{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej\n( )\n2\nf x\nax\nbx\nc\n,\no miejscach zerowych: 3\n- i 1.\nWspółczynnik c we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nkwadratowej (4.i).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n**b < 0, c > 0**\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt na osi OY i wierzchołek\n\nZ rysunku odczytujemy dwa fakty:\n\n**Fakt 1: Parabola przecina oś OY powyżej początku układu.**\n\nWartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c\\]\n\nSkoro wykres przecina oś OY powyżej \\((0, 0)\\), to \\(f(0) > 0\\), czyli:\n\\[\\boxed{c > 0}\\]\n\n**Fakt 2: Wierzchołek paraboli leży w IV ćwiartce (x > 0, y < 0).**\n\nOś symetrii paraboli wyznacza x-współrzędną wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -\\frac{b}{2}\\]\n\nSkoro wierzchołek jest po prawej stronie osi OY, to \\(p > 0\\):\n\\[-\\frac{b}{2} > 0 \\implies b < 0\\]\n\n\\[\\boxed{b < 0}\\]\n\n**Wniosek:** \\(b < 0\\) i \\(c > 0\\) - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Analiza przez miejsca zerowe i wzory Viète'a\n\nZ wykresu wynika, że:\n- \\(f(0) = c > 0\\) (parabola jest powyżej osi OX w punkcie \\(x = 0\\))\n- Wierzchołek leży poniżej osi OX (\\(y_W < 0\\))\n\nSkoro parabola otwiera się ku górze, jest dodatnia przy \\(x = 0\\), a w wierzchołku jest ujemna - **musi przecinać oś OX w dwóch punktach**, obydwu po prawej stronie osi OY (bo przy \\(x = 0\\) jest jeszcze dodatnia, a minimum jest na prawo od OY).\n\nOznacza to, że oba pierwiastki \\(x_1, x_2 > 0\\).\n\nStosujemy wzory Viète'a (dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\), czyli \\(a = 1\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b\\]\n\nSkoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to suma jest dodatnia:\n\\[-b > 0 \\implies b < 0\\]\n\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c\\]\n\nSkoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to iloczyn jest dodatni:\n\\[c > 0\\]\n\nWynik: \\(b < 0\\), \\(c > 0\\) - odpowiedź **A**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia znaku \\(b\\) z położenia wierzchołka.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia znaków \\(b\\) i \\(c\\) przez analizę pierwiastków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Uczeń poprawnie widzi \\(b < 0\\), ale myli kierunek przecięcia osi OY - zakłada, że wierzchołek w IV ćwiartce oznacza \\(c < 0\\). Tymczasem \\(c = f(0)\\) to wartość wykresu przy \\(x = 0\\), niezależna od wierzchołka. |\n| **C** | Uczeń myli stronę osi symetrii - widzi wierzchołek po prawej stronie i błędnie wnioskuje \\(b > 0\\). Wzór \\(p = -b/2\\): jeśli \\(p > 0\\), to \\(b\\) musi być ujemne. |\n| **D** | Podwójny błąd - uczeń odwraca znak zarówno \\(b\\) (błąd osi symetrii), jak i \\(c\\) (błędny odczyt przecięcia z OY). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Wierzchołek po **prawej** stronie (\\(p > 0\\)) oznacza \\(b < 0\\) - minus przed ułamkiem! Uczniowie nagminnie zapominają o tym minusie i wnioskują odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(c\\) to **zawsze** \\(f(0)\\) - dosłownie miejsce, gdzie parabola przecina oś OY. Nie mylić z y-współrzędną wierzchołka! Wierzchołek może być w IV ćwiartce (\\(y_W < 0\\)), a jednocześnie \\(c = f(0) > 0\\) - i właśnie taka sytuacja jest na tym rysunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze dwa fakty osobno: (1) gdzie parabola przecina OY → to daje znak \\(c\\); (2) po której stronie OY jest wierzchołek → to daje znak \\(b\\). Nie mylić tych dwóch informacji ze sobą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza wykresu (miejsca zerowe dodatnie)\nZ rysunku: parabola ma ramiona do góry (\\(a=1>0\\)), oba miejsca zerowe \\(x_{1}, x_{2}\\) są **dodatnie** (na prawo od 0).\n\n**Współczynnik \\(c\\) = wartość \\(f(0)\\):** z rysunku parabola przecina oś \\(OY\\) powyżej \\(0\\) (wraca w górę przed dotknięciem osi). Czyli \\(c > 0\\).\n\nMożna to potwierdzić wzorami Viete'a (karta wzorów): \\(c = x_{1}\\cdot x_{2}\\). Oba dodatnie, więc \\(c > 0\\).\n\n**Współczynnik \\(b\\):** \\(-\\tfrac{b}{2a} = x_{w} > 0\\) (wierzchołek na prawo od osi \\(OY\\)). Z \\(a=1\\): \\(-\\tfrac{b}{2}>0 \\Rightarrow b<0\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viete'a\n\\[x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -b, \\quad x_{1}\\cdot x_{2} = \\dfrac{c}{a} = c.\\]\nOba pierwiastki dodatnie, więc:\n- suma \\(x_{1}+x_{2} > 0 \\Rightarrow -b > 0 \\Rightarrow b < 0\\);\n- iloczyn \\(x_{1}\\cdot x_{2} > 0 \\Rightarrow c > 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(c<0\\)** - oznaczałoby, że parabola przecina oś \\(OY\\) poniżej \\(0\\), czyli jeden pierwiastek ujemny (nie zgadza się z rysunkiem).\n- **C. \\(b>0\\)** - wtedy wierzchołek byłby w lewej półpłaszczyźnie (\\(x_{w}<0\\)).\n- **D.** - sprzeczne z rysunkiem w obu warunkach.\n\n**Trik:** \\(c = f(0)\\) - zawsze sprawdzaj, gdzie wykres przecina oś \\(OY\\). Znak \\(b\\) zależy od położenia wierzchołka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej
( )
2
f x
ax
bx
c
,
o miejscach zerowych: 3

\n\n

Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji
\n

kwadratowej (4.i).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

b < 0, c > 0

\n

Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt na osi OY i wierzchołek

\n

Z rysunku odczytujemy dwa fakty:

\n

Fakt 1: Parabola przecina oś OY powyżej początku układu.

