{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nLiczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest geometryczny.\nWyznacz liczby a, b, c.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nLiczby a,b,c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2,b,2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz stosuje wzór\nna\nn-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego. (5.3, 5.4)\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,\nprowadzące do równań kwadratowych; (R3.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego\njest równa 27, to\n27\nb\nr\nb\nb\nr\n, a stąd\n9\nb =\n. Wówczas ciąg geometryczny\n(\n)\n7\n,9, 2\n19\nr\nr\nspełnia warunek\n(\n) (\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\n⋅\n. Równanie to ma dwa rozwiązania\n4\nr =\ni\n13\n2\nr = -\nW pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (\n)\n5,9,13 , a w drugim przypadku\nciąg arytmetyczny 31\n5\n,9,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nII sposób\nLiczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,\nzatem\n2\na\nc\nb\n. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd\n27\na\nb\nc\n. Ciąg (\n)\n2, , 2\n1\na\nb\nc\njest\ngeometryczny, zatem\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nZapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n2\na\nc\nb\n, podstawiamy do drugiego równania\ni otrzymujemy\n9\nb =\nDo trzeciego równania podstawiamy\n9\nb =\ni\n2\na\nb\nc\n- i otrzymujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n31\n65\n0\nc\nc\n. Równanie to ma dwa rozwiązania:\n5\n2\nc =\noraz\n13\nc =\n. W pierwszym\nprzypadku otrzymujemy:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\na w drugim przypadku otrzymujemy:\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast\n2\na -\npierwszy wyraz tego ciągu.\nWtedy\n(\n)\n2\nb\na\nq\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n2\nc\na\nq\n. Z ostatniej zależności otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\nPonieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika równanie\n2\na\nc\nb\n,\nktóre możemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\nOtrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n55\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n2\n2\n1\na\nq\na\na\nq\nTen układ jest równoważny układowi\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n51\na\na\nq\na\nq\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n3\na\na\nq\na\nq\nPo wyłączeniu czynnika (\n)\n2\na -\nkażde z równań przyjmuje postać\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n51\na\nq\nq\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\na\nq\nq\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\n,\nskąd otrzymujemy równanie kwadratowe\n2\n3\n11\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n3\nq = ,\n2\n3\nq =\nJeśli\n3\nq = , to\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\n. Jeżeli natomiast\n2\n3\nq =\n, to\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu\narytmetycznego, np.: a\nb\nr\n- i c\nb\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu\ngeometrycznego, np.: a\nb\nr\n-, c\nb\nr\n+ ,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu\ngeometrycznego, np.:\n(\n)(\n)\n81\n7\n2\n19\nr\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze jedno z równań:\n2\na\nc\nb\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n1\nb\na\nc\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n(\n) (\n)\n2\n2\n27\n2\n2\n1\na\nc\nb\na\nb\nc\nb\na\nc\n\n\n+\n\n\n⋅\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n31\n16\n81\nc\nc\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:\n5\na\n,\n9\nb\n,\n13\nc\noraz\n31\n2\na\n,\n9\nb\n,\n5\n2\nc\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb\ni ilorazu ciągu geometrycznego, np.\n2\na -\n,\n(\n)\n2\nb\na\nq\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n2\na\nq\nc\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n27\n2\na\nq\na\na\nq\ni (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n4\na\na\nq\na\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 2\n2\n51\n2\n4\nq\nq\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 5 p.\nZdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy\nlub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne 6 p.\nZdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:\n5\na =\n,\n9\nb =\ni\n13\nc =\noraz\n31\n2\na =\n,\n9\nb =\ni\n5\n2\nc =\nUwagi (do wszystkich schematów punktowania)\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków\nzadania, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"$(5, 9, 13)$ lub $\\left(\\dfrac{31}{2}, 9, \\dfrac{5}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu
arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (
)
2, , 2
1
a
b
c
jest geometryczny.
Wyznacz liczby a, b, c.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Liczby a,b,c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a-2,b,2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę
\n

n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz stosuje wzór
na
n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego. (5.3, 5.4)

