{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość\ni promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą\nobjętość.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do\nrozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień podstawy walca i wysokość walca. Pole P\npowierzchni całkowitej tego walca jest równe\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nrh . Stąd\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nh\nr\nObjętość walca\n2\n= π\nV\nr h zapisujemy jako funkcję zmiennej r :\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nπ\nπ\nπ\nπ\nP\nr\nPr\nr\nV r\nr\nr\n, gdzie\n2\n0 <\n<\nπ\nP\nr\nPochodna funkcji V jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\n1\n2\n6\n′\n-π\nV\nr\nP\nr\ndla\n2\n0 <\n<\nπ\nP\nr\nWyznaczamy miejsca zerowe i badamy znak pochodnej\n( )\n0\n′\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\nπ\nP\nr\n,\n( )\n0\n′\n>\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\n0 <\n<\nπ\nP\nr\n,\n( )\n0\n′\n<\nV\nr\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n6\n2\n<\n<\nπ\nπ\nP\nP\nr\nWynika stąd, że w przedziale (\n6\n0\nπ\nP\n,\nfunkcja V jest rosnąca, a w przedziale\n)\n6\n2\nπ\nπ\nP\nP\n,\njest malejąca. Zatem (\n)\n6π\nP\nV\njest największą wartością tej funkcji. Wartość ta jest równa\n(\n)\n(\n)\n3\n6\n6\n6\n2\n2\n3\n6\n⋅\n⋅\n⋅\nπ\nπ\nπ\nπ\nπ\nP\nP\nP\nP\nP\nP\nV\nGdy\n6\nπ\nP\nr\n, to wtedy\n2\n2\n3\n2\n2\nπ\nπ\nπ\nP\nP\nr\nh\nr\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenie wysokością walca w zależności od promienia podstawy walca:\n2\n2\n2\nπ\nπ\nP\nr\nh\nr\n,\n• wyznaczenie objętości walca jako funkcji jednej zmiennej r, ( )\n2\nπ\n2\n3r\nr\nP\nr\nV\n,\n• wyznaczenie dziedziny funkcji V :\n(\n)\n2\n0\nπ\nV\nP\nD\n,\nZa poprawne wykonanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n• wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n( )\n3\n2\n⋅-π\nP\nf r\nr\nr :\n( )\n2\n2\n3\n′\n-π\nP\nf\nr\nr ,\n• obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji V:\n6\nπ\nP\nr\nlub obliczenie miejsc\nzerowych pochodnej funkcji f:\n6\nπ\nP\nr\n,\n6\nπ\nP\nr\n• zbadanie znaku pochodnej funkcji V i uzasadnienie, że dla\n6\nπ\nP\nr\nfunkcja V osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nc) Trzeci etap.\nObliczenie największej objętości walca i wysokości walca o największej objętości:\n3\n6\n⋅\nπ\nP\nP\nV\n,\n2\n3\nπ\nP\nh\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze objętość walca z błędem rzeczowym, to może otrzymać co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji V, to\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji f lub V z błędem rachunkowym i otrzyma funkcję\nliniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku o wyróżniku równym 0, to może\notrzymać punkty jedynie za pierwszy etap rozwiązania.\n3. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie dla stożka, to otrzymuje 0 punktów, nawet jeśli\nrozwiązanie tego innego zadania jest poprawne.\n4. Za rozwiązanie z konkretną wartością liczbową w miejsce P zdający otrzymuje\n0 punktów.","solution":"$V = \\dfrac{P}{3}\\sqrt{\\dfrac{P}{6\\pi}}$, $h = \\sqrt{\\dfrac{2P}{3\\pi}}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość
i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą
objętość.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do
\n

rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).
Przykładowe rozwiązanie
Niech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień podstawy walca i wysokość walca. Pole P
powierzchni całkowitej tego walca jest równe
2
2
2
π
π
P
r
rh . Stąd
2
2
2
π
π
P
r
h
r
Objętość walca
2
= π
V
r h zapisujemy jako funkcję zmiennej r :
( )
2
3
2
2
2
2
2
π
π
π
π
P
r
Pr
r
V r
r
r
, gdzie
2
0 <
<
π
P
r
Pochodna funkcji V jest określona wzorem
( )
(
)
2
1
2
6
′
-π
V
r
P
r
dla
2
0 <
<
π
P
r
Wyznaczamy miejsca zerowe i badamy znak pochodnej
( )
0
′
V
r
wtedy i tylko wtedy, gdy
6
π
P
r
,
( )
0
′

\n
\n

V
r
wtedy i tylko wtedy, gdy
6
0 <
<
π
P
r
,
( )
0
′
<
V
r
wtedy i tylko wtedy, gdy
6
2
<
<
π
π
P
P
r
Wynika stąd, że w przedziale (
6
0
π
P
,
funkcja V jest rosnąca, a w przedziale
)
6
2
π
π
P
P
,
jest malejąca. Zatem (
)
6π
P
V
jest największą wartością tej funkcji. Wartość ta jest równa
(
)
(
)
3
6
6
6
2
2
3
6
⋅
⋅
⋅
π
π
π
π
π
P
P
P
P
P
P
V
Gdy
6
π
P
r
, to wtedy
2
2
3
2
2
π
π
π
P
P
r
h
r
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
a) Pierwszy etap składa się z trzech części:
• wyznaczenie wysokością walca w zależności od promienia podstawy walca:
2
2
2
π
π
P
r
h
r
,
• wyznaczenie objętości walca jako funkcji jednej zmiennej r, ( )
2
π
2
3r
r
P
r
V
,
• wyznaczenie dziedziny funkcji V :
(
)
2
0
π
V
P
D
,
Za poprawne wykonanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.
b) Drugi etap składa się z trzech części:
• wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej
( )
3
2
⋅-π
P
f r
r
r :
( )
2
2
3
′
-π
P
f
r
r ,
• obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji V:
6
π
P
r
lub obliczenie miejsc
zerowych pochodnej funkcji f:
6
π
P
r
,
6
π
P
r
• zbadanie znaku pochodnej funkcji V i uzasadnienie, że dla
6
π
P
r
funkcja V osiąga
największą wartość.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
c) Trzeci etap.
Obliczenie największej objętości walca i wysokości walca o największej objętości:
3
6
⋅
π
P
P
V
,
2
3
π
P
h
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze objętość walca z błędem rzeczowym, to może otrzymać co najwyżej
\n

1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji V, to
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji f lub V z błędem rachunkowym i otrzyma funkcję
\n

liniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku o wyróżniku równym 0, to może
otrzymać punkty jedynie za pierwszy etap rozwiązania.

\n
  1. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie dla stożka, to otrzymuje 0 punktów, nawet jeśli
\n

rozwiązanie tego innego zadania jest poprawne.

\n
  1. Za rozwiązanie z konkretną wartością liczbową w miejsce P zdający otrzymuje
\n

0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

V=P3P6π, h=2P3π

"}]}