n90\n9\nA\nP A =\nΩ\nUwaga\n1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )\nP A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako\nrezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1\n9, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie wprost\n\n**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nZbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych to:\n\\[10, 11, 12, \\ldots, 99\\]\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]\n\n**Krok 2: Zdarzenie sprzyjające**\n\nSzukamy liczb dwucyfrowych spełniających OBA warunki jednocześnie:\n- mniejsze od \\(40\\), czyli należące do \\(\\{10, 11, \\ldots, 39\\}\\)\n- podzielne przez \\(3\\)\n\nWypisuję je po kolei:\n\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\\]\n\n**Weryfikacja każdej:** \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(15 = 3 \\cdot 5\\), , \\(39 = 3 \\cdot 13\\) ✓\n\n\\[|A| = 10\\]\n\n**Krok 3: Prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{10}{90} = \\frac{1}{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\) i mniejsze od \\(40\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o różnicy \\(r = 3\\):\n\\[a_1 = 12, \\quad a_n = 39\\]\n\nLiczba wyrazów tego ciągu:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r \\implies 39 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\\[27 = (n-1) \\cdot 3 \\implies n - 1 = 9 \\implies n = 10\\]\n\nStąd \\(|A| = 10\\), a prawdopodobieństwo:\n\\[P(A) = \\frac{10}{90} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: podzieliliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających przez moc przestrzeni zdarzeń.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia liczby elementów sprzyjających.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby naturalne dwucyfrowe zaczynają się od **10**, nie od **1**! Jeśli ktoś przyjmie \\(|\\Omega| = 99\\), dostanie błędny wynik \\(\\frac{10}{99}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „mniejsza od 40\" oznacza \\(< 40\\), czyli **39 należy**, ale **40 już nie**. Nie mylić z „nie większa niż 40\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wypisywaniu liczb podzielnych przez 3 łatwo pominąć pierwszą (12) lub ostatnią (39) - sprawdź zawsze, czy obydwa krańce spełniają oba warunki.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\)**\n\n### Sposób 1 - Liczenie zdarzeń sprzyjających\n**Krok 1 - \\(|\\Omega|\\):** liczby dwucyfrowe to \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\), czyli \\(90\\) liczb.\n\n**Krok 2 - zdarzenia sprzyjające:** liczby dwucyfrowe \\(\\ge 10\\) i \\(< 40\\) podzielne przez \\(3\\):\n\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.\\]\nRazem: \\(|A| = 10\\).\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(\\gcd(1, 9) = 1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 3 mniejsze od 40: pierwsza \\(12 = 3\\cdot 4\\), ostatnia \\(39 = 3\\cdot 13\\). Liczba wyrazów: \\(13 - 4 + 1 = 10\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(P = \\dfrac{1}{9}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od
40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
5
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa (10.3).
Przykładowe rozwiązanie
Jest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
90
Ω =
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych
dwucyfrowych.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie
mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne
}
{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39
A
Stąd
10
A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
10
1
90
9
Ω
A
P A
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,
która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe 1
9.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze, że
90
Ω =
albo
• zapisze, że
10
A =
i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:
( )
10
1
90
9
A
P A =
Ω
Uwaga

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik ( )
\n

P A jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako
\n

rezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko 1
\n

9, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{9}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie wprost

\n

Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

\n

Zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych to:
\\[10, 11, 12, \\ldots, 99\\]
\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]

\n

Krok 2: Zdarzenie sprzyjające

\n

Szukamy liczb dwucyfrowych spełniających OBA warunki jednocześnie:

\n\n

Wypisuję je po kolei:
\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\\]

\n

Weryfikacja każdej: \\(12 = 3 \\cdot 4\\), \\(15 = 3 \\cdot 5\\), , \\(39 = 3 \\cdot 13\\) ✓

\n

\\[|A| = 10\\]

\n

Krok 3: Prawdopodobieństwo

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{10}{90} = \\frac{1}{9}\\]

\n

Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny

\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(3\\) i mniejsze od \\(40\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(r = 3\\):
\\[a_1 = 12, \\quad a_n = 39\\]

\n

Liczba wyrazów tego ciągu:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r \\implies 39 = 12 + (n-1) \\cdot 3\\]
\\[27 = (n-1) \\cdot 3 \\implies n - 1 = 9 \\implies n = 10\\]

\n

Stąd \\(|A| = 10\\), a prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\frac{10}{90} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: podzieliliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających przez moc przestrzeni zdarzeń.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia liczby elementów sprzyjających.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Liczby naturalne dwucyfrowe zaczynają się od 10, nie od 1! Jeśli ktoś przyjmie \\(|\\Omega| = 99\\), dostanie błędny wynik \\(\\frac{10}{99}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek „mniejsza od 40" oznacza \\(< 40\\), czyli 39 należy, ale 40 już nie. Nie mylić z „nie większa niż 40".
\n
⚠️ Uwaga: Przy wypisywaniu liczb podzielnych przez 3 łatwo pominąć pierwszą (12) lub ostatnią (39) - sprawdź zawsze, czy obydwa krańce spełniają oba warunki.
\n

Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\)

\n
Sposób 1 - Liczenie zdarzeń sprzyjających
\n

Krok 1 - \\(|\\Omega|\\): liczby dwucyfrowe to \\(\\{10, 11, \\ldots, 99\\}\\), czyli \\(90\\) liczb.

\n

Krok 2 - zdarzenia sprzyjające: liczby dwucyfrowe \\(\\ge 10\\) i \\(< 40\\) podzielne przez \\(3\\):
\\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.\\]
Razem: \\(|A| = 10\\).

\n

Krok 3 - prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]

\n

Sprawdzamy nieskracalność: \\(\\gcd(1, 9) = 1\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny
\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 mniejsze od 40: pierwsza \\(12 = 3\\cdot 4\\), ostatnia \\(39 = 3\\cdot 13\\). Liczba wyrazów: \\(13 - 4 + 1 = 10\\).
\\[P(A) = \\dfrac{10}{90} = \\dfrac{1}{9}.\\]

\n

Odpowiedź: \\(P = \\dfrac{1}{9}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{1}{9}$

"}]}