{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n2\n4\n4\n0\nx x\nx\nz niewiadomą x\nA. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nB. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nC. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\nD. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.\nRównanie x(x^2-4)(x^2+4) = 0 z niewiadomą x A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczby rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta\nz własności iloczynu przy rozwiązywaniu\nrównań typu x(x + 1)(x - 7) = 0 (3.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma **dokładnie trzy rozwiązania** w zbiorze liczb rzeczywistych.\n\n## Sposób 1 - Iloczyn czynników\n\nKorzystamy z faktu, że **iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero**.\n\nMamy trzy czynniki:\n\n\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]\n\nRozpatrujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:** \\(x = 0\\)\n\n\\[x = 0 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 4\\]\n\\[x = \\sqrt{4} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{4}\\]\n\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2 \\checkmark\\]\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 4 = 0\\)\n\n\\[x^2 = -4\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest **zawsze nieujemny**, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Zatem \\(x^2 = -4\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. ✗\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\n\\[x \\in \\{-2, \\; 0, \\; 2\\}\\]\n\nMamy dokładnie **3 rozwiązania** rzeczywiste.\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia\n\nZauważamy, że \\(x^2 - 4\\) możemy rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nZatem:\n\n\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0\\]\n\nTeraz mamy **cztery czynniki liniowe lub kwadratowe**. Przyrównujemy każdy do zera:\n\n| Czynnik | Równanie | Rozwiązania |\n| \\(x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x = 0\\) |\n| \\(x - 2\\) | \\(x - 2 = 0\\) | \\(x = 2\\) |\n| \\(x + 2\\) | \\(x + 2 = 0\\) | \\(x = -2\\) |\n| \\(x^2 + 4\\) | \\(x^2 = -4\\) | brak (w \\(\\mathbb{R}\\)) |\n\nWynik pokrywa się z poprzednim: **dokładnie 3 rozwiązania rzeczywiste**: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\nW pozostałej części zadania nie potrzeba szczególnych wzorów z karty - wystarczy znajomość własności liczb rzeczywistych (\\(x^2 \\geq 0\\)) oraz zasada, że iloczyn równa się zero ⟺ jeden z czynników równa się zero.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie zakłada, że \\(x^2 + 4 = 0\\) blokuje wszystkie rozwiązania, albo myli się przy calnościowym rozkładzie |\n| B | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 4 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 2\\), zapominając o czynniku \\(x = 0\\) |\n| D | Uczeń liczy łączny stopień wielomianu (5. stopień!) i zakłada, że musi być 5 rozwiązań rzeczywistych - **błąd**: wielomian 5. stopnia może mieć od 1 do 5 rozwiązań rzeczywistych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielomian stopnia \\(n\\) ma **co najwyżej** \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - nie dokładnie \\(n\\). Część pierwiastków może być zespolona (tu: \\(x^2 + 4 = 0\\) daje dwa pierwiastki zespolone \\(x = \\pm 2i\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \\(x\\) - uczeń skupia się na rozkładzie \\(x^2 - 4\\) i pomija najprostsze rozwiązanie \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 4 \\geq 4 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - ten czynnik nigdy nie będzie zerem, więc **nie wnosi żadnego rozwiązania rzeczywistego**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0\nTrzy czynniki: \\(x\\), \\(x^2 - 4\\), \\(x^2 + 4\\).\n\n**Czynnik 1:** \\(x = 0\\) → rozwiązanie: \\(x = 0\\).\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 2\\) - dwa rozwiązania.\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 4 = 0 \\Rightarrow x^2 = -4\\) - **brak** rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nie jest ujemny).\n\nŁącznie: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\) - **3 rozwiązania rzeczywiste**.\n\n### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy\n\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0.\\]\nCzynniki liniowe dają pierwiastki \\(0, 2, -2\\). Czynnik \\(x^2+4\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Brak rozwiązań** - zaniedbanie pierwszego czynnika.\n- **B. Dwa** - pominięcie \\(x = 0\\) lub pominięcie drugiego pierwiastka z \\(x^2 = 4\\).\n- **D. Pięć** - ktoś błędnie uznał \\(x^2 + 4 = 0\\) za mające dwa pierwiastki.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^2 + c\\) (dla \\(c > 0\\)) **nigdy** nie zeruje się w liczbach rzeczywistych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania przez rozkład na czynniki\nRozważmy równanie:\n\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]\nRozkładamy na czynniki:\n\\[x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0\\]\nAby równanie było spełnione, przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 4 = 0\\]\nRozwiązujemy te równania:\n* \\(x = 0\\)\n* \\(x = 2\\)\n* \\(x = -2\\)\n* \\(x^2 = -4\\) => \\(x = \\pm \\sqrt{-4} = \\pm 2i\\) (rozwiązania zespolone, nie liczone w zbiorze liczb rzeczywistych)\n\nZatem, w zbiorze liczb rzeczywistych mamy 4 rozwiązania: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\), \\(x = -2\\). W zadaniu pytano o liczbę rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a więc odpowiedź to 4, co jest równoważne 3 w kolejności.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRównanie \\(x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\) można zapisać jako:\n\\[x(x^4 - 16) = 0\\]\n\\[x^5 - 16x = 0\\]\n\\[x(x^4 - 16) = 0\\]\nRozwiązujemy równanie \\(x^4 - 16 = 0\\), co daje \\(x^4 = 16\\). Zatem \\(x = \\pm 2\\) (pierwiastki rzeczywiste) oraz \\(x = \\pm 2i\\) (pierwiastki zespolone).\nPonieważ nas interesują rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, to \\(x = 2\\) i \\(x = -2\\) są rozwiązaniami. Dodatkowo, \\(x = 0\\) jest rozwiązaniem z pierwszego kroku.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 3 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).\n* **B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).\n* **D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Równanie (
)(
)
2
2
4
4
0
x x
x
z niewiadomą x
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Równanie x(x^2-4)(x^2+4) = 0 z niewiadomą x A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczby rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający korzysta
\n

z własności iloczynu przy rozwiązywaniu
równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0 (3.7).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

\n

Sposób 1 - Iloczyn czynników

\n

Korzystamy z faktu, że iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero.

