{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n2\n1\n1\nx\nf\nx\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz\nrównanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = x-1 / x^2+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P=(1,0).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza pochodne funkcji\nwymiernych oraz korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji\npochodnej (R11.2, R11.3).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPochodna funkcji f jest równa\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1 2\n1\n2\n1\n1\n1\n′\nx\nx x\nx\nx\nf\nx\nx\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWspółczynnik kierunkowy szukanej stycznej jest równy:\n( )\n2\n1\n1\n4\n2\n′\nf\n,\nzatem równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\nma postać:\n(\n)\n1\n1\n0\n2\ny\nx\n,\n1\n1\n2\n2\ny\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy pochodną funkcji f:\nnp.\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1 2\n1\n1\nx\nx x\nf\nx\nx\n′\nlub\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\nx\nx\nf\nx\nx\n′\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy\n( )\n1\n1\n2\n′\nf\n, poprawnie interpretuje tę liczbę jako współczynnik kierunkowy\nstycznej i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n(\n)\n1, 0\nP =\n:\n1\n1\n2\n2\ny\nx\nUwaga\nJeżeli zdający wyznacza błędnie pochodną funkcji, np.:\n( )\n(\n)\n2\n2\n1 2\n1\n1\nx\nx x\nf\nx\nx\n′\ni konsekwentnie do popełnionego błędu wyznaczy równanie stycznej, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$y = \\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{1}{2}$","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Funkcja f jest określona wzorem
( )
2
1
1
x
f
x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz
równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
(
)
1, 0
P =
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x-1 / x^2+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P=(1,0).

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Rachunek różniczkowy. Zdający oblicza pochodne funkcji
\n

wymiernych oraz korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji
pochodnej (R11.2, R11.3).
Przykładowe rozwiązanie
Pochodna funkcji f jest równa
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1 2
1
2
1
1
1
′
x
x x
x
x
f
x
x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Współczynnik kierunkowy szukanej stycznej jest równy:
( )
2
1
1
4
2
′
f
,
zatem równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(
)
1, 0
P =
ma postać:
(
)
1
1
0
2
y
x
,
1
1
2
2
y
x
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy pochodną funkcji f:
np.
( )
(
)
(
)
2
2
2
1 2
1
1
x
x x
f
x
x
′
lub
( )
(
)
2
2
2
2
1
1
x
x
f
x
x
′
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy
( )
1
1
2
′
f
, poprawnie interpretuje tę liczbę jako współczynnik kierunkowy
stycznej i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(
)
1, 0
P =
:
1
1
2
2
y
x
Uwaga
Jeżeli zdający wyznacza błędnie pochodną funkcji, np.:
( )
(
)
2
2
1 2
1
1
x
x x
f
x
x
′
i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznaczy równanie stycznej, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

y=12x−12

"}]}