{"id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność. x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (a ±b)2 oraz a2 - b2 (2.1).\nZdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia\nwymierne (R2.6).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n0\nx y\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\nxy\ny\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\nPonieważ x\ny\n≠\n, więc (\n)\n2\n0\nx\ny\n>\n. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby\nnieujemnej (\n)\n2\n2\nxy -\noraz liczby dodatniej (\n)\n2\n2 x\ny\n, a więc jest dodatnia.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZapiszmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\nPonieważ\n2\n2\n0\n>\ny\ndla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę\nnierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y\ni parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\nzmiennej x jest ujemny.\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\n64\n8\n2\n-⋅\n⋅\ny\ny\ny\ny\ny\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n2\n4\n2\n2\n8 8\n4\n4\n8\n4\n4\n8\n2\ny\ny\ny\ny\ny\ny\nDla każdej liczby rzeczywistej y, takiej, że\n2\n2\n≠\ny\nwyróżnik jest ujemy. Gdy\n2\n2\ny\n, to\nwówczas nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nma postać\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n4\n8 2\n8\n0\n>\nx\nx\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\nlub\n2\n2 2\n2\n0\n>\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nlub (\n)\n2\n2\n0\n>\nx\nPonieważ z założenia wynika, że\n≠\nx\ny , więc\n2\n2\n≠\nx\n, a to oznacza, że każda z otrzymanych\nnierówności jest prawdziwa.\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nRozpatrzmy nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw trzech przypadkach.\nI. Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, np. gdy\n0\nx\n. Wtedy nierówność\nprzyjmuje postać\n2\n2\n4\n0\n>\ny\nTa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y.\nII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n<\nxy\n. Wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nwszystkie składniki są dodatnie, więc nierówność jest\nprawdziwa.\nIII. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy\n0\n>\nxy\n. Wtedy, dzieląc obie strony\nnierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nprzez xy , otrzymujemy nierówność równoważną\n4\n2\n2\n8\n0\n>\nx\ny\nxy\ny\nx\nxy\n,\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n4\n4\n2\n2\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\n,\n2\n2\n2\n2\n0\n\n\n\n\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nPonieważ z założenia\n≠\nx\ny , więc\n1\n≠\nx\ny\n, zatem\n≠\nx\ny\ny\nx\n, co oznacza, że\n2\n0\n\n\n\n\n>\n\n\n\n\nx\ny\ny\nx\nStąd i z tego, że\n2\n2\n0\n\n\n\n\n≥\n\n\n\n\nxy\nxy\nwynika prawdziwość otrzymanej nierówności.\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nI. Gdy\n0\nxy ≤\n, to wtedy po lewej stronie nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\ncztery\npierwsze składniki są nieujemne, piąty jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa.\nII. Gdy\n0\nxy >\n, wtedy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb\ndodatnich\n2\n2\nx y ,\n2\n2x ,\n2\n2y i 4 otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n2\n4\n16\n2\n4\nx y\nx\ny\nx y\nx\ny\nx y\nxy\n≥\n⋅\n⋅\n⋅\n,\nskąd\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n≥\nRówność miałaby miejsce tylko wtedy, gdyby\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\nx y\nx\ny\n, a więc gdyby\n2\n2\nx\ny\n,\nco wobec nierówności\n0\nxy >\noznaczałoby x\ny\n, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n8\nx y\nx\ny\nxy\n>\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nI sposób rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\nxy\nx\ny\n>\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie, uwzględniające założenie, że x\ny\n≠\nII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n0\n⋅+\n>\ny\nx\ny x\ny\n, obliczy wyróżnik\ntrójmianu kwadratowego (\n)\n2\n2\n2\n2\n8\n2\n4\n⋅+\ny\nx\ny x\ny\n, np.:\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\nΔ\n8\n4\n2\n2\n4\ny\ny\ny\n-⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że wyróżnik\n(\n)\n2\n2\nΔ\n8\n2\ny\njest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej\ny, ale nie rozpatrzy przypadku, gdy\n2\n2\ny\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności w I i w II przypadku i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze nierówność w postaci\n4\n2\n8\n0\n\n\n>\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nxy\nxy\ny\nx\nw przypadku, gdy\n0\n>\nxy\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.\nZdający wykaże prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n8\n4\n0\nx y\nx\ny\nxy\n>\nw I przypadku\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający uzasadni, że gdy\n0\nxy >\n, to prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nx y\nx\ny\nxy\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
7.
Maks. liczba pkt
2
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność. x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego
\n

mnożenia na (a ±b)2 oraz a2 - b2 (2.1).
Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia
wymierne (R2.6).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy nierówność równoważnie:
2
2
2
2
4
4
2
4
2
0
x y
xy
x
xy
y