\n

Wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\):
\\[f(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c\\]

\n

Skoro wykres przecina oś OY powyżej \\((0, 0)\\), to \\(f(0) > 0\\), czyli:
\\[\\boxed{c > 0}\\]

\n

Fakt 2: Wierzchołek paraboli leży w IV ćwiartce (x > 0, y < 0).

\n

Oś symetrii paraboli wyznacza x-współrzędną wierzchołka:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -\\frac{b}{2}\\]

\n

Skoro wierzchołek jest po prawej stronie osi OY, to \\(p > 0\\):
\\[-\\frac{b}{2} > 0 \\implies b < 0\\]

\n

\\[\\boxed{b < 0}\\]

\n

Wniosek: \\(b < 0\\) i \\(c > 0\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Analiza przez miejsca zerowe i wzory Viète'a

\n

Z wykresu wynika, że:

\n\n

Skoro parabola otwiera się ku górze, jest dodatnia przy \\(x = 0\\), a w wierzchołku jest ujemna - musi przecinać oś OX w dwóch punktach, obydwu po prawej stronie osi OY (bo przy \\(x = 0\\) jest jeszcze dodatnia, a minimum jest na prawo od OY).

\n

Oznacza to, że oba pierwiastki \\(x_1, x_2 > 0\\).

\n

Stosujemy wzory Viète'a (dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\), czyli \\(a = 1\\)):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b\\]

\n

Skoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to suma jest dodatnia:
\\[-b > 0 \\implies b < 0\\]

\n

\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c\\]

\n

Skoro \\(x_1 > 0\\) i \\(x_2 > 0\\), to iloczyn jest dodatni:
\\[c > 0\\]

\n

Wynik: \\(b < 0\\), \\(c > 0\\) - odpowiedź A. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędne wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia znaku \\(b\\) z położenia wierzchołka.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia znaków \\(b\\) i \\(c\\) przez analizę pierwiastków.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Uczeń poprawnie widzi \\(b < 0\\), ale myli kierunek przecięcia osi OY - zakłada, że wierzchołek w IV ćwiartce oznacza \\(c < 0\\). Tymczasem \\(c = f(0)\\) to wartość wykresu przy \\(x = 0\\), niezależna od wierzchołka. |
| C | Uczeń myli stronę osi symetrii - widzi wierzchołek po prawej stronie i błędnie wnioskuje \\(b > 0\\). Wzór \\(p = -b/2\\): jeśli \\(p > 0\\), to \\(b\\) musi być ujemne. |
| D | Podwójny błąd - uczeń odwraca znak zarówno \\(b\\) (błąd osi symetrii), jak i \\(c\\) (błędny odczyt przecięcia z OY). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na oś symetrii to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Wierzchołek po prawej stronie (\\(p > 0\\)) oznacza \\(b < 0\\) - minus przed ułamkiem! Uczniowie nagminnie zapominają o tym minusie i wnioskują odwrotnie.
\n
⚠️ Uwaga: Wartość \\(c\\) to zawsze \\(f(0)\\) - dosłownie miejsce, gdzie parabola przecina oś OY. Nie mylić z y-współrzędną wierzchołka! Wierzchołek może być w IV ćwiartce (\\(y_W < 0\\)), a jednocześnie \\(c = f(0) > 0\\) - i właśnie taka sytuacja jest na tym rysunku.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź zawsze dwa fakty osobno: (1) gdzie parabola przecina OY → to daje znak \\(c\\); (2) po której stronie OY jest wierzchołek → to daje znak \\(b\\). Nie mylić tych dwóch informacji ze sobą.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Analiza wykresu (miejsca zerowe dodatnie)
\n

Z rysunku: parabola ma ramiona do góry (\\(a=1>0\\)), oba miejsca zerowe \\(x_{1}, x_{2}\\) są dodatnie (na prawo od 0).

\n

Współczynnik \\(c\\) = wartość \\(f(0)\\): z rysunku parabola przecina oś \\(OY\\) powyżej \\(0\\) (wraca w górę przed dotknięciem osi). Czyli \\(c > 0\\).

\n

Można to potwierdzić wzorami Viete'a (karta wzorów): \\(c = x_{1}\\cdot x_{2}\\). Oba dodatnie, więc \\(c > 0\\).

\n

Współczynnik \\(b\\): \\(-\\tfrac{b}{2a} = x_{w} > 0\\) (wierzchołek na prawo od osi \\(OY\\)). Z \\(a=1\\): \\(-\\tfrac{b}{2}>0 \\Rightarrow b<0\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viete'a
\n

\\[x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -b, \\quad x_{1}\\cdot x_{2} = \\dfrac{c}{a} = c.\\]
Oba pierwiastki dodatnie, więc:

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(c = f(0)\\) - zawsze sprawdzaj, gdzie wykres przecina oś \\(OY\\). Znak \\(b\\) zależy od położenia wierzchołka.

"}]}