{"id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej\n( )\n(\n)\n3\n1\n12\nf x\nx\njest liczba\nA.\n3\n4\nB.\n2 3\n1\nC. 4 3\n1\nD.\n3\n12\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n2\n3\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)-12 jest liczba A. √3-4, B. -2√3+1, C. 4√3-1, D. -√3+12.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania równań\ndo obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja\nprzyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{3} - 1\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie do zera i rozwiązanie równania\n\nMiejsce zerowe funkcji to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\).\n\nPrzyrównujemy:\n\\[f(x) = 0\\]\n\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(-12\\) na drugą stronę:\n\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{3}\\)):\n\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nOdejmujemy 1 od obu stron:\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 4\\sqrt{3} - 1\\) rzeczywiście zeruje funkcję:\n\n\\[f(4\\sqrt{3} - 1) = \\sqrt{3}\\bigl((4\\sqrt{3} - 1) + 1\\bigr) - 12\\]\n\\[= \\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} - 12\\]\n\\[= 4 \\cdot 3 - 12\\]\n\\[= 12 - 12 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (to \\(x\\) taki, że \\(f(x)=0\\)) i podstawowe działania algebraiczne (racjonalizacja mianownika: mnożenie przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(\\sqrt{3} - 4\\) - wynik z błędną kolejnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{12} \\cdot \\) lub odejmuje zamiast dzielić, kończąc na \\(\\sqrt{3} - 4\\) przez pomieszanie kroków |\n| B | \\(-2\\sqrt{3} + 1\\) - błąd znaku: uczeń przenosi \\(+1\\) na drugą stronę ze złym znakiem, otrzymując \\(x + 1 = -4\\sqrt{3}\\), a stąd \\(x = -4\\sqrt{3} - 1\\) lub miesza kolejność operacji; ta odpowiedź pojawia się przy błędnym podzieleniu \\(-12\\) przez \\(\\sqrt{3} \\cdot 6\\) |\n| D | \\(-\\sqrt{3} + 12\\) - uczeń **nie dzieli przez \\(\\sqrt{3}\\)**, tylko \"odrywa\" \\(\\sqrt{3}\\) i liczy \\(x + 1 = 12 - \\sqrt{3}\\), zapominając że \\(\\sqrt{3}\\) mnoży całe wyrażenie \\((x+1)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Racjonalizacja mianownika - \\(\\frac{12}{\\sqrt{3}}\\) NIE upraszcza się do \\(\\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\) przez \"usunięcie pierwiastka\", lecz przez mnożenie licznika **i** mianownika przez \\(\\sqrt{3}\\). Nie wolno skrócić samego \\(\\sqrt{3}\\) bez tego kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność: najpierw **dodajemy/odejmujemy** stałą (tu: \\(+12\\)), **potem** dzielimy przez współczynnik przy \\((x+1)\\). Odwrotna kolejność też da wynik, ale ryzyko błędu rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka przy upraszczaniu wyrażeń z pierwiastkami.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie \\(f(x) = 0\\)\n\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]\n\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]\n\\[x + 1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności od razu\nMnożymy mianownik \\(\\sqrt{3}\\) przez \\(\\sqrt{3}/\\sqrt{3}\\):\n\\[x+1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sqrt{3} - 4\\)** - ktoś podzielił \\(12\\) przez \\(\\sqrt{3}\\) i otrzymał zły wynik, potem pomylił znak.\n- **B. \\(-2\\sqrt{3}+1\\)** - błędne podzielenie lub zły znak.\n- **D. \\(-\\sqrt{3}+12\\)** - nie wyznaczono miejsca zerowego poprawnie; to być może część procesu.\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(4\\sqrt{3}-1) = \\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3} - 12 = 12 - 12 = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na pierwiastek kwadratowy i rozwiązanie równania\n1. **Rozpoznanie funkcji:** Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 jest funkcją liniową. Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0.\n2. **Rozwiązanie równania:**\n* 3(x + 1) - 12 = 0\n* 3x + 3 - 12 = 0\n* 3x - 9 = 0\n* 3x = 9\n* x = 3\n3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 3\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie wyrażenia i uproszczenie\n1. **Rozwinięcie wyrażenia:**\n* 3(x + 1) - 12 = 3x + 3 - 12 = 3x - 9\n2. **Rozwiązanie równania:**\n* 3x - 9 = 0\n* 3x = 9\n* x = 3\n3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 1 (w kontekście obliczania pierwiastka z 81)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(3 - 4\\)**: Jest to po prostu wynik odejmowania liczb, a nie rozwiązanie równania.\n* **B. \\(-2\\sqrt{3} + 1\\)**: Jest to wyrażenie algebraiczne, które nie jest miejscem zerowym funkcji.\n* **D. \\(- 3 +12\\)**: Jest to po prostu wynik dodawania liczb, a nie rozwiązanie równania.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:**\n\nZadanie polega na znalezieniu wartości x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 to funkcja liniowa. Aby znaleźć miejsce zerowe, należy ustawić f(x) = 0 i rozwiązać to równanie. W tym przypadku, po uproszczeniu, otrzymujemy 3x - 9 = 0, a rozwiązaniem jest x = 3. Ważne jest, aby pamiętać o kolejności operacji i prawidłowym rozwiązywaniu równań liniowych.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Miejscem zerowym funkcji liniowej
( )
(
)
3
1
12
f x
x
jest liczba
A.
3
4
B.
2 3
1
C. 4 3
1
D.
3
12
2
3
x
2
3
x
2
3
x
2
3
x

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)-12 jest liczba A. √3-4, B. -2√3+1, C. 4√3-1, D. -√3+12.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość
\n

funkcji dla danego argumentu. Posługuje się
poznanymi metodami rozwiązywania równań
do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja
przyjmuje daną wartość (4.2).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{3} - 1\\)

\n

Sposób 1 - Przyrównanie do zera i rozwiązanie równania

\n

Miejsce zerowe funkcji to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\).