\n
\n

,
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
0
xy
x
xy
y

\n
\n

,
(
)
(
)
2
2
2
2
0
xy
x
y

\n
\n

Ponieważ x
y
≠
, więc (
)
2
0
x
y

\n
\n

. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby
nieujemnej (
)
2
2
xy -
oraz liczby dodatniej (
)
2
2 x
y
, a więc jest dodatnia.
To kończy dowód.
II sposób
Zapiszmy nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

w postaci równoważnej
(
)
2
2
2
2
8
2
4
0
⋅+

\n
\n

y
x
y x
y
Ponieważ
2
2
0

\n
\n

y
dla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę
nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y
i parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego
(
)
2
2
2
2
8
2
4
⋅+
y
x
y x
y
zmiennej x jest ujemny.
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
Δ
8
4
2
2
4
64
8
2
-⋅
⋅
y
y
y
y
y
(
)
(
)
(
)
2
2
4
2
4
2
2
8 8
4
4
8
4
4
8
2
y
y
y
y
y
y
Dla każdej liczby rzeczywistej y, takiej, że
2
2
≠
y
wyróżnik jest ujemy. Gdy
2
2
y
, to
wówczas nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

ma postać
2
4
8 2
8
0

\n
\n

x
x
lub
2
4
8 2
8
0

\n
\n

x
x
2
2 2
2
0

\n
\n

x
x
lub
2
2 2
2
0

\n
\n

x
x
,
(
)
2
2
0

\n
\n

x
lub (
)
2
2
0

\n
\n

x
Ponieważ z założenia wynika, że
≠
x
y , więc
2
2
≠
x
, a to oznacza, że każda z otrzymanych
nierówności jest prawdziwa.
To kończy dowód.
III sposób
Rozpatrzmy nierówność
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

w trzech przypadkach.
I. Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, np. gdy
0
x
. Wtedy nierówność
przyjmuje postać
2
2
4
0

\n
\n

y
Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y.
II. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy
0
<
xy
. Wtedy po lewej stronie nierówności
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

wszystkie składniki są dodatnie, więc nierówność jest
prawdziwa.
III. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy
0

\n
\n

xy
. Wtedy, dzieląc obie strony
nierówności
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

przez xy , otrzymujemy nierówność równoważną
4
2
2
8
0

\n
\n

x
y
xy
y
x
xy
,
4
2
8
0

\n
\n







x
y
xy
xy
y
x
,
4
4
2
2
0

\n
\n







x
y
xy
xy
y
x
,
2
2
2
2
0







\n
\n









x
y
xy
xy
y
x
Ponieważ z założenia
≠
x
y , więc
1
≠
x
y
, zatem
≠
x
y
y
x
, co oznacza, że
2
0



\n
\n





x
y
y
x
Stąd i z tego, że
2
2
0




≥




xy
xy
wynika prawdziwość otrzymanej nierówności.
To kończy dowód.
IV sposób
I. Gdy
0
xy ≤
, to wtedy po lewej stronie nierówności
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

cztery
pierwsze składniki są nieujemne, piąty jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa.
II. Gdy
0
xy >
, wtedy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb
dodatnich
2
2
x y ,
2
2x ,
2
2y i 4 otrzymujemy
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
4
2
2
4
16
2
4
x y
x
y
x y
x
y
x y
xy
≥
⋅
⋅
⋅
,
skąd
2
2
2
2
2
2
4
8
x y
x
y
xy
≥
Równość miałaby miejsce tylko wtedy, gdyby
2
2
2
2
2
2
4
x y
x
y
, a więc gdyby
2
2
x
y
,
co wobec nierówności
0
xy >
oznaczałoby x
y
, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem
2
2
2
2
2
2
4
8
x y
x
y
xy

\n
\n

,
czyli
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

To kończy dowód.
Schemat punktowania
I sposób rozwiązania
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zapisze nierówność w postaci (
)
(
)
2
2
2
2
0
xy
x
y

\n
\n

i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie, uwzględniające założenie, że x
y
≠
II sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.
Zdający zapisze nierówność w postaci (
)
2
2
2
2
8
2
4
0
⋅+

\n
\n

y
x
y x
y
, obliczy wyróżnik
trójmianu kwadratowego (
)
2
2
2
2
8
2
4
⋅+
y
x
y x
y
, np.:
(
)
(
) (
)
2
2
2
Δ
8
4
2
2
4
y
y
y
-⋅
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający uzasadni, że wyróżnik
(
)
2
2
Δ
8
2
y
jest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej
y, ale nie rozpatrzy przypadku, gdy
2
2
y
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
III sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.
Zdający wykaże prawdziwość nierówności w I i w II przypadku i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zapisze nierówność w postaci
4
2
8
0

\n
\n







x
y
xy
xy
y
x
w przypadku, gdy
0

\n
\n

xy
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
IV sposób rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 1 p.
Zdający wykaże prawdziwość nierówności
2
2
2
2
2
2
8
4
0
x y
x
y
xy

\n
\n

w I przypadku
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający uzasadni, że gdy
0
xy >
, to prawdziwa jest nierówność
2
2
2
2
2
2
4
2
4
x y
x
y
xy
≥
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}