{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty\n(\n)\n5, 3\nA = -\ni\n(\n)\n0, 6\nB =\n, którego\nśrodek leży na prostej o równaniu\n3\n1\n0\nx\ny\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5,3) i B=(0,6), którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje\nsię równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za\npomocą nierówności, wyznacza współrzędne środka odcinka,\nwyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła\ndo prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych\noraz oblicza odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nŚrodek S szukanego okręgu jest punktem przecięcia prostej\n3\n1\n0\nx\ny\noraz symetralnej\nodcinka AB.\nWyznaczmy współrzędne środka D odcina AB:\n5\n0 3\n6\n5 9\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nD\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:\n6\n3\n3\n0\n5\n5\nAB\na\nZ warunku prostopadłości prostych wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej\nodcinka AB:\n5\n3\na\n. Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB:\n5\n3\ny\nx\nb.\nPrzechodzi ona przez punkt\n5 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\nD\n, stąd otrzymujemy 9\n5\n5\n2\n3\n2\n\n\n⋅-\n\n\n\n\nb. Zatem\n1\n3\nb\n. Wobec tego symetralną odcinka AB jest prosta\n5\n1\n3\n3\ny\nx\nObliczamy współrzędne punktu S, rozwiązując układ równań\n3\n1\n0\n5\n1.\n3\n3\n\n\nx\ny\ny\nx\nŚrodkiem\nokręgu jest\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\nWyznaczamy promień okręgu r obliczając np.:\n2\n2\n8\n17\n5\n3\n3\n\n\n\n\n\n\nAS\nWyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni promieniu\n17\n3\nr\n:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nII sposób\nŚrodkiem okręgu jest punkt S, który leży na prostej\n3\n1\n0\nx\ny\n. Zatem\n(\n)\n3\n1,\nS\ny\ny\nPonieważ\n2\n2\nAS\nBS\n, więc możemy zapisać równanie (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\nx\ny\nx\ny\nRozwiązujemy zatem układ równań\n10\n6\n2\nx\ny\ni\n3\n1\nx\ny\n= -,\notrzymując współrzędne punktu S\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\nNastępnie obliczamy kwadrat długości promienia\n2\n2\nSB\nr\n2\n2\n17\n289\n3\n9\nr\n\n\n\n\n\n\nZatem równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r ma postać\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nIII sposób\nPrzyjmijmy, że punkt\n(\n)\nb\na\nS\n,\njest środkiem szukanego okręgu. Ponieważ punkt ten leży\nna prostej\n3\n1\n0\nx\ny\n, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej. Stąd\n3\n1\n0\na\nb\nOkrąg przechodzi przez punkty\n(\n)\n5, 3\nA = -\ni\n(\n)\n0, 6\nB =\n, zatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\nStąd otrzymujemy zależność między a i b: 5\n3\n1\n0\na\nb\nZ układu równań\n3\n1\n0\n5\n3\n1\n0\n\n\n\na\nb\na\nb\nobliczamy współrzędne środka okręgu\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\n. Wyznaczone współrzędne podstawiamy\ndo jednego z równań układu z niewiadomą r i obliczamy kwadrat promienia okręgu:\n2\n289\n9\nr\nZatem szukane równanie okręgu ma postać:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nSchematy punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• wyznaczy współrzędne środka odcinka AB:\n5 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\nD\nalbo\n• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB:\n3\n5\nAB\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB:\n5\n1\n3\n3\ny\nx\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 .p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):\n17\n3\nr\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze współrzędne punktu S w zależności od jednej zmiennej, np.:\n(\n)\n3\n1,\nS\ny\ny\nalbo\n• zapisze równość\n2\n2\nAS\nBS\n(lub\nAS\nBS ) lub równoważne równanie\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\nx\ny\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań\n10\n6\n2\nx\ny\ni\n3\n1\nx\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nWyznaczy kwadrat promienia okręgu (lub promień okręgu):\n2\n289\n9\nr =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze układ równań: (\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\nalbo\n• zauważy, że współrzędne środka okręgu spełniają równanie:\n3\n1\n0\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n3\n6\n--\n\n\na\nb\nr\na\nb\nr\ni zauważy, że współrzędne\nśrodka okręgu spełniają równanie\n3\n1\n0\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności 3 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu S:\n1\n0, 3\n\n\n= \n\n\n\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia\nbłędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nWyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):\n17\n3\nr\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający wyznaczy równanie okręgu:\n2\n2\n1\n289\n3\n9\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nUwaga\nJeżeli zdający oblicza współrzędne punktu P przecięcia danej prostej z osią Oy, oblicza\nodległość PB, zapisuje równanie okręgu i na tym poprzestaje, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"$x^2 + \\left(y - \\dfrac{1}{3}\\right)^2 = \\dfrac{289}{9}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty
(
)
5, 3
A = -
i
(
)
0, 6
B =
, którego
środek leży na prostej o równaniu
3
1
0
x
y

