Zadanie 9. (0-4)
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę
tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna π ,
równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości
równej 8
27 objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S
kuli od płaszczyzny π , tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem
płaszczyzny π .
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
9.
Maks. liczba pkt
3
4
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna π, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej 8/27 objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny π, tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem płaszczyzny π.
Zadanie 9. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną. (R9.2).
\nwykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności
(R7.4).
G10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G10.7).
Przykładowe rozwiązanie
Niech K będzie środkiem odcinka BC, a M i O spodkami wysokości trójkąta AKD
opuszczonymi z wierzchołków A i D. Płaszczyzny AKD i ABC są prostopadłe, bo prosta BC
jest prostopadła do płaszczyzny AKD.
Niech T będzie punktem wspólnym wysokości AM i DO. Odległości punktu T od prostych AK
i DK są równe, bo AK
DK
. Są to też odległości punktu T od płaszczyzn ABC i BCD. Ten
sam punkt T otrzymamy rozpatrując trójkąt LCD, gdzie L jest środkiem odcinka AB lub
trójkąt ŁBD, gdzie Ł jest środkiem odcinka AC. Wynika stąd, że odległość punktu T od każdej
ściany czworościanu ABCD jest taka sama. Wobec tego S
T
Niech H oznacza wysokość czworościanu, h wysokość ściany czworościanu, a R - promień
kuli, o której mowa w treści zadania. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku.
Wyznaczymy wysokość H czworościanu.
Odcinki AK i DK to wysokości przystających trójkątów równobocznych ABC i BCD o boku
długości 6, więc
6 3
3 3
2
AK
DK
Spodek O wysokości DO czworościanu jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, więc
1
3
3
KO
AK
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOK otrzymujemy
2
2
2
DO
KO
DK
,
(
)
(
)
2
2
2
3
3 3
H
Stąd
(
)
(
)
2
2
2
3 3
3
H
,
2 6
H
Wyznaczamy odległość d środka S kuli od płaszczyzny π .
A
C
B
D
S
M
O
K
R
H
R
6
6
6
L
I sposób
Niech P będzie punktem, w którym wysokość DO przebija płaszczyznę π. Ponieważ
płaszczyzna π jest równoległa do płaszczyzny ściany ABC, więc czworościan odcięty tą
płaszczyzną od czworościanu ABCD jest podobny do czworościanu ABCD, a skala tego
podobieństwa jest równa 3 8
2
27
3
. Wynika stąd, że płaszczyzna π przecina wysokość DK
ściany bocznej BCD w takim punkcie
′
M , że
2
3
′ =
DM
DK .
To oznacza
′ =
M
M .
Trójkąty DOK, DPM, MPS są podobne, ponieważ para trójkątów prostokątnych DOK, DPM
ma jeden kąt ostry wspólny oraz para trójkątów prostokątnych DPM, MPS ma jeden kąt ostry
wspólny. Zatem
Stąd
DP
DO
MP
MP
OK
PS
, czyli
2
3
3
H
MP
H
MP
d
Stąd
2
3
3
MP =
oraz
2
3
2 6
3
3
d
Zatem
6
6
d
A
π
D
M
O
K
H
R
P
d
S R
II sposób
Obliczymy najpierw promień R kuli.
Trójkąty DOK i DMS są podobne, ponieważ są prostokątne i mają jeden kąt ostry wspólny.
Zatem
SM
KO
DS
DK . Stąd
1
1
3
3
h
R
H
R
h
,
3R
H
R
,
4R
H
1
4
R
H
Ponieważ
2 6
H
, więc
2 6
6
4
2
R =
Płaszczyzna π odcina czworościan podobny do czworościanu ABCD w skali 2
3 , więc
2
3
DP
H
, skąd
1
1
2
2 6
6
3
3
3
OP
H
⋅
Odległość punktu S od płaszczyzny π jest więc równa
1
2 6
6
6
3
3
2
6
d
H
R
Uwaga
Możemy najpierw wyznaczyć wielkości R i OP w zależności od H, potem wyznaczyć
szukaną odległość d w zależności od H, a następnie obliczyć H i w rezultacie d:
1
4
R
H
,
1
3
OP
H
,
więc
6
1
1
1
1
3
4
12
12
6
2 6
d
H
H
H
⋅
A
π
D
M
O
K
H
R
P
d
S R
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający:
• obliczy wysokość czworościanu ABCD:
2 6
H
albo
• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu
ABCD do czworościanu ABCD:
2
3
s
,
albo
• zapisze zależność między promieniem R kuli, wysokością H czworościanu ABCD
i wysokością h ściany czworościanu, np.:
1
3 h
R
H
R
h
,
albo
• zapisze zależność między R, objętością V czworościanu ABCD polem
cP powierzchni
całkowitej czworościanu ABCD, np.:
3
c
V
R
P
,
albo
• poprawnie interpretuje wielkość d, np. pisząc d
H
PD
R
lub zaznaczając d na
rysunku
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający:
• obliczy wysokość H czworościanu ABCD oraz skalę s podobieństwa czworościanu
odciętego płaszczyzną π od czworościanu ABCD do czworościanu ABCD:
2 6
H
,
2
3
s
albo
• obliczy wysokość H czworościanu ABCD oraz obliczy promień R kuli:
2 6
H
,
6
2
R =
,
albo
• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu
ABCD do czworościanu ABCD oraz promień R kuli :
2
3
s
,
6
2
R =
,
albo
• obliczy skalę s podobieństwa czworościanu odciętego płaszczyzną π od czworościanu
ABCD do czworościanu ABCD oraz wyznaczy promień R kuli w zależności od H :
2
3
s
,
1
4
R
H
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
• obliczy wysokość H czworościanu ABCD, wysokość czworościanu odciętego
płaszczyzną π od czworościanu ABCD do czworościanu ABCD oraz promień R kuli:
2 6
H
,
4
6
3
DP =
,
6
2
R =
,
albo
• wyznaczy szukaną odległość d w zależności od wysokości H czworościanu ABCD,
np.:
1
1
3
4
d
H
H
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy odległość punktu S od płaszczyzny π:
6
6
d