{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n8\n2\n5 16-\n⋅\njest równa\nA.\n8\n5\n2\n\n\n\n\n\n\nB.\n5\n2\nC.\n8\n10\nD. 10","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (4)\n\n## Sposób 1 - Od środka na zewnątrz (kolejność działań)\n\nWyrażenie \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big|\\) ma zagnieżdżone wartości bezwzględne - zaczynamy od **najbardziej wewnętrznych** nawiasów.\n\n**Krok 1:** Oblicz wyrażenia wewnątrz każdej wartości bezwzględnej:\n\\[9 - 2 = 7 \\qquad 4 - 7 = -3\\]\n\n**Krok 2:** Zastosuj wartość bezwzględną do każdego z nich:\n\\[|9 - 2| = |7| = 7 \\qquad |4 - 7| = |-3| = 3\\]\n\n**Krok 3:** Odejmij wyniki:\n\\[|9-2| - |4-7| = 7 - 3 = 4\\]\n\n**Krok 4:** Zastosuj zewnętrzną wartość bezwzględną:\n\\[\\big|7 - 3\\big| = |4| = \\mathbf{4}\\]\n\n**Wynik: \\(4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład z definicji\n\nSprawdzamy, że na każdym etapie stosujemy definicję poprawnie: \\(|x| = x\\) gdy \\(x \\geq 0\\), oraz \\(|x| = -x\\) gdy \\(x < 0\\).\n\n- \\(9 - 2 = 7 > 0\\), więc \\(|7| = 7\\) ✓\n- \\(4 - 7 = -3 < 0\\), więc \\(|-3| = -(-3) = 3\\) ✓\n- \\(7 - 3 = 4 > 0\\), więc \\(|4| = 4\\) ✓\n\nWynik potwierdza: \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big| = 4\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nUżyliśmy jej w Kroku 2 (do \\(|-3| = 3\\)) i w Kroku 4 (do \\(|4| = 4\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(10\\)) | Dodano zamiast odjąć: \\(7 + 3 = 10\\) - pominięto znak minus między wartościami bezwzględnymi |\n| C (\\(-10\\)) | Jak wyżej, a dodatkowo zignorowano zewnętrzną wartość bezwzględną: \\(-(7+3) = -10\\) |\n| D (\\(-4\\)) | Poprawnie obliczono \\(7 - 3 = 4\\), ale **zignorowano zewnętrzną** \\(|\\cdot|\\) i przyjęto \\(-4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna **zawsze daje wynik nieujemny** - odpowiedzi C i D (\\(-10\\), \\(-4\\)) można od razu odrzucić, bo \\(|\\ldots| \\geq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zagnieżdżone wartości bezwzględne rozwijamy **od środka na zewnątrz** - najpierw liczymy to, co jest najgłębiej w nawiasach, dopiero potem zewnętrzną \\(|\\cdot|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|4 - 7| \\neq |4| - |7|\\) - wartość bezwzględna różnicy to **nie** różnica wartości bezwzględnych! Zawsze najpierw licz różnicę, potem bierz \\(|\\cdot|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku\nLiczymy wnętrza wartości bezwzględnych:\n- \\(|9-2| = |7| = 7\\),\n- \\(|4-7| = |-3| = 3\\).\n\nZatem:\n\\[\\big||9-2|-|4-7|\\big| = |7 - 3| = |4| = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Pamiętaj: \\(|a|\\) jest zawsze nieujemne\nSkoro wynik jest wartością bezwzględną, musi być \\(\\geq 0\\). Wyklucza to od razu C i D.\nObliczamy różnicę \\(7-3 = 4\\) - odpowiedź A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(10\\)** - błąd: zsumowano \\(7+3\\) zamiast odjąć.\n- **C. \\(-10\\)** - błąd jak w B + zaniedbanie zewnętrznej wartości bezwzględnej.\n- **D. \\(-4\\)** - pominięto zewnętrzną wartość bezwzględną (wynik musi być \\(\\geq 0\\)).\n\n**Trik:** zewnętrzny moduł **zawsze** daje liczbę nieujemną - błyskawicznie odrzuć odpowiedzi ujemne.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (1 pkt)<br>Liczba<br>8<br>2<br>5 16-<br>⋅<br>jest równa<br>A.<br>8<br>5<br>2<br><br><br><br><br><br><br>B.<br>5<br>2<br>C.<br>8<br>10<br>D. 10</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>Poprawna<br>odp. (1 p.)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi</li></ol>\n<p>o wykładnikach wymiernych oraz stosuje<br>prawa działań na potęgach o wykładnikach<br>wymiernych i rzeczywistych (1.