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań,
\n

prowadzące do równań kwadratowych; (R3.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego
jest równa 27, to
27
b
r
b
b
r
, a stąd
9
b =
. Wówczas ciąg geometryczny
(
)
7
,9, 2
19
r
r
spełnia warunek
(
) (
)
81
7
2
19
r
r
⋅
. Równanie to ma dwa rozwiązania
4
r =
i
13
2
r = -
W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny (
)
5,9,13 , a w drugim przypadku
ciąg arytmetyczny 31
5
,9,
2
2






II sposób
Liczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,
zatem
2
a
c
b
. Suma liczb a, b, c równa 27, stąd
27
a
b
c
. Ciąg (
)
2, , 2
1
a
b
c
jest
geometryczny, zatem
(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
Zapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
(
) (
)
2
2
27
2
2
1
a
c
b
a
b
c
b
a
c


+


⋅


Z pierwszego równania wyznaczamy
2
a
c
b
, podstawiamy do drugiego równania
i otrzymujemy
9
b =
Do trzeciego równania podstawiamy
9
b =
i
2
a
b
c

\n\n

2
2
31
65
0
c
c
. Równanie to ma dwa rozwiązania:
5
2
c =
oraz
13
c =
. W pierwszym
przypadku otrzymujemy:
5
a
,
9
b
,
13
c
a w drugim przypadku otrzymujemy:
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
III sposób
Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast
2
a -
pierwszy wyraz tego ciągu.
Wtedy
(
)
2
b
a
q
i
(
)
2
2
1
2
c
a
q
. Z ostatniej zależności otrzymujemy
(
)
2
2
1
2
a
q
c
Ponieważ suma liczb a, b , c jest równa 27, więc możemy zapisać równość
(
)
(
)
2
2
1
2
27
2
a
q
a
a
q
Z własności ciągu arytmetycznego wynika równanie
2
a
c
b
,
które możemy zapisać w postaci
(
)
(
)
2
2
2
1
2
4
a
a
q
a
q
Otrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
55
a
a
q
a
q
(
)
(
)
2
4
2
2
2
1
a
q
a
a
q
Ten układ jest równoważny układowi
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
51
a
a
q
a
q
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
2
2
3
a
a
q
a
q
Po wyłączeniu czynnika (
)
2
a -
każde z równań przyjmuje postać
(
)(
)
2
2
2
2
51
a
q
q
(
)(
)
2
2
2
4
3
a
q
q
Zatem
(
)
(
)
2
2
3 2
2
51
2
4
q
q
q
q
,
skąd otrzymujemy równanie kwadratowe
2
3
11
6
0
q
q
To równanie ma dwa rozwiązania
3
q = ,
2
3
q =
Jeśli
3
q = , to
5
a =
,
9
b =
i
13
c =
. Jeżeli natomiast
2
3
q =
, to
31
2
a =
,
9
b =
i
5
2
c =
Schemat punktowania
I sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu
arytmetycznego, np.: a
b
r

\n\n

b
r
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu
geometrycznego, np.: a
b
r
-, c
b
r

\n\n

(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu
geometrycznego, np.:
(
)(
)
81
7
2
19
r
r
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:
5
a
,
9
b
,
13
c
oraz
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
II sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze jedno z równań:
2
a
c
b
,
(
) (
)
2
2
2
1
b
a
c
⋅
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:
(
) (
)
2
2
27
2
2
1
a
c
b
a
b
c
b
a
c


+


⋅


Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
2
2
31
16
81
c
c
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania:
5
a
,
9
b
,
13
c
oraz
31
2
a
,
9
b
,
5
2
c
III sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb
i ilorazu ciągu geometrycznego, np.
2
a -
,
(
)
2
b
a
q
,
(
)
2
2
1
2
a
q
c
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:
(
)
(
)
2
2
1
2
27
2
a
q
a
a
q
i (
)
(
)
2
2
2
1
2
4
a
a
q
a
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
(
)
(
)
2
2
3 2
2
51
2
4
q
q
q
q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający obliczy liczby a , b i c w jednym z możliwych przypadków i na tym zakończy
lub dalej popełnia błędy.
Uwaga
Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania:
5
a =
,
9
b =
i
13
c =
oraz
31
2
a =
,
9
b =
i
5
2
c =
Uwagi (do wszystkich schematów punktowania)

\n
  1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu
\n

geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków
\n

zadania, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

(5,9,13) lub (312,9,52)

"}]}