{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n4\n1\n2\n0\nx\nx\n>\nnie należy liczba\nA.\n3\nB.\n1\nC. 1\nD. 3\nDo zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2-x) > 0 nie należy liczba A. -3, B. -1, C. 1, D. 3.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza,\nczy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(3\\) **nie należy** do zbioru rozwiązań, bo \\(3 \\geq 2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza znaku czynników\n\nNierówność do rozwiązania:\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]\n\n**Krok 1: Zbadaj znak pierwszego czynnika \\(x^4 + 1\\).**\n\nDla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^4 \\geq 0\\), więc:\n\\[x^4 + 1 \\geq 1 > 0\\]\n\n**Wniosek: czynnik \\(x^4 + 1\\) jest zawsze dodatni - nigdy nie zmienia znaku!**\n\n**Krok 2: Uprość nierówność.**\n\nSkoro \\(x^4 + 1 > 0\\) zawsze, możemy podzielić obie strony przez ten czynnik (bez zmiany znaku nierówności):\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0 \\iff 2 - x > 0\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż uproszczoną nierówność.**\n\\[2 - x > 0 \\implies x < 2\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\)\n\n**Sprawdzenie odpowiedzi:**\n- \\(-3 < 2\\) ✓ należy\n- \\(-1 < 2\\) ✓ należy\n- \\(1 < 2\\) ✓ należy\n- \\(3 \\geq 2\\) ✗ **nie należy** → **odpowiedź D**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź bezpośrednio w nierówności \\((x^4 + 1)(2 - x) > 0\\):\n\n**A: \\(x = -3\\)**\n\\[((-3)^4 + 1)(2 - (-3)) = (81 + 1) \\cdot 5 = 82 \\cdot 5 = 410 > 0\\] ✓ należy\n\n**B: \\(x = -1\\)**\n\\[((-1)^4 + 1)(2 - (-1)) = (1 + 1) \\cdot 3 = 2 \\cdot 3 = 6 > 0\\] ✓ należy\n\n**C: \\(x = 1\\)**\n\\[((1)^4 + 1)(2 - 1) = (1 + 1) \\cdot 1 = 2 > 0\\] ✓ należy\n\n**D: \\(x = 3\\)**\n\\[((3)^4 + 1)(2 - 3) = (81 + 1) \\cdot (-1) = 82 \\cdot (-1) = -82 < 0\\] ✗ **nie należy**\n\n**Odpowiedź D** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność potęg: \\(x^4 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (Dział 2, Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) oraz podstawowe operacje na nierównościach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Liczba | Błąd prowadzący do błędnego wyboru |\n| A | \\(-3\\) | Uczeń myli się przy obliczaniu \\((-3)^4\\) (pomyłka ze znakiem) i sądzi, że wynik jest ujemny |\n| B | \\(-1\\) | Uczeń nie rozumie, że \\((-1)^4 = 1 > 0\\), i błędnie ocenia znak czynnika |\n| C | \\(1\\) | Uczeń błędnie sądzi, że \\(x^4 + 1\\) może być \\(0\\) lub ujemne dla \\(x = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to nierozpoznanie, że \\(x^4 + 1 > 0\\) **zawsze**. Uczeń, który próbuje rozwiązać nierówność metodą tabelki znaków, może błędnie uwzględniać miejsca zerowe pierwszego czynnika - a one nie istnieją!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystych wykładników (\\(x^2, x^4, x^6, \\ldots\\)) wynik jest zawsze nieujemny. \\(x^4 + 1 \\geq 1\\) - nie ma żadnego \\(x\\), dla którego ten czynnik jest \\(\\leq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"nie należy\" z \"należy\" - pytanie jest sformułowane negatywnie! Szukamy liczby, dla której nierówność **NIE jest spełniona**, czyli \\(x \\geq 2\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(3 \\geq 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaku czynników\nZauważamy: \\(x^4 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^4 + 1 \\ge 1 > 0\\) **zawsze**.\n\nZatem znak iloczynu zależy wyłącznie od znaku \\(2 - x\\):\n\\[(x^4+1)(2-x) > 0 \\iff 2-x > 0 \\iff x < 2.\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie każdej liczby\n- \\(x = -3\\): \\((81+1)(2-(-3)) = 82\\cdot 5 = 410 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = -1\\): \\((1+1)(2+1) = 2\\cdot 3 = 6 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = 1\\): \\((1+1)(2-1) = 2\\cdot 1 = 2 > 0\\) ✓ należy\n- \\(x = 3\\): \\((81+1)(2-3) = 82\\cdot(-1) = -82 < 0\\) ✗ **nie należy**\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** Wszystkie są mniejsze od 2, więc spełniają nierówność.\n\n**Kluczowe:** wyrażenia typu \\(x^{\\text{parz}} + c\\) (dla \\(c > 0\\)) są zawsze dodatnie - znak iloczynu zależy tylko od drugiego czynnika.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą znaków przed nawiasami\n\n1. **Rozkładamy nierówność:**\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]\n\n2. **Analizujemy znaki:** Aby nierówność była spełniona, iloczyn musi być dodatni. Oznacza to, że oba czynniki muszą być dodatnie lub oba czynniki muszą być ujemne.\n\n* **Przypadek 1: Oba czynniki są dodatnie**\n\\[x^4 + 1 > 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x > 0\\]\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera (dla każdego x rzeczywistego), to ten przypadek jest zawsze spełniony.\n\\[2 - x > 0 \\Rightarrow x < 2\\]\n\n* **Przypadek 2: Oba czynniki są ujemne**\n\\[x^4 + 1 < 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x < 0\\]\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera, to ten przypadek nigdy nie może być spełniony.\n\n3. **Zatem, rozwiązaniem nierówności jest:**\n\\[x < 2\\]\n\n4. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**\n\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą punktów przecięcia z osią x\n\n1. **Znajdujemy pierwiastki:**\n\\[(x^4 + 1)(2 - x) = 0\\]\nRozwiązujemy:\n* \\(x^4 + 1 = 0\\) => \\(x^4 = -1\\). Nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ \\(x^4\\) zawsze jest nieujemne.\n* \\(2 - x = 0\\) => \\(x = 2\\)\n\n2. **Tworzymy przedział:**\nPonieważ \\(x^4 + 1\\) nigdy nie jest równe 0 dla liczb rzeczywistych, to istotny jest tylko czynnik \\(2 - x\\).\n\n3. **Analizujemy znaki:**\n* Dla \\(x < 2\\), \\(2 - x > 0\\)\n* Dla \\(x > 2\\), \\(2 - x < 0\\)\n\n4. **Zatem, nierówność jest spełniona, gdy:**\n\\[x < 2\\]\n\n5. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**\n\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. -3:** \\-3 < 2 jest prawdą, więc -3 należy do zbioru rozwiązań.\n* **B. -1:** \\-1 < 2 jest prawdą, więc -1 należy do zbioru rozwiązań.\n* **C. 1:** 1 < 2 jest prawdą, więc 1 należy do zbioru rozwiązań.\n* **D. 3:** 3 < 2 jest fałszem, więc 3 nie należy do zbioru rozwiązań. To jest poprawna odpowiedź.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Do zbioru rozwiązań nierówności (
)(
)
4
1
2
0
x
x