\n

Przyrównujemy:
\\[f(x) = 0\\]
\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]

\n

Przenosimy \\(-12\\) na drugą stronę:
\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):
\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}}\\]

\n

Racjonalizujemy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{3}\\)):
\\[x + 1 = \\frac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]

\n

Odejmujemy 1 od obu stron:
\\[x = 4\\sqrt{3} - 1\\]

\n

Odpowiedź: C

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 4\\sqrt{3} - 1\\) rzeczywiście zeruje funkcję:

\n

\\[f(4\\sqrt{3} - 1) = \\sqrt{3}\\bigl((4\\sqrt{3} - 1) + 1\\bigr) - 12\\]
\\[= \\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} - 12\\]
\\[= 4 \\cdot 3 - 12\\]
\\[= 12 - 12 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (to \\(x\\) taki, że \\(f(x)=0\\)) i podstawowe działania algebraiczne (racjonalizacja mianownika: mnożenie przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | \\(\\sqrt{3} - 4\\) - wynik z błędną kolejnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{12} \\cdot \\) lub odejmuje zamiast dzielić, kończąc na \\(\\sqrt{3} - 4\\) przez pomieszanie kroków |
| B | \\(-2\\sqrt{3} + 1\\) - błąd znaku: uczeń przenosi \\(+1\\) na drugą stronę ze złym znakiem, otrzymując \\(x + 1 = -4\\sqrt{3}\\), a stąd \\(x = -4\\sqrt{3} - 1\\) lub miesza kolejność operacji; ta odpowiedź pojawia się przy błędnym podzieleniu \\(-12\\) przez \\(\\sqrt{3} \\cdot 6\\) |
| D | \\(-\\sqrt{3} + 12\\) - uczeń nie dzieli przez \\(\\sqrt{3}\\), tylko "odrywa" \\(\\sqrt{3}\\) i liczy \\(x + 1 = 12 - \\sqrt{3}\\), zapominając że \\(\\sqrt{3}\\) mnoży całe wyrażenie \\((x+1)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Racjonalizacja mianownika - \\(\\frac{12}{\\sqrt{3}}\\) NIE upraszcza się do \\(\\frac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\) przez "usunięcie pierwiastka", lecz przez mnożenie licznika i mianownika przez \\(\\sqrt{3}\\). Nie wolno skrócić samego \\(\\sqrt{3}\\) bez tego kroku.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kolejność: najpierw dodajemy/odejmujemy stałą (tu: \\(+12\\)), potem dzielimy przez współczynnik przy \\((x+1)\\). Odwrotna kolejność też da wynik, ale ryzyko błędu rośnie.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) - to klasyczna pułapka przy upraszczaniu wyrażeń z pierwiastkami.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie \\(f(x) = 0\\)
\n

\\[\\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\\]
\\[\\sqrt{3}(x+1) = 12\\]
\\[x + 1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]
\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]

\n
Sposób 2 - Usuwanie niewymierności od razu
\n

Mnożymy mianownik \\(\\sqrt{3}\\) przez \\(\\sqrt{3}/\\sqrt{3}\\):
\\[x+1 = \\dfrac{12}{\\sqrt{3}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{12\\sqrt{3}}{3} = 4\\sqrt{3}\\]
\\[x = 4\\sqrt{3} - 1.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Sprawdzenie: \\(f(4\\sqrt{3}-1) = \\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3} - 12 = 12 - 12 = 0\\) ✓.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na pierwiastek kwadratowy i rozwiązanie równania
\n
  1. Rozpoznanie funkcji: Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 jest funkcją liniową. Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0.
  2. Rozwiązanie równania:
\n\n
  1. Podanie odpowiedzi: Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.
\n

📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 3

\n
Sposób 2: Rozwinięcie wyrażenia i uproszczenie
\n
  1. Rozwinięcie wyrażenia:
\n\n
  1. Rozwiązanie równania:
\n\n
  1. Podanie odpowiedzi: Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3.
\n

📖 Karta wzorów: Silnia, strona 1 (w kontekście obliczania pierwiastka z 81)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Dodatkowe wyjaśnienie:

\n

Zadanie polega na znalezieniu wartości x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 to funkcja liniowa. Aby znaleźć miejsce zerowe, należy ustawić f(x) = 0 i rozwiązać to równanie. W tym przypadku, po uproszczeniu, otrzymujemy 3x - 9 = 0, a rozwiązaniem jest x = 3. Ważne jest, aby pamiętać o kolejności operacji i prawidłowym rozwiązywaniu równań liniowych.

"}]}