{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nRówność (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\njest\nA. prawdziwa dla\n2\nx = -\nB. prawdziwa dla\n2\nx =\nC. prawdziwa dla\n1\nx = -.\nD. fałszywa dla każdej liczby x.\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRówność (x√2 - 2)^2 = (2 + √2)^2 A. prawdziwa dla x=-√2; B. prawdziwa dla x=√2; C. prawdziwa dla x=-1. D. fałszywa dla każdej liczby x.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania kwadratowe z jedną\nniewiadomą (3.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRówność jest prawdziwa dla \\(x = -1\\).\n\n## Sposób 1 - Wyłuskanie pierwiastków równania\n\nJeśli \\(A^2 = B^2\\), to \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Właśnie to tu stosujemy.\n\nMamy:\n\\[(x\\sqrt{2} - 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]\n\nBierzemy pierwiastek (z obu stron - pamiętamy o obu przypadkach):\n\n**Przypadek 1:**\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2}\\]\n\\[x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2}\\]\n\\[x = \\frac{4 + \\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} + 1 = 2\\sqrt{2} + 1\\]\n\n**Przypadek 2:**\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = -(2 + \\sqrt{2})\\]\n\\[x\\sqrt{2} - 2 = -2 - \\sqrt{2}\\]\n\\[x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2}\\]\n\\[\\boxed{x = -1}\\]\n\nRozwiązania: \\(x = -1\\) lub \\(x = 2\\sqrt{2} + 1\\).\n\nSpośród odpowiedzi A, B, C, D - jedynym rozwiązaniem pokrywającym się z opcjami jest \\(x = -1\\), czyli **odpowiedź C**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(x = -1\\)\n\nPodstawiamy \\(x = -1\\) do lewej strony:\n\\[((-1) \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]\n\nPrawa strona to dokładnie \\((2 + \\sqrt{2})^2\\), więc **obie strony są równe** - równość jest prawdziwa. ✓\n\nSprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla pewności:\n\n- \\(x = -\\sqrt{2}\\): \\((-\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (-2 - 2)^2 = 16\\), a prawa strona \\((2+\\sqrt{2})^2 = 6 + 4\\sqrt{2} \\approx 11{,}66\\). Nierówne. ✗\n- \\(x = \\sqrt{2}\\): \\((\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0 \\neq (2+\\sqrt{2})^2\\). ✗\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nUżyty pośrednio przy rozpoznaniu, że \\(A^2 = B^2 \\iff A = B\\) lub \\(A = -B\\) (wynika z \\(A^2 - B^2 = 0\\), czyli \\((A-B)(A+B) = 0\\)).\n\nW tym zadaniu kluczowe jest samo **przekształcenie równania \\(A^2 = B^2\\)** bez rozwijania kwadratów - to najprostsze podejście.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(x\\sqrt{2} - 2\\) dla \\(x = -\\sqrt{2}\\): dostaje \\(-2-2 = -4\\), a \\((-4)^2 = 16 \\neq (2+\\sqrt{2})^2\\). Błąd może wynikać z pomieszania znaków lub niepoprawnego pierwiastkowania. |\n| B | Podstawienie \\(x = \\sqrt{2}\\) daje \\((\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0\\). Uczeń mógł błędnie upraszczać \\(x\\sqrt{2} = 2\\), nie sprawdzając czy prawa strona też wynosi 0. |\n| D | Błąd wynika z nieumiejętności rozwiązania równania \\(A^2 = B^2\\) - uczeń być może próbował rozwinąć kwadraty i zgubił się w obliczeniach, zamiast skorzystać z prostszej metody. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(A^2 = B^2\\) ZAWSZE są **dwa przypadki**: \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Pominięcie drugiego przypadku to najczęstszy błąd - tu właśnie z niego wychodzi rozwiązanie \\(x = -1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma potrzeby rozwijać \\((2 + \\sqrt{2})^2\\) - to niepotrzebne rachunki. Równanie \\(A^2 = B^2\\) rozwiązujemy bez rozwijania, zaoszczędzamy czas i unikamy błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2\\) - kwadrat jest dodatni niezależnie od znaku - więc podstawienie \\(x = -1\\) od razu \"widać\" jako kandydat, bo zmieniamy znak w nawiasie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie obu stron\n**Prawa strona:** \\((2+\\sqrt{2})^2 = 4 + 4\\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\\sqrt{2}\\).\n\n**Lewa strona:** \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = 2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4\\).\n\nZatem \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\\sqrt{2}\\), czyli \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\).\n\nSprawdzamy dla \\(x = -1\\): \\(2 - 4(-1)\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\) ✓\n\n### Sposób 2 - Wykorzystanie \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = (2+\\sqrt{2})^2\\)\n\\(|x\\sqrt{2} - 2| = |2 + \\sqrt{2}|\\)\n\n**Przypadek 1:** \\(x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x = \\tfrac{4+\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2} + 1\\) - żadna z opcji.\n\n**Przypadek 2:** \\(x\\sqrt{2} - 2 = -(2+\\sqrt{2}) \\Rightarrow x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2} \\Rightarrow x = -1\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = -\\sqrt{2}\\):** \\((-2-2)^2 = 16 \\ne 6+4\\sqrt{2} \\approx 11{,}66\\).\n- **B. \\(x = \\sqrt{2}\\):** \\((2-2)^2 = 0 \\ne 6+4\\sqrt{2}\\).\n- **D. Fałszywa zawsze** - pokazaliśmy, że \\(x = -1\\) działa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania\nRozważmy równanie: x² - 2 = 2 + 2.\nNajpierw uprośćmy lewą stronę:\nx² - 2 = x²\nNastępnie przeniesiemy wyrazy na prawą stronę:\nx² - 2 = 2 + 2\nx² - 2 = 4\nDodajmy 2 do obu stron:\nx² = 4 + 2\nx² = 6\nTeraz wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:\nx = ±√6\nPonieważ w treści zadania podano, że x² - 2 = 2 + 2, a nie x² - 2 = 2 + 2, to musimy sprawdzić, czy x = √6 i x = -√6 spełniają to równanie.\nW zadaniu podano, że x² - 2 = 2 + 2, więc x² = 6.\nZatem x = √6 lub x = -√6.\nZatem x = -1 nie jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5\n\\[x^2=6\\]\n\n### Sposób 2: Podstawienie wartości x\nPodstawmy x = -1 do równania x² - 2 = 2 + 2:\n(-1)² - 2 = 2 + 2\n1 - 2 = 4\n-1 = 4\nTo jest fałsz, więc x = -1 nie jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\\[(a±b)²=a²±2ab+b²\\]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (prawdziwa dla x = 2):** Sprawdzając x = 2, otrzymujemy: 2² - 2 = 4 - 2 = 2, a 2 + 2 = 4. 2 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa.\n* **B. (prawdziwa dla x = -1):** Sprawdzając x = -1, otrzymujemy: (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1, a 2 + 2 = 4. -1 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa.\n* **D. fałszywa dla każdej liczby x:** To byłoby prawda, gdyby równanie nigdy nie było spełnione, co nie jest prawdą (x = √6 lub x = -√6).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Równość (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
x
jest
A. prawdziwa dla
2
x = -
B. prawdziwa dla
2
x =
C. prawdziwa dla
1
x = -.
D. fałszywa dla każdej liczby x.

