{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\n0\nx\nmx\nm\nm\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x i\n2x , przy czym\n1\n2\n<\nx\nx , spełniające warunek\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x^2 - 6mx + (2m+3)(m-3) = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2, przy czym x_1 < x_2, spełniające warunek (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy układ warunków\n(\n)\n2\n1\n2\n0\n4\n4\n1\n0\nΔ >\n\n-<\n\nx\nx\nRozwiązujemy nierówność\n0\nΔ >\n, czyli\n(\n)\n2\n2\n36\n16 2\n3\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n. Po uporządkowaniu\notrzymujemy nierówność\n(\n)\n2\n4\n6\n0\nm +\n>\n, której rozwiązaniem są wszystkie liczby\nrzeczywiste oprócz\n6\nm = -.\nDrugą nierówność przekształcamy równoważnie i otrzymujemy kolejno:\n(\n)\n2\n1\n2\n16\n1\n0\n-<\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n2\n2\n16\n2\n1\n0\n-<\nx\nx x\nx\n,\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n16\n4\n1\n0\n\n\n-<\n\n\nx\nx\nx x\nStosujemy wzory Viete'a i otrzymujemy:\n2\n2\n36\n2\n3\n9\n16\n4\n1\n0\n16\n4\n\n\n-⋅\n-<\n\n\n\n\nm\nm\nm\nPrzekształcamy nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno:\n2\n2\n36\n32\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nm\n,\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nRozwiązujemy tę nierówność.\n2\n2304\n2288\n4\nΔ =\n1\n48\n4\n13\n8\n2\nm\n,\n2\n48\n4\n11\n8\n2\nm\n,\n13\n11\n,\n2\n2\n\n\n∈-\n\n\n\n\nm\nWyznaczamy część wspólną obu warunków:\n13\n11\n, 6\n6,\n2\n2\n\n\n\n\n∈-\n∪-\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nII sposób\nRozwiązujemy nierówność\n0\nΔ >\n, czyli\n(\n)\n2\n2\n36\n16 2\n3\n9\n0\nm\nm\nm\n>\n. Po uporządkowaniu\notrzymujemy nierówność\n(\n)\n2\n4\n6\n0\nm +\n>\n, której rozwiązaniem są wszystkie liczby\nrzeczywiste oprócz\n6\nm = -.\nObliczamy pierwiastki równania, z zachowaniem warunku\n1\n2\n<\nx\nx :\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\n,\n2\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\nObliczamy wartość wyrażenia\n1\n2\n4\n4\nx\nx w zależności od m:\n1\n2\n2\n6\n4\n4\n4\n2\n6\n4\n⋅\nm\nx\nx\nm\nZapisujemy nierówność z treści zadania z wykorzystaniem wyznaczonych rozwiązań\nrównania i przekształcamy ją równoważnie, otrzymując kolejno:\n(\n)(\n)\n2\n6\n1\n2\n6\n1\n0\n<\nm\nm\n,\n(\n)\n2\n1\n4\n6\n0\n\n\n<\n\n\nm\n,\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nDalsza część rozwiązania przebiega podobnie jak w I sposobie rozwiązania,\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\nΔ >\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający rozwiąże nierówność\n0\nΔ ≥\ni nie odrzuci przypadku\n0\nΔ =\n, to za ten etap\notrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na znalezieniu wartości m, dla których spełniona jest nierówność:\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.\nPoniżej podział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt gdy:\n• zapisze\nnierówność\n(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nw\npostaci\nrównoważnej\nzawierającej\njedynie\nsumę\ni\niloczyn\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n(\n)(\n)\n2\n4\n6\n2\n3\n3\nx\nmx\nm\nm\n, np.:\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n16\n4\n1\n0\n\n\n-<\n\n\nx\nx\nx x\nlub\n• obliczy pierwiastki trójmianu:\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\n,\n2\n6\n2\n6\n3\n6\n8\n4\nm\nm\nm\nm\nx\nZdający otrzymuje 2 punkty gdy:\n• zapisze nierówność (\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n4\n4\n1\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\nw postaci nierówności równoważnej\nz jedną niewiadomą np.:\n2\n2\n36\n2\n3\n9\n16\n4\n1\n0\n16\n4\n\n\n-⋅\n-<\n\n\n\n\nm\nm\nm\nlub\n2\n4\n48\n143\n0\n<\nm\nm\nlub (\n)(\n)\n2\n6\n1\n2\n6\n1\n0\n<\nm\nm\nZdający otrzymuje 3 punkty gdy:\n• poprawnie rozwiąże nierówność:\n13\n11\n,\n2\n2\n\n\n∈-\n\n\n\n\nm\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapów\nI i II oraz podaniu odpowiedzi:\n13\n11\n, 6\n6,\n2\n2\n\n\n\n\n∈-\n∪-\n\n\n\n\n\n\n\n\nm\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako\nzbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.\n2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru\nrozwiązań z I etapu przyznajemy 0 punktów za III etap.\n3. W przypadku rozwiązania z błędami, nieprzekreślającymi poprawności rozumowania, za\nostatni etap przyznajemy 1 punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I\ni popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II lub gdy popełnia błędy w etapie I\ni dobrze rozwiąże etap II (uwaga 3. ma zastosowanie, gdy nie zachodzą przypadki 1. i 2.).\n4. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma w II etapie nierówność z niewiadomą m stopnia\ndrugiego z ujemnym wyróżnikiem lub nierówność liniową, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty.\n5. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie\n(\n)\n2\n6\nm\nΔ =\ni konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.","solution":"$m \\in \\left(-\\dfrac{13}{2}, -6\\right) \\cup \\left(-6, -\\dfrac{11}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie
(
)(
)
2
4
6
2
3
3
0
x
mx
m
m
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste
1x i
2x , przy czym
1
2
<
x
x , spełniające warunek
(
)(
)
1
2
1
2
4
4
1
4
4
1
0
x
x
x
x
<