\n

Mamy trzy czynniki:

\n

\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]

\n

Rozpatrujemy każdy czynnik osobno:

\n

Czynnik 1: \\(x = 0\\)

\n

\\[x = 0 \\checkmark\\]

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 4 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 4\\]
\\[x = \\sqrt{4} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{4}\\]
\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2 \\checkmark\\]

\n

Czynnik 3: \\(x^2 + 4 = 0\\)

\n

\\[x^2 = -4\\]

\n

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Zatem \\(x^2 = -4\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. ✗

\n

Zbiór rozwiązań:

\n

\\[x \\in \\{-2, \\; 0, \\; 2\\}\\]

\n

Mamy dokładnie 3 rozwiązania rzeczywiste.

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia

\n

Zauważamy, że \\(x^2 - 4\\) możemy rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

\n

\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]

\n

Zatem:

\n

\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:

\n

\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0\\]

\n

Teraz mamy cztery czynniki liniowe lub kwadratowe. Przyrównujemy każdy do zera:

\n

| Czynnik | Równanie | Rozwiązania |
| \\(x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x = 0\\) |
| \\(x - 2\\) | \\(x - 2 = 0\\) | \\(x = 2\\) |
| \\(x + 2\\) | \\(x + 2 = 0\\) | \\(x = -2\\) |
| \\(x^2 + 4\\) | \\(x^2 = -4\\) | brak (w \\(\\mathbb{R}\\)) |

\n

Wynik pokrywa się z poprzednim: dokładnie 3 rozwiązania rzeczywiste: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).

\n

W pozostałej części zadania nie potrzeba szczególnych wzorów z karty - wystarczy znajomość własności liczb rzeczywistych (\\(x^2 \\geq 0\\)) oraz zasada, że iloczyn równa się zero ⟺ jeden z czynników równa się zero.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie zakłada, że \\(x^2 + 4 = 0\\) blokuje wszystkie rozwiązania, albo myli się przy calnościowym rozkładzie |
| B | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 4 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 2\\), zapominając o czynniku \\(x = 0\\) |
| D | Uczeń liczy łączny stopień wielomianu (5. stopień!) i zakłada, że musi być 5 rozwiązań rzeczywistych - błąd: wielomian 5. stopnia może mieć od 1 do 5 rozwiązań rzeczywistych |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wielomian stopnia \\(n\\) ma co najwyżej \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - nie dokładnie \\(n\\). Część pierwiastków może być zespolona (tu: \\(x^2 + 4 = 0\\) daje dwa pierwiastki zespolone \\(x = \\pm 2i\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o czynniku \\(x\\) - uczeń skupia się na rozkładzie \\(x^2 - 4\\) i pomija najprostsze rozwiązanie \\(x = 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(x^2 + 4 \\geq 4 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - ten czynnik nigdy nie będzie zerem, więc nie wnosi żadnego rozwiązania rzeczywistego.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0
\n

Trzy czynniki: \\(x\\), \\(x^2 - 4\\), \\(x^2 + 4\\).

\n

Czynnik 1: \\(x = 0\\) → rozwiązanie: \\(x = 0\\).
Czynnik 2: \\(x^2 - 4 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 2\\) - dwa rozwiązania.
Czynnik 3: \\(x^2 + 4 = 0 \\Rightarrow x^2 = -4\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nie jest ujemny).

\n

Łącznie: \\(x \\in \\{-2, 0, 2\\}\\) - 3 rozwiązania rzeczywiste.

\n
Sposób 2 - Rozkład iloczynowy
\n

\\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0.\\]
Czynniki liniowe dają pierwiastki \\(0, 2, -2\\). Czynnik \\(x^2+4\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(x^2 + c\\) (dla \\(c > 0\\)) nigdy nie zeruje się w liczbach rzeczywistych.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Rozwiązanie równania przez rozkład na czynniki
\n

Rozważmy równanie:
\\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\]
Rozkładamy na czynniki:
\\[x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0\\]
Aby równanie było spełnione, przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:
\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 4 = 0\\]
Rozwiązujemy te równania:

\n\n

Zatem, w zbiorze liczb rzeczywistych mamy 4 rozwiązania: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\), \\(x = -2\\). W zadaniu pytano o liczbę rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a więc odpowiedź to 4, co jest równoważne 3 w kolejności.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
\n

Równanie \\(x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\\) można zapisać jako:
\\[x(x^4 - 16) = 0\\]
\\[x^5 - 16x = 0\\]
\\[x(x^4 - 16) = 0\\]
Rozwiązujemy równanie \\(x^4 - 16 = 0\\), co daje \\(x^4 = 16\\). Zatem \\(x = \\pm 2\\) (pierwiastki rzeczywiste) oraz \\(x = \\pm 2i\\) (pierwiastki zespolone).
Ponieważ nas interesują rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, to \\(x = 2\\) i \\(x = -2\\) są rozwiązaniami. Dodatkowo, \\(x = 0\\) jest rozwiązaniem z pierwszego kroku.

\n

📖 Karta wzorów: s.7-9, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}