{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem\n( )\nx\nf x\na\n. Punkt\n(\n)\n1, 2\nA =\nnależy do tego wykresu funkcji.\nPodstawa a potęgi jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n2\nD. 2\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza wykresy\nfunkcji wykładniczych dla różnych podstaw\ni rozwiązuje zadania umieszczone\nw kontekście praktycznym (4.n).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(n = 12\\))\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: wyznaczamy różnicę ciągu.**\n\nZ definicji ciągu arytmetycznego:\n\\[r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\\]\n\n**Krok 2: zapisujemy wzór ogólny.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 2 + (n-1) \\cdot 7\\]\n\n**Krok 3: szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 79\\).**\n\n\\[2 + (n-1) \\cdot 7 = 79\\]\n\\[(n-1) \\cdot 7 = 77\\]\n\\[n - 1 = 11\\]\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja i podejście \"zliczanie kroków\"\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy, czy \\(a_{12} = 79\\):\n\\[a_{12} = 2 + (12-1) \\cdot 7 = 2 + 11 \\cdot 7 = 2 + 77 = 79 \\checkmark\\]\n\n**Alternatywnie - zliczanie kroków:**\n\nPytamy: ile razy musimy dodać \\(r = 7\\), żeby dojść od \\(a_1 = 2\\) do \\(79\\)?\n\n\\[79 - 2 = 77, \\qquad \\frac{77}{7} = 11 \\text{ kroków}\\]\n\nKażdy krok to jeden następny wyraz - **11 kroków od pierwszego wyrazu** oznacza wyraz **12.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\ngdzie \\(a_1\\) - pierwszy wyraz, \\(r\\) - różnica ciągu.\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(n\\) po podstawieniu \\(a_n = 79\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(n=10\\)) | Policzono \\(\\frac{79}{7} \\approx 11\\) i zaokrąglono w dół, ignorując \\(a_1 = 2\\) |\n| B (\\(n=11\\)) | Poprawnie wyliczono 11 kroków, ale utożsamiono liczbę kroków z numerem wyrazu (o 1 za mało) |\n| D (\\(n=13\\)) | Podobny błąd co w B - o 1 za dużo, np. pomyłka w przekształceniu \\(n - 1 = 11 \\Rightarrow n = 12\\) zapisana jako \\(n = 13\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków ≠ numer wyrazu! Żeby dojść do \\(a_n\\), wykonujemy \\(n-1\\) dodań różnicy - nie \\(n\\). To najpopularniejszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę wyznaczaj zawsze jako \\(r = a_2 - a_1\\), nie \\(a_1 - a_2\\). Pomylenie kolejności zmienia znak i cały wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować wynik - podstaw obliczone \\(n\\) do wzoru i sprawdź, czy dostaniesz \\(79\\). Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\))\nRóżnica ciągu: \\(r = a_{2} - a_{1} = 9 - 2 = 7\\).\n\nPodstawiamy do wzoru:\n\\[a_{n} = 2 + (n-1)\\cdot 7 = 79,\\]\n\\[(n-1)\\cdot 7 = 77,\\]\n\\[n - 1 = 11,\\]\n\\[n = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczenie wyrazów\nCiąg: \\(2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79\\). \\(79\\) jest \\(12\\)-tym wyrazem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(n=10\\):** \\(a_{10} = 2 + 9\\cdot 7 = 65\\), nie \\(79\\).\n- **B. \\(n=11\\):** \\(a_{11} = 2 + 10\\cdot 7 = 72\\).\n- **D. \\(n=13\\):** \\(a_{13} = 2 + 12\\cdot 7 = 86\\).\n\n**Trik:** We wzorze \\(a_{n} = a_{1}+(n-1)r\\) uważaj na \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - to najczęstsza pułapka.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem
( )
x
f x
a
. Punkt
(
)
1, 2
A =
należy do tego wykresu funkcji.
Podstawa a potęgi jest równa
A.
1
2
B.
1
2
C.
2
D. 2

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający sporządza wykresy
\n

funkcji wykładniczych dla różnych podstaw
i rozwiązuje zadania umieszczone
w kontekście praktycznym (4.n).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (\\(n = 12\\))

\n

Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

\n

Krok 1: wyznaczamy różnicę ciągu.

\n

Z definicji ciągu arytmetycznego:
\\[r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\\]

\n

Krok 2: zapisujemy wzór ogólny.

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 2 + (n-1) \\cdot 7\\]

\n

Krok 3: szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 79\\).

\n

\\[2 + (n-1) \\cdot 7 = 79\\]
\\[(n-1) \\cdot 7 = 77\\]
\\[n - 1 = 11\\]
\\[\\boxed{n = 12}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja i podejście "zliczanie kroków"

\n

Weryfikacja: Sprawdzamy, czy \\(a_{12} = 79\\):
\\[a_{12} = 2 + (12-1) \\cdot 7 = 2 + 11 \\cdot 7 = 2 + 77 = 79 \\checkmark\\]

\n

Alternatywnie - zliczanie kroków:

\n

Pytamy: ile razy musimy dodać \\(r = 7\\), żeby dojść od \\(a_1 = 2\\) do \\(79\\)?

\n

\\[79 - 2 = 77, \\qquad \\frac{77}{7} = 11 \\text{ kroków}\\]

\n

Każdy krok to jeden następny wyraz - 11 kroków od pierwszego wyrazu oznacza wyraz 12.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
gdzie \\(a_1\\) - pierwszy wyraz, \\(r\\) - różnica ciągu.

\n

Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(n\\) po podstawieniu \\(a_n = 79\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(n=10\\)) | Policzono \\(\\frac{79}{7} \\approx 11\\) i zaokrąglono w dół, ignorując \\(a_1 = 2\\) |
| B (\\(n=11\\)) | Poprawnie wyliczono 11 kroków, ale utożsamiono liczbę kroków z numerem wyrazu (o 1 za mało) |
| D (\\(n=13\\)) | Podobny błąd co w B - o 1 za dużo, np. pomyłka w przekształceniu \\(n - 1 = 11 \\Rightarrow n = 12\\) zapisana jako \\(n = 13\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Liczba kroków ≠ numer wyrazu! Żeby dojść do \\(a_n\\), wykonujemy \\(n-1\\) dodań różnicy - nie \\(n\\). To najpopularniejszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Różnicę wyznaczaj zawsze jako \\(r = a_2 - a_1\\), nie \\(a_1 - a_2\\). Pomylenie kolejności zmienia znak i cały wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze warto zweryfikować wynik - podstaw obliczone \\(n\\) do wzoru i sprawdź, czy dostaniesz \\(79\\). Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\))
\n

Różnica ciągu: \\(r = a_{2} - a_{1} = 9 - 2 = 7\\).

\n

Podstawiamy do wzoru:
\\[a_{n} = 2 + (n-1)\\cdot 7 = 79,\\]
\\[(n-1)\\cdot 7 = 77,\\]
\\[n - 1 = 11,\\]
\\[n = 12.\\]

\n
Sposób 2 - Liczenie wyrazów
\n

Ciąg: \\(2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79\\). \\(79\\) jest \\(12\\)-tym wyrazem.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: We wzorze \\(a_{n} = a_{1}+(n-1)r\\) uważaj na \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - to najczęstsza pułapka.

"}]}