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x^2 - 6mx + (2m+3)(m-3) = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 i x_2, przy czym x_1 < x_2, spełniające warunek (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).
\n

Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zapisujemy układ warunków
(
)
2
1
2
0
4
4
1
0
Δ >

-<

x
x
Rozwiązujemy nierówność
0
Δ >
, czyli
(
)
2
2
36
16 2
3
9
0
m
m
m

\n
\n

. Po uporządkowaniu
otrzymujemy nierówność
(
)
2
4
6
0
m +

\n
\n

, której rozwiązaniem są wszystkie liczby
rzeczywiste oprócz
6
m = -.
Drugą nierówność przekształcamy równoważnie i otrzymujemy kolejno:
(
)
2
1
2
16
1
0
-<
x
x
,
(
)
2
2
1
1
2
2
16
2
1
0
-<
x
x x
x
,
(
)
2
1
2
1
2
16
4
1
0


-<


x
x
x x
Stosujemy wzory Viete'a i otrzymujemy:
2
2
36
2
3
9
16
4
1
0
16
4


-⋅
-<




m
m
m
Przekształcamy nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno:
2
2
36
32
48
143
0
<
m
m
m
,
2
4
48
143
0
<
m
m
Rozwiązujemy tę nierówność.
2
2304
2288
4
Δ =
1
48
4
13
8
2
m
,
2
48
4
11
8
2
m
,
13
11
,
2
2


∈-




m
Wyznaczamy część wspólną obu warunków:
13
11
, 6
6,
2
2




∈-
∪-








m
II sposób
Rozwiązujemy nierówność
0
Δ >
, czyli
(
)
2
2
36
16 2
3
9
0
m
m
m

\n
\n

. Po uporządkowaniu
otrzymujemy nierówność
(
)
2
4
6
0
m +

\n
\n

, której rozwiązaniem są wszystkie liczby
rzeczywiste oprócz
6
m = -.
Obliczamy pierwiastki równania, z zachowaniem warunku
1
2
<
x
x :
1
6
2
6
3
6
8
4
m
m
m
m
x
,
2
6
2
6
3
6
8
4
m
m
m
m
x
Obliczamy wartość wyrażenia
1
2
4
4
x
x w zależności od m:
1
2
2
6
4
4
4
2
6
4
⋅
m
x
x
m
Zapisujemy nierówność z treści zadania z wykorzystaniem wyznaczonych rozwiązań
równania i przekształcamy ją równoważnie, otrzymując kolejno:
(
)(
)
2
6
1
2
6
1
0
<
m
m
,
(
)
2
1
4
6
0


<


m
,
2
4
48
143
0
<
m
m
Dalsza część rozwiązania przebiega podobnie jak w I sposobie rozwiązania,
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności
0
Δ >
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający rozwiąże nierówność
0
Δ ≥
i nie odrzuci przypadku
0
Δ =
, to za ten etap
otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na znalezieniu wartości m, dla których spełniona jest nierówność:
(
)(
)
1
2
1
2
4
4
1
4
4
1
0
x
x
x
x
<
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.
Poniżej podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 punkt gdy:
• zapisze
nierówność
(
)(
)
1
2
1
2
4
4
1
4
4
1
0
x
x
x
x
<
w
postaci
równoważnej
zawierającej
jedynie
sumę
i
iloczyn
pierwiastków
trójmianu
kwadratowego
(
)(
)
2
4
6
2
3
3
x
mx
m
m
, np.:
(
)
2
1
2
1
2
16
4
1
0


-<


x
x
x x
lub
• obliczy pierwiastki trójmianu:
1
6
2
6
3
6
8
4
m
m
m
m
x
,
2
6
2
6
3
6
8
4
m
m
m
m
x
Zdający otrzymuje 2 punkty gdy:
• zapisze nierówność (
)(
)
1
2
1
2
4
4
1
4
4
1
0
x
x
x
x
<
w postaci nierówności równoważnej
z jedną niewiadomą np.:
2
2
36
2
3
9
16
4
1
0
16
4


-⋅
-<




m
m
m
lub
2
4
48
143
0
<
m
m
lub (
)(
)
2
6
1
2
6
1
0
<
m
m
Zdający otrzymuje 3 punkty gdy:
• poprawnie rozwiąże nierówność:
13
11
,
2
2


∈-




m
Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapów
I i II oraz podaniu odpowiedzi:
13
11
, 6
6,
2
2




∈-
∪-








m
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi

\n
  1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako
\n

zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.

\n
  1. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru
\n

rozwiązań z I etapu przyznajemy 0 punktów za III etap.

\n
  1. W przypadku rozwiązania z błędami, nieprzekreślającymi poprawności rozumowania, za
\n

ostatni etap przyznajemy 1 punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I
i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II lub gdy popełnia błędy w etapie I
i dobrze rozwiąże etap II (uwaga 3. ma zastosowanie, gdy nie zachodzą przypadki 1. i 2.).

\n
  1. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma w II etapie nierówność z niewiadomą m stopnia
\n

drugiego z ujemnym wyróżnikiem lub nierówność liniową, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty.

\n
  1. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie
\n

(
)
2
6
m
Δ =
i konsekwentnie rozwiąże
zadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

m∈(−132,−6)∪(−6,−112)

"}]}