{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi\npodstawy ostrosłupa jest równa 5 3\n4\n, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest\nrówne 15 3\n4\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√3/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√3/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi. (9.1)\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt\nmiędzy odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami\ni ścianami, przekątnymi i ścianami (9.2)\nZdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty\nmiędzy ścianami (9.4)\nZdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków,\nmiar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nWykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie\n15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\n, skąd otrzymujemy\n2\na\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy\nPonieważ\n1\n3\n3\n3\n2\n3\n⋅\nDO\na\n, więc\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nH\nStąd\n209\n4 3\nH\nZatem objętość ostrosłupa jest równa\n1\n1 4 3\n209\n209\n3\n3\n4\n12\n4 3\n⋅\n⋅\n⋅\np\nV\nP\nH\n2\n2\n2\nDO\nh\nH\nA\nB\nC\nS\nh\nH\nO\na\nb\nD\na\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze równanie 15 3\n1\n5 3\n3\n4\n2\n4\na\n= ⋅\n⋅\nalbo\n• zapisze, że\n1\n3\n3\n2\nDO\na\n⋅\nlub\n2\n3\n3\n2\nAO\na\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze równanie\nz niewiadomą H, np.:\n2\n2\n2\n5 3\n3\n4\n6\na\nH\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:\n2\na =\ni zapisze układ równań\nwystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n5 3\n2\n4\na\nH\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n209\n4 3\nH\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość V ostrosłupa:\n209\n12\nV\nUwagi\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\n3. Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy\n2\na =\nbez obliczeń i rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 3\n4\nlub liczbę 15 3\n4\ni z tym błędem rozwiąże\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\n5. Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi,\nto otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - przez apotema ostrosłupa i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Dane:**\n- apotema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej ⊥ do krawędzi podstawy): \\(m = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\)\n- pole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\dfrac{15\\sqrt{3}}{4}\\)\n\n### Krok 1 - wyznaczenie boku podstawy \\(a\\)\n\nOstrosłup prawidłowy trójkątny ma **3 trójkątne ściany boczne**, każda o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(m\\). Pole każdej ściany bocznej to \\(\\frac{1}{2}am\\), więc:\n\n\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]\n\n\\[a = \\frac{15\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{8}{15\\sqrt{3}} = 2\\]\n\n**Bok podstawy \\(a = 2\\).**\n\n### Krok 2 - wyznaczenie wysokości ostrosłupa \\(h\\)\n\nApotema ostrosłupa, promień wpisany w podstawę i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny:\n\n\\[m^2 = h^2 + r^2\\]\n\ngdzie \\(r\\) - apotema (promień wpisany) trójkąta równobocznego podstawy:\n\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{2\\sqrt{3}}{6} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\left(\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = h^2 + \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\]\n\n\\[\\frac{75}{16} = h^2 + \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[h^2 = \\frac{75}{16} - \\frac{1}{3} = \\frac{225}{48} - \\frac{16}{48} = \\frac{209}{48}\\]\n\n\\[h = \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209} \\cdot \\sqrt{3}}{12} = \\frac{\\sqrt{627}}{12}\\]\n\n### Krok 3 - obliczenie objętości\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2\\)):\n\n\\[S_{\\text{podst}} = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot a^2 = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4 = \\sqrt{3}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot S_{\\text{podst}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{627}}{12} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{627}}{36} = \\frac{\\sqrt{1881}}{36}\\]\n\nUpraszczamy: \\(1881 = 9 \\cdot 209\\), więc \\(\\sqrt{1881} = 3\\sqrt{209}\\):\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{209}}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez krawędź boczną ostrosłupa\n\nKrawędź boczna \\(e\\) (bok trójkąta bocznego) wyznaczamy z trójkąta bocznego. Każda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 2\\) i wysokości \\(m = \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\):\n\n\\[e^2 = m^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = \\frac{75}{16} + 1 = \\frac{91}{16} \\implies e = \\frac{\\sqrt{91}}{4}\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(h\\) używając promienia opisanego podstawy \\(R\\) (dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{3}\\)):\n\n\\[h^2 = e^2 - R^2 = \\frac{91}{16} - \\frac{4}{3} = \\frac{273}{48} - \\frac{64}{48} = \\frac{209}{48}\\]\n\nWynik identyczny jak w Sposobie 1. Objętość:\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{\\frac{209}{48}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209}}{12}\\]\n\n**Weryfikacja jest spójna** - oba sposoby dają \\(V = \\frac{\\sqrt{209}}{12} \\approx 1{,}205\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\n> **Ostrosłup:**\n> \\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n> gdzie \\(P_p\\) - pole podstawy, \\(h\\) - wysokość ostrosłupa.\n> Użyliśmy tego w Kroku 3 do obliczenia objętości.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-17)**\n\n> \\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n> Wzór na apotema \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) był kluczowy w Kroku 2 do związku między \\(m\\), \\(h\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **apotemy ostrosłupa** (wysokość ściany bocznej do krawędzi podstawy = \\(m\\)) z **wysokością ostrosłupa** (\\(h\\)). To zupełnie różne odcinki! \\(m\\) leży w płaszczyźnie ściany bocznej, \\(h\\) jest prostopadła do podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy trójkąta równobocznego to \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wysokość trójkąta). Pomyłka tych dwóch wartości to bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Związek Pitagorejski \\(m^2 = h^2 + r^2\\) działa, bo apotema ostrosłupa, apotema podstawy i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny - upewnij się, że rysujesz ten trójkąt pomocniczy.\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi podstawy\n**Krok 1 - pole powierzchni bocznej** = 3 × pole trójkąta ściany bocznej:\n\\[P_b = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_{sc}\\]\nGdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\) - wysokość ściany bocznej.\n\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]\n\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8} \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość ostrosłupa \\(H\\).**\nOznaczmy \\(O\\) - środek podstawy (środek trójkąta równobocznego). Punkt \\(D\\) - środek krawędzi podstawy. \\(|OD|\\) to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego:\n\\[|OD| = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(ODS\\) (gdzie \\(S\\) - wierzchołek ostrosłupa):\n\\[h_{sc}^2 = |OD|^2 + H^2\\]\n\\[\\left(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + H^2\\]\n\\[\\dfrac{75}{16} = \\dfrac{1}{3} + H^2\\]\n\\[H^2 = \\dfrac{75}{16} - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{225 - 16}{48} = \\dfrac{209}{48}\\]\n\\[H = \\sqrt{\\dfrac{209}{48}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość:**\nPole podstawy: \\(P_p = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja równań\nZ \\(a = 2\\) i \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\): krawędź boczna \\(b\\) obliczamy z Pitagorasa w trójkącie ściany bocznej:\n\\[b^2 = h_{sc}^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{75}{16} + 1 = \\tfrac{91}{16}, \\quad b = \\tfrac{\\sqrt{91}}{4}.\\]\nUżywając \\(b\\) i \\(|OA| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{2\\sqrt{3}}{3}\\): \\(H^2 = b^2 - |OA|^2 = \\tfrac{91}{16} - \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{273-64}{48} = \\tfrac{209}{48}\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi
podstawy ostrosłupa jest równa 5 3
4
, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest
równe 15 3
4
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√3/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√3/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach
\n