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(-5,3) i B=(0,6), którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje
\n

się równaniem okręgu (x - a)2 + (y - b)2 = r2 oraz opisuje koła za
pomocą nierówności, wyznacza współrzędne środka odcinka,
wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła
do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany
punkt, oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych
oraz oblicza odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Środek S szukanego okręgu jest punktem przecięcia prostej
3
1
0
x
y
oraz symetralnej
odcinka AB.
Wyznaczmy współrzędne środka D odcina AB:
5
0 3
6
5 9
,
,
2
2
2
2












D
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:
6
3
3
0
5
5
AB
a
Z warunku prostopadłości prostych wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej
odcinka AB:
5
3
a
. Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB:
5
3
y
x
b.
Przechodzi ona przez punkt
5 9
,
2 2






D
, stąd otrzymujemy 9
5
5
2
3
2


⋅-




b. Zatem
1
3
b
. Wobec tego symetralną odcinka AB jest prosta
5
1
3
3
y
x
Obliczamy współrzędne punktu S, rozwiązując układ równań
3
1
0
5
1.
3
3


x
y
y
x
Środkiem
okręgu jest
1
0, 3


= 



S
Wyznaczamy promień okręgu r obliczając np.:
2
2
8
17
5
3
3






AS
Wyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie
1
0, 3


= 



S
i promieniu
17
3
r
:
2
2
1
289
3
9






x
y
II sposób
Środkiem okręgu jest punkt S, który leży na prostej
3
1
0
x
y
. Zatem
(
)
3
1,
S
y
y
Ponieważ
2
2
AS
BS
, więc możemy zapisać równanie (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
5
3
6
x
y
x
y
Rozwiązujemy zatem układ równań
10
6
2
x
y
i
3
1
x
y
= -,
otrzymując współrzędne punktu S
1
0, 3


= 



S
Następnie obliczamy kwadrat długości promienia
2
2
SB
r
2
2
17
289
3
9
r






Zatem równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r ma postać
2
2
1
289
3
9






x
y
III sposób
Przyjmijmy, że punkt
(
)
b
a
S
,
jest środkiem szukanego okręgu. Ponieważ punkt ten leży
na prostej
3
1
0
x
y
, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej. Stąd
3
1
0
a
b
Okrąg przechodzi przez punkty
(
)
5, 3
A = -
i
(
)
0, 6
B =
, zatem
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
5
3
6
--


a
b
r
a
b
r
Stąd otrzymujemy zależność między a i b: 5
3
1
0
a
b
Z układu równań
3
1
0
5
3
1
0



a
b
a
b
obliczamy współrzędne środka okręgu
1
0, 3


= 



S
. Wyznaczone współrzędne podstawiamy
do jednego z równań układu z niewiadomą r i obliczamy kwadrat promienia okręgu:
2
289
9
r
Zatem szukane równanie okręgu ma postać:
2
2
1
289
3
9






x
y
Schematy punktowania
I sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• wyznaczy współrzędne środka odcinka AB:
5 9
,
2 2






D
albo
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB:
3
5
AB
a
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB:
5
1
3
3
y
x
i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności 3 .p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu S:
1
0, 3


= 



S
i na tym zakończy lub dalej popełnia
błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):
17
3
r
i na tym
zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający wyznaczy równanie okręgu:
2
2
1
289
3
9






x
y
II sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze współrzędne punktu S w zależności od jednej zmiennej, np.:
(
)
3
1,
S
y
y
albo
• zapisze równość
2
2
AS
BS
(lub
AS
BS ) lub równoważne równanie
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
5
3
6
x
y
x
y
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze układ równań
10
6
2
x
y
i
3
1
x
y
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności 3 p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu S:
1
0, 3


= 



S
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Wyznaczy kwadrat promienia okręgu (lub promień okręgu):
2
289
9
r =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający wyznaczy równanie okręgu:
2
2
1
289
3
9






x
y
III sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze układ równań: (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
5
3
6
--


a
b
r
a
b
r
albo
• zauważy, że współrzędne środka okręgu spełniają równanie:
3
1
0
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze układ równań:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
5
3
6
--


a
b
r
a
b
r
i zauważy, że współrzędne
środka okręgu spełniają równanie
3
1
0
a
b
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności 3 p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu S:
1
0, 3


= 



S
i na tym zakończy lub dalej popełnia
błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu):
17
3
r
i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający wyznaczy równanie okręgu:
2
2
1
289
3
9






x
y
Uwaga
Jeżeli zdający oblicza współrzędne punktu P przecięcia danej prostej z osią Oy, oblicza
odległość PB, zapisuje równanie okręgu i na tym poprzestaje, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x2+(y−13)2=2899

"}]}