{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku\ndo liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt\nliczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?\nA. 4050\nB. 1782\nC. 7425\nD. 7128\nLiczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120 i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku? A. 4050, B. 1782, C. 7425, D. 7128","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(4050\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z niewiadomą\n\n**Oznaczamy:** niech \\(x\\) = liczba zwierząt 31 grudnia 2011 r.\n\nLiczba wzrosła o \\(120\\%\\), czyli przybyło \\(\\frac{120}{100} \\cdot x = 1{,}2x\\) osobników.\n\n**Obecna liczba = stan wyjściowy + przyrost:**\n\\[x + 1{,}2x = 8910\\]\n\\[2{,}2x = 8910\\]\n\\[x = \\frac{8910}{2{,}2} = \\frac{8910}{\\frac{11}{5}} = 8910 \\cdot \\frac{5}{11} = \\frac{44550}{11} = \\mathbf{4050}\\]\n\nPopulacja liczyła **\\(4050\\)** zwierząt.\n\n## Sposób 2 - myślenie procentowe (przez 100%)\n\nWzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że obecna liczba stanowi \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) liczby wyjściowej.\n\n\\[220\\% \\cdot x = 8910\\]\n\\[\\frac{220}{100} \\cdot x = 8910\\]\n\\[x = \\frac{8910 \\cdot 100}{220} = \\frac{891000}{220} = \\mathbf{4050}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(4050 \\cdot 2{,}2 = 4050 \\cdot 2 + 4050 \\cdot 0{,}2 = 8100 + 810 = 8910\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(1782\\) | Policzono \\(8910 \\cdot \\frac{20}{100} = 1782\\), czyli \\(20\\%\\) z aktualnej liczby - kompletnie błędna interpretacja |\n| C: \\(7425\\) | Odjęto \\(120\\%\\) z \\(8910\\): \\(8910 \\cdot \\frac{100}{120} = 7425\\) - błąd w kierunku działania, jakby populacja zmalała |\n| D: \\(7128\\) | Policzono \\(8910 \\cdot 0{,}8 = 7128\\), odjęto \\(20\\%\\) zamiast uwzględnić wzrost o \\(120\\%\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(120\\%\\) to **NIE TO SAMO** co wzrost do \\(120\\%\\). Wzrost **do** \\(120\\%\\) oznaczałby \\(x \\cdot 1{,}2 = 8910\\), wzrost **o** \\(120\\%\\) oznacza \\(x \\cdot (1 + 1{,}2) = x \\cdot 2{,}2 = 8910\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno liczyć \\(\\frac{8910}{1{,}2}\\) - to błąd C. Dzielenie przez \\(1{,}2\\) dawałoby wynik, gdyby populacja wzrosła **do** \\(120\\%\\), a nie **o** \\(120\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(100\\%\\) = podwojenie. Wzrost o \\(120\\%\\) = ponad podwojenie (mnożnik \\(2{,}2\\)). Jeśli wynik jest większy niż połowa aktualnej liczby - to dobry znak, że liczymy dobrze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równanie procentowe\nWzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że nowa wartość to \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) starej:\n\\[2{,}2x = 8910 \\Rightarrow x = \\dfrac{8910}{2{,}2} = 4050.