i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami,
krawędziami i przekątnymi. (9.1)
Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt
między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami
i ścianami, przekątnymi i ścianami (9.2)
Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty
między ścianami (9.4)
Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków,
miar kątów, pól powierzchni i objętości (9.6).
Przykładowe rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie
15 3
1
5 3
3
4
2
4
a
= ⋅
⋅
, skąd otrzymujemy
2
a
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy
Ponieważ
1
3
3
3
2
3
⋅
DO
a
, więc
2
2
2
5 3
3
4
3
















H
Stąd
209
4 3
H
Zatem objętość ostrosłupa jest równa
1
1 4 3
209
209
3
3
4
12
4 3
⋅
⋅
⋅
p
V
P
H
2
2
2
DO
h
H
A
B
C
S
h
H
O
a
b
D
a
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze równanie 15 3
1
5 3
3
4
2
4
a
= ⋅
⋅
albo
• zapisze, że
1
3
3
2
DO
a
⋅
lub
2
3
3
2
AO
a
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:
2
a =
i zapisze równanie
z niewiadomą H, np.:
2
2
2
5 3
3
4
6
a
H
















albo
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa:
2
a =
i zapisze układ równań
wystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.:
2
2
2
2
2
2
3
3
5 3
2
4
a
H
b
a
b















+












i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa:
209
4 3
H
i na tym zakończy lub dalej popełnia
błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy objętość V ostrosłupa:
209
12
V
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów.
  2. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.
  3. Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy
\n

2
a =
bez obliczeń i rozwiąże zadanie do
końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 3
\n

4
lub liczbę 15 3
4
i z tym błędem rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi,
\n

to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)

\n

Sposób 1 - przez apotema ostrosłupa i twierdzenie Pitagorasa

\n

Dane:

\n\n
Krok 1 - wyznaczenie boku podstawy \\(a\\)
\n

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma 3 trójkątne ściany boczne, każda o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(m\\). Pole każdej ściany bocznej to \\(\\frac{1}{2}am\\), więc:

\n

\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

\\[\\frac{15\\sqrt{3}}{4} = \\frac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]

\n

\\[a = \\frac{15\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{8}{15\\sqrt{3}} = 2\\]

\n

Bok podstawy \\(a = 2\\).