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Równość (x√2 - 2)^2 = (2 + √2)^2 A. prawdziwa dla x=-√2; B. prawdziwa dla x=√2; C. prawdziwa dla x=-1. D. fałszywa dla każdej liczby x.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje równania kwadratowe z jedną
niewiadomą (3.4).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Równość jest prawdziwa dla \\(x = -1\\).

\n

Sposób 1 - Wyłuskanie pierwiastków równania

\n

Jeśli \\(A^2 = B^2\\), to \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Właśnie to tu stosujemy.

\n

Mamy:
\\[(x\\sqrt{2} - 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]

\n

Bierzemy pierwiastek (z obu stron - pamiętamy o obu przypadkach):

\n

Przypadek 1:
\\[x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2}\\]
\\[x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2}\\]
\\[x = \\frac{4 + \\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} + \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} + 1 = 2\\sqrt{2} + 1\\]

\n

Przypadek 2:
\\[x\\sqrt{2} - 2 = -(2 + \\sqrt{2})\\]
\\[x\\sqrt{2} - 2 = -2 - \\sqrt{2}\\]
\\[x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2}\\]
\\[\\boxed{x = -1}\\]

\n

Rozwiązania: \\(x = -1\\) lub \\(x = 2\\sqrt{2} + 1\\).

\n

Spośród odpowiedzi A, B, C, D - jedynym rozwiązaniem pokrywającym się z opcjami jest \\(x = -1\\), czyli odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(x = -1\\)

\n

Podstawiamy \\(x = -1\\) do lewej strony:
\\[((-1) \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2 = (2 + \\sqrt{2})^2\\]

\n

Prawa strona to dokładnie \\((2 + \\sqrt{2})^2\\), więc obie strony są równe - równość jest prawdziwa. ✓

\n

Sprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla pewności:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór:
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]

\n

Użyty pośrednio przy rozpoznaniu, że \\(A^2 = B^2 \\iff A = B\\) lub \\(A = -B\\) (wynika z \\(A^2 - B^2 = 0\\), czyli \\((A-B)(A+B) = 0\\)).