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład kroku\n\\(100\\%\\) (stara) + \\(120\\%\\) wzrostu = \\(220\\%\\) (nowa). Zatem \\(1\\%\\) starej wartości = \\(\\tfrac{8910}{220} = 40{,}5\\), a \\(100\\%\\) = \\(4050\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(1782\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}2 = 1782\\) (obliczono \\(20\\%\\) zamiast szukanej wartości).\n- **C. \\(7425\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}833\\) lub podobne błędne obliczenie.\n- **D. \\(7128\\)** - \\(8910\\cdot 0{,}8 = 7128\\) (odjęto \\(20\\%\\) zamiast dzielić przez \\(2{,}2\\)).\n\n**Częsta pułapka:** wzrost o \\(120\\%\\) to mnożenie przez \\(2{,}2\\) (nowa wartość = \\(x + 1{,}2x\\)), **nie** przez \\(1{,}2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie procentów i równania\n1. **Zrozumienie zadania:** Zaczynamy z liczbą zwierząt w 2011 roku, która jest bazą. Następnie, wzrost o 120% oznacza, że liczba zwierząt wzrosła o 120% tej bazy. Ostateczna liczba to suma bazy i wzrostu.\n2. **Obliczenie wzrostu:** 120% z liczby zwierząt w 2011 roku to 1,20 * liczba zwierząt w 2011 roku.\n3. **Obliczenie liczby zwierząt w 2011 roku:** Oznaczmy liczbę zwierząt w 2011 roku jako *x*. Zatem, ostateczna liczba to *x* + 1,20*x = 2,20*x. Wiemy, że 2,20*x = 8910.\n4. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony równania przez 2,20:\n\\(x = \\frac{8910}{2,20} = \\frac{89100}{22} = 4050\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na wzrost o 120%\n1. **Zrozumienie zadania:** Znamy ostateczną liczbę zwierząt (8910) i procent wzrostu (120%). Chcemy znaleźć liczbę zwierząt w 2011 roku.\n2. **Zastosowanie wzoru:** Jeśli wzrost o 120% daje 8910, to możemy to zapisać jako:\n\\(x \\cdot (1 + 1,20) = 8910\\)\n\\(x \\cdot 2,20 = 8910\\)\n3. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony przez 2,20:\n\\(x = \\frac{8910}{2,20} = 4050\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 1782:** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie spełnia ona warunków zadania.\n* **C. 7425:** Ta odpowiedź również jest błędna, ponieważ nie jest zgodna z obliczeniami dotyczącymi wzrostu o 120%.\n* **D. 7128:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie prowadzi do poprawnej liczby zwierząt po wzroście o 120%.\n\nZadanie polega na obliczeniu wartości początkowej populacji, wiedząc, że po wzroście o 120% liczba wynosi 8910. Użycie procentów i odpowiedniego wzoru pozwala na rozwiązanie tego problemu.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku
do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt
liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
A. 4050
B. 1782
C. 7425
D. 7128
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120 i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku? A. 4050, B. 1782, C. 7425, D. 7128