\n
\n

nie należy liczba
A.
3
B.
1
C. 1
D. 3
Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2-x) > 0 nie należy liczba A. -3, B. -1, C. 1, D. 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający sprawdza,
\n

czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem
równania lub nierówności (3.1).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Liczba \\(3\\) nie należy do zbioru rozwiązań, bo \\(3 \\geq 2\\).

\n

Sposób 1 - Analiza znaku czynników

\n

Nierówność do rozwiązania:
\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]

\n

Krok 1: Zbadaj znak pierwszego czynnika \\(x^4 + 1\\).

\n

Dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^4 \\geq 0\\), więc:
\\[x^4 + 1 \\geq 1 > 0\\]

\n

Wniosek: czynnik \\(x^4 + 1\\) jest zawsze dodatni - nigdy nie zmienia znaku!

\n

Krok 2: Uprość nierówność.

\n

Skoro \\(x^4 + 1 > 0\\) zawsze, możemy podzielić obie strony przez ten czynnik (bez zmiany znaku nierówności):
\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0 \\iff 2 - x > 0\\]

\n

Krok 3: Rozwiąż uproszczoną nierówność.
\\[2 - x > 0 \\implies x < 2\\]

\n

Zbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\)

\n

Sprawdzenie odpowiedzi:

\n\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każdą odpowiedź bezpośrednio w nierówności \\((x^4 + 1)(2 - x) > 0\\):

\n

A: \\(x = -3\\)
\\[((-3)^4 + 1)(2 - (-3)) = (81 + 1) \\cdot 5 = 82 \\cdot 5 = 410 > 0\\] ✓ należy