\n
Krok 2 - wyznaczenie wysokości ostrosłupa \\(h\\)
\n

Apotema ostrosłupa, promień wpisany w podstawę i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny:

\n

\\[m^2 = h^2 + r^2\\]

\n

gdzie \\(r\\) - apotema (promień wpisany) trójkąta równobocznego podstawy:

\n

\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{2\\sqrt{3}}{6} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\left(\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = h^2 + \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\]

\n

\\[\\frac{75}{16} = h^2 + \\frac{1}{3}\\]

\n

\\[h^2 = \\frac{75}{16} - \\frac{1}{3} = \\frac{225}{48} - \\frac{16}{48} = \\frac{209}{48}\\]

\n

\\[h = \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209} \\cdot \\sqrt{3}}{12} = \\frac{\\sqrt{627}}{12}\\]

\n
Krok 3 - obliczenie objętości
\n

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2\\)):

\n

\\[S_{\\text{podst}} = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot a^2 = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4 = \\sqrt{3}\\]

\n

Objętość ostrosłupa:

\n

\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot S_{\\text{podst}} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{627}}{12} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{627}}{36} = \\frac{\\sqrt{1881}}{36}\\]

\n

Upraszczamy: \\(1881 = 9 \\cdot 209\\), więc \\(\\sqrt{1881} = 3\\sqrt{209}\\):

\n

\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{209}}{12}}\\]

\n

Sposób 2 - przez krawędź boczną ostrosłupa

\n

Krawędź boczna \\(e\\) (bok trójkąta bocznego) wyznaczamy z trójkąta bocznego. Każda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 2\\) i wysokości \\(m = \\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\):

\n

\\[e^2 = m^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = \\frac{75}{16} + 1 = \\frac{91}{16} \\implies e = \\frac{\\sqrt{91}}{4}\\]

\n

Teraz wyznaczamy \\(h\\) używając promienia opisanego podstawy \\(R\\) (dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{3}\\)):

\n

\\[h^2 = e^2 - R^2 = \\frac{91}{16} - \\frac{4}{3} = \\frac{273}{48} - \\frac{64}{48} = \\frac{209}{48}\\]

\n

Wynik identyczny jak w Sposobie 1. Objętość:

\n

\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{\\frac{209}{48}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{209}}{12}\\]

\n

Weryfikacja jest spójna - oba sposoby dają \\(V = \\frac{\\sqrt{209}}{12} \\approx 1{,}205\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)

\n
Ostrosłup:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
gdzie \\(P_p\\) - pole podstawy, \\(h\\) - wysokość ostrosłupa.
Użyliśmy tego w Kroku 3 do obliczenia objętości.
\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-17)

\n
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\quad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]
Wzór na apotema \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) był kluczowy w Kroku 2 do związku między \\(m\\), \\(h\\) i \\(r\\).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić apotemy ostrosłupa (wysokość ściany bocznej do krawędzi podstawy = \\(m\\)) z wysokością ostrosłupa (\\(h\\)). To zupełnie różne odcinki! \\(m\\) leży w płaszczyźnie ściany bocznej, \\(h\\) jest prostopadła do podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Apotema podstawy trójkąta równobocznego to \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\), nie \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wysokość trójkąta). Pomyłka tych dwóch wartości to bardzo częsty błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Związek Pitagorejski \\(m^2 = h^2 + r^2\\) działa, bo apotema ostrosłupa, apotema podstawy i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny - upewnij się, że rysujesz ten trójkąt pomocniczy.
\n

Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\)

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi podstawy
\n

Krok 1 - pole powierzchni bocznej = 3 × pole trójkąta ściany bocznej:
\\[P_b = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h_{sc}\\]
Gdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\) - wysokość ściany bocznej.
\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8}\\]
\\[\\dfrac{15\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{15a\\sqrt{3}}{8} \\Rightarrow a = 2.\\]

\n

Krok 2 - wysokość ostrosłupa \\(H\\).
Oznaczmy \\(O\\) - środek podstawy (środek trójkąta równobocznego). Punkt \\(D\\) - środek krawędzi podstawy. \\(|OD|\\) to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego:
\\[|OD| = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]

\n

Z trójkąta prostokątnego \\(ODS\\) (gdzie \\(S\\) - wierzchołek ostrosłupa):
\\[h_{sc}^2 = |OD|^2 + H^2\\]
\\[\\left(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 + H^2\\]
\\[\\dfrac{75}{16} = \\dfrac{1}{3} + H^2\\]
\\[H^2 = \\dfrac{75}{16} - \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{225 - 16}{48} = \\dfrac{209}{48}\\]
\\[H = \\sqrt{\\dfrac{209}{48}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}}.\\]

\n

Krok 3 - objętość:
Pole podstawy: \\(P_p = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\).
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{209}}{4\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja równań
\n

Z \\(a = 2\\) i \\(h_{sc} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{4}\\): krawędź boczna \\(b\\) obliczamy z Pitagorasa w trójkącie ściany bocznej:
\\[b^2 = h_{sc}^2 + \\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 = \\tfrac{75}{16} + 1 = \\tfrac{91}{16}, \\quad b = \\tfrac{\\sqrt{91}}{4}.\\]
Używając \\(b\\) i \\(|OA| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{2\\sqrt{3}}{3}\\): \\(H^2 = b^2 - |OA|^2 = \\tfrac{91}{16} - \\tfrac{4}{3} = \\tfrac{273-64}{48} = \\tfrac{209}{48}\\) ✓.

\n

Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = \\dfrac{\\sqrt{209}}{12}$

"}]}