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje
\n

obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk
z lokat (1.9).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(4050\\)

\n

Sposób 1 - równanie z niewiadomą

\n

Oznaczamy: niech \\(x\\) = liczba zwierząt 31 grudnia 2011 r.

\n

Liczba wzrosła o \\(120\\%\\), czyli przybyło \\(\\frac{120}{100} \\cdot x = 1{,}2x\\) osobników.

\n

Obecna liczba = stan wyjściowy + przyrost:
\\[x + 1{,}2x = 8910\\]
\\[2{,}2x = 8910\\]
\\[x = \\frac{8910}{2{,}2} = \\frac{8910}{\\frac{11}{5}} = 8910 \\cdot \\frac{5}{11} = \\frac{44550}{11} = \\mathbf{4050}\\]

\n

Populacja liczyła \\(4050\\) zwierząt.

\n

Sposób 2 - myślenie procentowe (przez 100%)

\n

Wzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że obecna liczba stanowi \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) liczby wyjściowej.

\n

\\[220\\% \\cdot x = 8910\\]
\\[\\frac{220}{100} \\cdot x = 8910\\]
\\[x = \\frac{8910 \\cdot 100}{220} = \\frac{891000}{220} = \\mathbf{4050}\\]

\n

Weryfikacja: \\(4050 \\cdot 2{,}2 = 4050 \\cdot 2 + 4050 \\cdot 0{,}2 = 8100 + 810 = 8910\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania algebraiczne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B: \\(1782\\) | Policzono \\(8910 \\cdot \\frac{20}{100} = 1782\\), czyli \\(20\\%\\) z aktualnej liczby - kompletnie błędna interpretacja |
| C: \\(7425\\) | Odjęto \\(120\\%\\) z \\(8910\\): \\(8910 \\cdot \\frac{100}{120} = 7425\\) - błąd w kierunku działania, jakby populacja zmalała |
| D: \\(7128\\) | Policzono \\(8910 \\cdot 0{,}8 = 7128\\), odjęto \\(20\\%\\) zamiast uwzględnić wzrost o \\(120\\%\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzrost o \\(120\\%\\) to NIE TO SAMO co wzrost do \\(120\\%\\). Wzrost do \\(120\\%\\) oznaczałby \\(x \\cdot 1{,}2 = 8910\\), wzrost o \\(120\\%\\) oznacza \\(x \\cdot (1 + 1{,}2) = x \\cdot 2{,}2 = 8910\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno liczyć \\(\\frac{8910}{1{,}2}\\) - to błąd C. Dzielenie przez \\(1{,}2\\) dawałoby wynik, gdyby populacja wzrosła do \\(120\\%\\), a nie o \\(120\\%\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzrost o \\(100\\%\\) = podwojenie. Wzrost o \\(120\\%\\) = ponad podwojenie (mnożnik \\(2{,}2\\)). Jeśli wynik jest większy niż połowa aktualnej liczby - to dobry znak, że liczymy dobrze.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Równanie procentowe
\n

Wzrost o \\(120\\%\\) oznacza, że nowa wartość to \\(100\\% + 120\\% = 220\\%\\) starej:
\\[2{,}2x = 8910 \\Rightarrow x = \\dfrac{8910}{2{,}2} = 4050.\\]

\n
Sposób 2 - Rozkład kroku
\n

\\(100\\%\\) (stara) + \\(120\\%\\) wzrostu = \\(220\\%\\) (nowa). Zatem \\(1\\%\\) starej wartości = \\(\\tfrac{8910}{220} = 40{,}5\\), a \\(100\\%\\) = \\(4050\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Częsta pułapka: wzrost o \\(120\\%\\) to mnożenie przez \\(2{,}2\\) (nowa wartość = \\(x + 1{,}2x\\)), nie przez \\(1{,}2\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie procentów i równania
\n
  1. Zrozumienie zadania: Zaczynamy z liczbą zwierząt w 2011 roku, która jest bazą. Następnie, wzrost o 120% oznacza, że liczba zwierząt wzrosła o 120% tej bazy. Ostateczna liczba to suma bazy i wzrostu.
  2. Obliczenie wzrostu: 120% z liczby zwierząt w 2011 roku to 1,20 * liczba zwierząt w 2011 roku.
  3. Obliczenie liczby zwierząt w 2011 roku: Oznaczmy liczbę zwierząt w 2011 roku jako x. Zatem, ostateczna liczba to x + 1,20x = 2,20x. Wiemy, że 2,20*x = 8910.
  4. Rozwiązanie równania: Dzielimy obie strony równania przez 2,20:
\n

\\(x = \\frac{8910}{2,20} = \\frac{89100}{22} = 4050\\)

\n

📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na wzrost o 120%
\n
  1. Zrozumienie zadania: Znamy ostateczną liczbę zwierząt (8910) i procent wzrostu (120%). Chcemy znaleźć liczbę zwierząt w 2011 roku.
  2. Zastosowanie wzoru: Jeśli wzrost o 120% daje 8910, to możemy to zapisać jako:
\n

\\(x \\cdot (1 + 1,20) = 8910\\)
\\(x \\cdot 2,20 = 8910\\)

\n
  1. Rozwiązanie równania: Dzielimy obie strony przez 2,20:
\n

\\(x = \\frac{8910}{2,20} = 4050\\)

\n

📖 Karta wzorów: s.10 - Ciągi, wzór na procent składany: Kₙ=K₀·(1+p/100)ⁿ, strona 10

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Zadanie polega na obliczeniu wartości początkowej populacji, wiedząc, że po wzroście o 120% liczba wynosi 8910. Użycie procentów i odpowiedniego wzoru pozwala na rozwiązanie tego problemu.

"}]}