{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie cos2\n3cos\n2\nx\nx\nw przedziale 0, 2π .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji\ntrygonometrycznych (R6.6, R6.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nRównanie można przekształcić równoważnie do postaci:\n2\n2cos\n3cos\n1\n0\nx\nx\nPodstawiamy\ncos\nt\nx , przy czym\n1,1\n∈-\nt\nRozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n3\n1\n0\nt\nt\n9\n8\n1,\n1\nΔ =\nΔ = ,\n1\n3 1\n1\n4\nt\n,\n2\n3 1\n1\n4\n2\nt\nWyznaczamy wartości x w przedziale 0, 2π :\ncos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\n,\nπ\nx\nlub\n2π\n3\nx\n, lub\n4π\n3\nx\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze podane równanie w postaci, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna tego samego argumentu, np.\n2\n2cos\n1 3cos\n2\nx\nx\ni na tym zakończy\nlub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze, że równanie\n2\n2cos\n3cos\n1\n0\nx\nx\nma dwa rozwiązania\ncos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• rozwiąże jedno z równań cos\n1\nx\nlub\n1\ncos\n2\nx\nw przedziale 0, 2π\nalbo\n• wyznaczy wszystkie rozwiązania równań cos\n1\nx\ni\n1\ncos\n2\nx\nw zbiorze R\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania w podanym przedziale:\nπ\nx\nlub\n2π\n3\nx\n, lub\n4π\n3\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie sprzeczne lub równanie, którego wszystkie rozwiązania są spoza przedziału\n1,1\n,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie, które ma tylko jedno rozwiązanie z przedziału\n1,1\n, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał\nrównanie, które ma dwa rozwiązania z przedziału\n1,1\n, przy czym co najmniej jedno z nich\njest z przedziału (\n)\n1,1\n, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający poda liczby\n2π\n4π\n3\n3\nπ,\n,\njako rozwiązanie, ale bez stosownego uzasadnienia, to\notrzymuje 0 punktów. Jeżeli poda te 3 liczby jako rozwiązanie, z uzasadnieniem, np.\nsprawdzeniem spełniania przez te liczby równości lub odpowiednią ilustracją, to otrzymuje\n1 punkt.","solution":"$x \\in \\left\\{ \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi, \\dfrac{4\\pi}{3} \\right\\}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie cos2
3cos
2
x
x
w przedziale 0, 2π .
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności
\n

trygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji
trygonometrycznych (R6.6, R6.4).
Przykładowe rozwiązania
Równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
2
2cos
3cos
1
0
x
x
Podstawiamy
cos
t
x , przy czym
1,1
∈-
t
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
2
2
3
1
0
t
t
9
8
1,
1
Δ =
Δ = ,
1
3 1
1
4
t
,
2
3 1
1
4
2
t
Wyznaczamy wartości x w przedziale 0, 2π :
cos
1
x
lub
1
cos
2
x
,
π
x
lub
2π
3
x
, lub
4π
3
x
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze podane równanie w postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
trygonometryczna tego samego argumentu, np.
2
2cos
1 3cos
2
x
x
i na tym zakończy
lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze, że równanie
2
2cos
3cos
1
0
x
x
ma dwa rozwiązania
cos
1
x
lub
1
cos
2
x
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• rozwiąże jedno z równań cos
1
x
lub
1
cos
2
x
w przedziale 0, 2π
albo
• wyznaczy wszystkie rozwiązania równań cos
1
x
i
1
cos
2
x
w zbiorze R
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania w podanym przedziale:
π
x
lub
2π
3
x
, lub
4π
3
x
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał
\n

równanie sprzeczne lub równanie, którego wszystkie rozwiązania są spoza przedziału
1,1
,
to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał
\n

równanie, które ma tylko jedno rozwiązanie z przedziału
1,1
, to może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełnił błąd przy rozwiązywaniu równania kwadratowego i otrzymał
\n

równanie, które ma dwa rozwiązania z przedziału
1,1
, przy czym co najmniej jedno z nich
jest z przedziału (
)
1,1
, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający poda liczby
\n

2π
4π
3
3
π,
,
jako rozwiązanie, ale bez stosownego uzasadnienia, to
otrzymuje 0 punktów. Jeżeli poda te 3 liczby jako rozwiązanie, z uzasadnieniem, np.
sprawdzeniem spełniania przez te liczby równości lub odpowiednią ilustracją, to otrzymuje
1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x∈{2π3,π,4π3}

"}]}