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (4)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Od środka na zewnątrz (kolejność działań)</h4>\n<p>Wyrażenie \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big|\\) ma zagnieżdżone wartości bezwzględne - zaczynamy od <strong>najbardziej wewnętrznych</strong> nawiasów.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Oblicz wyrażenia wewnątrz każdej wartości bezwzględnej:<br>\\[9 - 2 = 7 \\qquad 4 - 7 = -3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Zastosuj wartość bezwzględną do każdego z nich:<br>\\[|9 - 2| = |7| = 7 \\qquad |4 - 7| = |-3| = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Odejmij wyniki:<br>\\[|9-2| - |4-7| = 7 - 3 = 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Zastosuj zewnętrzną wartość bezwzględną:<br>\\[\\big|7 - 3\\big| = |4| = \\mathbf{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(4\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład z definicji</h4>\n<p>Sprawdzamy, że na każdym etapie stosujemy definicję poprawnie: \\(|x| = x\\) gdy \\(x \\geq 0\\), oraz \\(|x| = -x\\) gdy \\(x &lt; 0\\).</p>\n<ul><li>\\(9 - 2 = 7 &gt; 0\\), więc \\(|7| = 7\\) ✓</li><li>\\(4 - 7 = -3 &lt; 0\\), więc \\(|-3| = -(-3) = 3\\) ✓</li><li>\\(7 - 3 = 4 &gt; 0\\), więc \\(|4| = 4\\) ✓</li></ul>\n<p>Wynik potwierdza: \\(\\big||9-2|-|4-7|\\big| = 4\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)</strong> - definicja:<br>\\[|x| = \\begin{cases} x &amp; \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x &amp; \\text{dla } x &lt; 0 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej w Kroku 2 (do \\(|-3| = 3\\)) i w Kroku 4 (do \\(|4| = 4\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B (\\(10\\)) | Dodano zamiast odjąć: \\(7 + 3 = 10\\) - pominięto znak minus między wartościami bezwzględnymi |<br>| C (\\(-10\\)) | Jak wyżej, a dodatkowo zignorowano zewnętrzną wartość bezwzględną: \\(-(7+3) = -10\\) |<br>| D (\\(-4\\)) | Poprawnie obliczono \\(7 - 3 = 4\\), ale <strong>zignorowano zewnętrzną</strong> \\(|\\cdot|\\) i przyjęto \\(-4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość bezwzględna <strong>zawsze daje wynik nieujemny</strong> - odpowiedzi C i D (\\(-10\\), \\(-4\\)) można od razu odrzucić, bo \\(|\\ldots| \\geq 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zagnieżdżone wartości bezwzględne rozwijamy <strong>od środka na zewnątrz</strong> - najpierw liczymy to, co jest najgłębiej w nawiasach, dopiero potem zewnętrzną \\(|\\cdot|\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(|4 - 7| \\neq |4| - |7|\\) - wartość bezwzględna różnicy to <strong>nie</strong> różnica wartości bezwzględnych! Zawsze najpierw licz różnicę, potem bierz \\(|\\cdot|\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku</h5>\n<p>Liczymy wnętrza wartości bezwzględnych:</p>\n<ul><li>\\(|9-2| = |7| = 7\\),</li><li>\\(|4-7| = |-3| = 3\\).</li></ul>\n<p>Zatem:<br>\\[\\big||9-2|-|4-7|\\big| = |7 - 3| = |4| = 4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Pamiętaj: \\(|a|\\) jest zawsze nieujemne</h5>\n<p>Skoro wynik jest wartością bezwzględną, musi być \\(\\geq 0\\). Wyklucza to od razu C i D.<br>Obliczamy różnicę \\(7-3 = 4\\) - odpowiedź A.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(10\\)</strong> - błąd: zsumowano \\(7+3\\) zamiast odjąć.</li><li><strong>C. \\(-10\\)</strong> - błąd jak w B + zaniedbanie zewnętrznej wartości bezwzględnej.</li><li><strong>D. \\(-4\\)</strong> - pominięto zewnętrzną wartość bezwzględną (wynik musi być \\(\\geq 0\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zewnętrzny moduł <strong>zawsze</strong> daje liczbę nieujemną - błyskawicznie odrzuć odpowiedzi ujemne.</p>"}]}