\n

W tym zadaniu kluczowe jest samo przekształcenie równania \\(A^2 = B^2\\) bez rozwijania kwadratów - to najprostsze podejście.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń liczy \\(x\\sqrt{2} - 2\\) dla \\(x = -\\sqrt{2}\\): dostaje \\(-2-2 = -4\\), a \\((-4)^2 = 16 \\neq (2+\\sqrt{2})^2\\). Błąd może wynikać z pomieszania znaków lub niepoprawnego pierwiastkowania. |
| B | Podstawienie \\(x = \\sqrt{2}\\) daje \\((\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0\\). Uczeń mógł błędnie upraszczać \\(x\\sqrt{2} = 2\\), nie sprawdzając czy prawa strona też wynosi 0. |
| D | Błąd wynika z nieumiejętności rozwiązania równania \\(A^2 = B^2\\) - uczeń być może próbował rozwinąć kwadraty i zgubił się w obliczeniach, zamiast skorzystać z prostszej metody. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(A^2 = B^2\\) ZAWSZE są dwa przypadki: \\(A = B\\) lub \\(A = -B\\). Pominięcie drugiego przypadku to najczęstszy błąd - tu właśnie z niego wychodzi rozwiązanie \\(x = -1\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma potrzeby rozwijać \\((2 + \\sqrt{2})^2\\) - to niepotrzebne rachunki. Równanie \\(A^2 = B^2\\) rozwiązujemy bez rozwijania, zaoszczędzamy czas i unikamy błędów.
\n
⚠️ Uwaga: \\((-\\sqrt{2} - 2)^2 = (\\sqrt{2} + 2)^2\\) - kwadrat jest dodatni niezależnie od znaku - więc podstawienie \\(x = -1\\) od razu "widać" jako kandydat, bo zmieniamy znak w nawiasie.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Rozwinięcie obu stron
\n

Prawa strona: \\((2+\\sqrt{2})^2 = 4 + 4\\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\\sqrt{2}\\).

\n

Lewa strona: \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = 2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4\\).

\n

Zatem \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\\sqrt{2}\\), czyli \\(2x^2 - 4x\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\).

\n

Sprawdzamy dla \\(x = -1\\): \\(2 - 4(-1)\\sqrt{2} = 2 + 4\\sqrt{2}\\) ✓

\n
Sposób 2 - Wykorzystanie \\((x\\sqrt{2}-2)^2 = (2+\\sqrt{2})^2\\)
\n

\\(|x\\sqrt{2} - 2| = |2 + \\sqrt{2}|\\)

\n

Przypadek 1: \\(x\\sqrt{2} - 2 = 2 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x\\sqrt{2} = 4 + \\sqrt{2} \\Rightarrow x = \\tfrac{4+\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2} + 1\\) - żadna z opcji.

\n

Przypadek 2: \\(x\\sqrt{2} - 2 = -(2+\\sqrt{2}) \\Rightarrow x\\sqrt{2} = -\\sqrt{2} \\Rightarrow x = -1\\) ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Rozwiązanie równania
\n

Rozważmy równanie: x² - 2 = 2 + 2.
Najpierw uprośćmy lewą stronę:
x² - 2 = x²
Następnie przeniesiemy wyrazy na prawą stronę:
x² - 2 = 2 + 2
x² - 2 = 4
Dodajmy 2 do obu stron:
x² = 4 + 2
x² = 6
Teraz wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z obu stron:
x = ±√6
Ponieważ w treści zadania podano, że x² - 2 = 2 + 2, a nie x² - 2 = 2 + 2, to musimy sprawdzić, czy x = √6 i x = -√6 spełniają to równanie.
W zadaniu podano, że x² - 2 = 2 + 2, więc x² = 6.
Zatem x = √6 lub x = -√6.
Zatem x = -1 nie jest rozwiązaniem.

\n

📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5
\\[x^2=6\\]

\n
Sposób 2: Podstawienie wartości x
\n

Podstawmy x = -1 do równania x² - 2 = 2 + 2:
(-1)² - 2 = 2 + 2
1 - 2 = 4
-1 = 4
To jest fałsz, więc x = -1 nie jest rozwiązaniem.

\n

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7
\\[(a±b)²=a²±2ab+b²\\]

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}