{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8.\nLosujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy\npiłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy\nzapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn\ntrzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nW pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez $4$. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do\nzliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nJest to model klasyczny. Za każdym razem mamy 8 możliwości wyciągnięcia jednej piłeczki.\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich ciągów trójwyrazowych\no wyrazach ze zbioru liczb całkowitych od 1 do 8. Zatem\n8 8 8\n512\nΩ = ⋅⋅=\nNiech A oznacza zdarzenie zapisania takich trzech liczb, że ich iloczyn dzieli się przez 4.\nWtedy możliwe są 3 przypadki.\nI. Wszystkie zapisane liczby są parzyste.\nII. Dwie z zapisanych liczb są parzyste, a jedna z zapisanych jest nieparzysta.\nIII. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest podzielna przez 4.\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.\nI. 4 4 4\n64\n⋅⋅\nII. 4 4 4 3\n192\n⋅⋅⋅=\nIII. 4 4 2 3\n96\n⋅⋅⋅=\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech\nzapisanych liczb jest podzielny przez 4:\n( )\n64 192\n96\n352\n11\n512\n512\n16\nP A\nUwaga\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A możemy też wyznaczyć po uprzednim obliczeniu\nprawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A’. Jeżeli iloczyn trzech zapisanych liczb nie\ndzieli się przez 4, to oznacza, że zachodzi jeden z poniższych przypadków.\nI. Wszystkie zapisane liczby są nieparzyste.\nII. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest równa 2 lub 6.\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.\nI. 4 4 4\n64\n⋅⋅\nII.\n96\n3\n2\n4\n4\n⋅\n⋅\n⋅\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech\nzapisanych liczb nie jest podzielny przez 4: ( )\n16\n5\n512\n160\n512\n96\n64\n′\nA\nP\nZatem ( )\n16\n11\n16\n5\n1\nA\nP\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅\nalbo\n• wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których wystąpi zdarzenie A\nlub zdarzenie A′,\nalbo\n• wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi zdarzenie A (lub A′) i poda\ntaką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających A (lub A′), która wyklucza\npowtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• obliczy A (lub A′ ), stosując poprawną metodę, ale z błędem rachunkowym,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A\n(albo A′),\nalbo\n• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających\nzdarzeniu A lub A′), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, np. 1 1 1\n2 4 4\n⋅\n⋅\n, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków\nprawdopodobieństwo może być równe 1\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których\nwystąpi zdarzenie A lub zdarzenie A′\nalbo\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi\nzdarzenie A (lub A′) i poda taką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających\nA (lub A′), która wyklucza powtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,\nalbo\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i obliczy liczbę zdarzeń elementarnych w dwóch spośród\nprzypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną\nnieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4,\nalbo\n• obliczy\n352\nA\nlub\n160\n′\nA\n,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A\n(albo\nA′) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze\nprawdopodobieństwa, np. 1 1 1\n2 4 4\n⋅\n⋅\n, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków\nprawdopodobieństwo może być równe 1,\nalbo\n• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi dwóm\nspośród przypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną\nnieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4 i oblicza\nprawdopodobieństwo zgodnie z „metodą drzewkową”\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy\n8 8 8\nΩ = ⋅⋅ i\n352\nA\n(lub\n160\n′\nA\n)\nalbo\n• narysuje poprawne drzewo oraz zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo A′)\nzgodnie z „metodą drzewkową”\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n352\n11\n512\n16\nP A =","solution":"$\\dfrac{11}{16}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8.
Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy
piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy
zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn
trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę
permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do
zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach
kombinatorycznych (R10.1).
Przykładowe rozwiązanie
Jest to model klasyczny. Za każdym razem mamy 8 możliwości wyciągnięcia jednej piłeczki.
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich ciągów trójwyrazowych
o wyrazach ze zbioru liczb całkowitych od 1 do 8. Zatem
8 8 8
512
Ω = ⋅⋅=
Niech A oznacza zdarzenie zapisania takich trzech liczb, że ich iloczyn dzieli się przez 4.
Wtedy możliwe są 3 przypadki.
I. Wszystkie zapisane liczby są parzyste.
II. Dwie z zapisanych liczb są parzyste, a jedna z zapisanych jest nieparzysta.
III. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest podzielna przez 4.
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.
I. 4 4 4
64
⋅⋅
II. 4 4 4 3
192
⋅⋅⋅=
III. 4 4 2 3
96
⋅⋅⋅=
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech
zapisanych liczb jest podzielny przez 4:
( )
64 192
96
352
11
512
512
16
P A
Uwaga
Prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy też wyznaczyć po uprzednim obliczeniu
prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A’. Jeżeli iloczyn trzech zapisanych liczb nie
dzieli się przez 4, to oznacza, że zachodzi jeden z poniższych przypadków.
I. Wszystkie zapisane liczby są nieparzyste.
II. Dwie z zapisanych liczb są nieparzyste, a jedna z zapisanych jest równa 2 lub 6.
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych w każdym z tych przypadków.
I. 4 4 4
64
⋅⋅
II.
96
3
2
4
4
⋅
⋅
⋅
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że iloczyn trzech
zapisanych liczb nie jest podzielny przez 4: ( )
16
5
512
160
512
96
64
′
A
P
Zatem ( )
16
11
16
5
1
A
P
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy
8 8 8
Ω = ⋅⋅
albo
• wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których wystąpi zdarzenie A
lub zdarzenie A′,
albo
• wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi zdarzenie A (lub A′) i poda
taką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających A (lub A′), która wyklucza
powtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,
albo
• obliczy A (lub A′ ), stosując poprawną metodę, ale z błędem rachunkowym,
albo
• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A
(albo A′),
albo
• narysuje niepełne drzewo (może wystąpić brak istotnych gałęzi odpowiadających
zdarzeniu A lub A′), ale na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze
prawdopodobieństwa, np. 1 1 1
2 4 4
⋅
⋅
, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków
prawdopodobieństwo może być równe 1
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• obliczy
8 8 8
Ω = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe, ale rozłączne, przypadki, w których
wystąpi zdarzenie A lub zdarzenie A′
albo
• obliczy
8 8 8
Ω = ⋅⋅ i wypisze wszystkie możliwe przypadki, w których wystąpi
zdarzenie A (lub A′) i poda taką metodę zliczania zdarzeń elementarnych sprzyjających
A (lub A′), która wyklucza powtórzenie tego samego zdarzenia elementarnego,
albo
• obliczy
8 8 8
Ω = ⋅⋅ i obliczy liczbę zdarzeń elementarnych w dwóch spośród
przypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną
nieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4,
albo
• obliczy
352
A
lub
160
′
A
,
albo
• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi zdarzeniu A
(albo
A′) i na wszystkich odcinkach co najmniej jednej gałęzi zapisze
prawdopodobieństwa, np. 1 1 1
2 4 4
⋅
⋅
, przy czym najwyżej na jednym z trzech odcinków
prawdopodobieństwo może być równe 1,
albo
• narysuje drzewo z wyróżnionymi wszystkimi gałęziami odpowiadającymi dwóm
spośród przypadków: a) zapisano 3 liczby parzyste, b) zapisano 2 liczby parzyste i jedną
nieparzystą, c) zapisano dwie liczby nieparzyste i jedną podzielną przez 4 i oblicza
prawdopodobieństwo zgodnie z „metodą drzewkową”
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy
8 8 8
Ω = ⋅⋅ i
352
A
(lub
160
′
A
)
albo
• narysuje poprawne drzewo oraz zapisze prawdopodobieństwo zdarzenia A (albo A′)
zgodnie z „metodą drzewkową”
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo:
( )
352
11
512
16
P A =

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

1116

"}]}