\n

B: \\(x = -1\\)
\\[((-1)^4 + 1)(2 - (-1)) = (1 + 1) \\cdot 3 = 2 \\cdot 3 = 6 > 0\\] ✓ należy

\n

C: \\(x = 1\\)
\\[((1)^4 + 1)(2 - 1) = (1 + 1) \\cdot 1 = 2 > 0\\] ✓ należy

\n

D: \\(x = 3\\)
\\[((3)^4 + 1)(2 - 3) = (81 + 1) \\cdot (-1) = 82 \\cdot (-1) = -82 < 0\\] ✗ nie należy

\n

Odpowiedź D potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność potęg: \\(x^4 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (Dział 2, Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) oraz podstawowe operacje na nierównościach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Liczba | Błąd prowadzący do błędnego wyboru |
| A | \\(-3\\) | Uczeń myli się przy obliczaniu \\((-3)^4\\) (pomyłka ze znakiem) i sądzi, że wynik jest ujemny |
| B | \\(-1\\) | Uczeń nie rozumie, że \\((-1)^4 = 1 > 0\\), i błędnie ocenia znak czynnika |
| C | \\(1\\) | Uczeń błędnie sądzi, że \\(x^4 + 1\\) może być \\(0\\) lub ujemne dla \\(x = 1\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Największa pułapka to nierozpoznanie, że \\(x^4 + 1 > 0\\) zawsze. Uczeń, który próbuje rozwiązać nierówność metodą tabelki znaków, może błędnie uwzględniać miejsca zerowe pierwszego czynnika - a one nie istnieją!
\n
⚠️ Uwaga: Dla parzystych wykładników (\\(x^2, x^4, x^6, \\ldots\\)) wynik jest zawsze nieujemny. \\(x^4 + 1 \\geq 1\\) - nie ma żadnego \\(x\\), dla którego ten czynnik jest \\(\\leq 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić "nie należy" z "należy" - pytanie jest sformułowane negatywnie! Szukamy liczby, dla której nierówność NIE jest spełniona, czyli \\(x \\geq 2\\). Spośród odpowiedzi tylko \\(3 \\geq 2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Analiza znaku czynników
\n

Zauważamy: \\(x^4 \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^4 + 1 \\ge 1 > 0\\) zawsze.

\n

Zatem znak iloczynu zależy wyłącznie od znaku \\(2 - x\\):
\\[(x^4+1)(2-x) > 0 \\iff 2-x > 0 \\iff x < 2.\\]

\n

Zbiór rozwiązań: \\(x \\in (-\\infty, 2)\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie każdej liczby
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: wyrażenia typu \\(x^{\\text{parz}} + c\\) (dla \\(c > 0\\)) są zawsze dodatnie - znak iloczynu zależy tylko od drugiego czynnika.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą znaków przed nawiasami
\n
  1. Rozkładamy nierówność:
\n

\\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\\]

\n
  1. Analizujemy znaki: Aby nierówność była spełniona, iloczyn musi być dodatni. Oznacza to, że oba czynniki muszą być dodatnie lub oba czynniki muszą być ujemne.
\n\n

\\[x^4 + 1 > 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x > 0\\]
Ponieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera (dla każdego x rzeczywistego), to ten przypadek jest zawsze spełniony.
\\[2 - x > 0 \\Rightarrow x < 2\\]

\n\n

\\[x^4 + 1 < 0 \\quad \\text{i} \\quad 2 - x < 0\\]
Ponieważ \\(x^4 + 1\\) zawsze jest większe od zera, to ten przypadek nigdy nie może być spełniony.

\n
  1. Zatem, rozwiązaniem nierówności jest:
\n

\\[x < 2\\]

\n
  1. Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:
\n

\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.

\n
Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą punktów przecięcia z osią x
\n
  1. Znajdujemy pierwiastki:
\n

\\[(x^4 + 1)(2 - x) = 0\\]
Rozwiązujemy:

\n\n
  1. Tworzymy przedział:
\n

Ponieważ \\(x^4 + 1\\) nigdy nie jest równe 0 dla liczb rzeczywistych, to istotny jest tylko czynnik \\(2 - x\\).

\n
  1. Analizujemy znaki:
\n\n
  1. Zatem, nierówność jest spełniona, gdy:
\n

\\[x < 2\\]

\n
  1. Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:
\n

\\[3 < 2\\] - to jest fałsz.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}