{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są:\n1\n5\na =\n,\n2\n11\na =\n. Wtedy\nA.\n14\n71\na\nB.\n12\n71\na\nC.\n11\n71\na =\nD.\n10\n71\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu środkowego równa się iloczynowi jego sąsiadów:\n\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla naszego ciągu \\((81,\\ 3x,\\ 4)\\) środkowym wyrazem jest \\(3x\\), a jego sąsiadami są \\(81\\) i \\(4\\). Zatem:\n\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]\n\\[9x^2 = 324\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nPonieważ wyrazy ciągu mają być **dodatnie**, sprawdzamy:\n- \\(x = 6\\): wyrazy to \\(81, 18, 4\\) - wszystkie dodatnie ✓\n- \\(x = -6\\): wyraz \\(3x = -18 < 0\\) - odpada ✗\n\n**Zatem \\(x = 6\\).**\n\n## Sposób 2 - ze stałego ilorazu\n\nW ciągu geometrycznym iloraz \\(q\\) jest stały, czyli:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{3x}{81} = \\frac{4}{3x}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(81 \\cdot 3x\\) (zakładamy \\(x \\neq 0\\)):\n\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]\n\\[9x^2 = 324\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad (\\text{bo wyrazy dodatnie})\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(x = 6\\) ciąg to \\((81, 18, 4)\\). Iloraz:\n\\[q = \\frac{18}{81} = \\frac{2}{9}, \\qquad \\frac{4}{18} = \\frac{2}{9} \\checkmark\\]\n\nIloraz stały - to rzeczywiście ciąg geometryczny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x = 18\\): uczeń może pomylić się i wziąć \\(3x = 54\\), sprawdzając np. \\(81 - 54 = 27\\), \\(54 - 4 = 50\\) (myślenie arytmetyczne zamiast geometrycznego). Albo po prostu zgaduje środek jako \\(\\frac{81+4}{2} \\approx 42\\). |\n| C | \\(x = \\frac{85}{6}\\): uczeń obliczył \\(3x = 81 + 4 = 85\\), czyli wzięł **średnią arytmetyczną** zamiast geometrycznej - klasyczne mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. |\n| D | \\(x = \\frac{6}{85}\\): to odwrotność odpowiedzi C - wynik pomylenia i dodatkowego odwrócenia ułamka. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wyrazy dodatnie\" eliminuje \\(x = -6\\). Bez tego warunku równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdzaj, czy wszystkie wyrazy spełniają założenia zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego to **średnia geometryczna** sąsiadów (\\(\\sqrt{a \\cdot b}\\)), NIE arytmetyczna (\\(\\frac{a+b}{2}\\)). To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz ciągu to \\(3x\\), nie \\(x\\) - łatwo zapomnieć i rozwiązywać \\(x^2 = 324\\) zamiast \\((3x)^2 = 324\\), otrzymując błędnie \\(x = 18\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej geometrycznej (karta wzorów)\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\):\n\\[(3x)^{2} = 81 \\cdot 4,\\]\n\\[9x^{2} = 324,\\]\n\\[x^{2} = 36,\\]\n\\[x = 6\\text{ lub } x = -6.\\]\n\nPonieważ ciąg ma wyrazy dodatnie, musi być \\(3x > 0\\), więc \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\), czyli \\(\\dfrac{3x}{81} = \\dfrac{4}{3x}\\).\n\n\\(9x^{2} = 81\\cdot 4 = 324 \\Rightarrow x^{2} = 36 \\Rightarrow x = 6\\) (dodatnie).\n\nSprawdzenie: ciąg \\((81, 18, 4)\\), iloraz \\(= \\tfrac{18}{81} = \\tfrac{2}{9}\\), a \\(\\tfrac{4}{18} = \\tfrac{2}{9}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=18\\)** - wtedy środkowy wyraz \\(3x = 54\\), ale \\(54^{2} = 2916 \\ne 324\\).\n- **C. \\(x=\\tfrac{85}{6}\\)** - pomyłka z ciągiem arytmetycznym: \\(3x = \\tfrac{81+4}{2} = \\tfrac{85}{2}\\) daje \\(x = \\tfrac{85}{6}\\).\n- **D. \\(x=\\tfrac{6}{85}\\)** - odwrotność błędu z C.\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego = pierwiastek z iloczynu sąsiadów (średnia geometryczna).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>W ciągu arytmetycznym (<br>)<br>na<br>, określonym dla<br>1<br>n ≥, dane są:<br>1<br>5<br>a =<br>,<br>2<br>11<br>a =<br>. Wtedy<br>A.<br>14<br>71<br>a<br>B.<br>12<br>71<br>a<br>C.<br>11<br>71<br>a =<br>D.<br>10<br>71<br>a</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na</li></ol>\n<p>n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów<br>ciągu arytmetycznego i ciągu<br>geometrycznego, również umieszczone<br>w kontekście praktycznym (5.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(x = 6\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu środkowego równa się iloczynowi jego sąsiadów:<br>\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]</p>\n<p>Dla naszego ciągu \\((81,\\ 3x,\\ 4)\\) środkowym wyrazem jest \\(3x\\), a jego sąsiadami są \\(81\\) i \\(4\\). Zatem:<br>\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]<br>\\[9x^2 = 324\\]<br>\\[x^2 = 36\\]<br>\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]</p>\n<p>Ponieważ wyrazy ciągu mają być <strong>dodatnie</strong>, sprawdzamy:</p>\n<ul><li>\\(x = 6\\): wyrazy to \\(81, 18, 4\\) - wszystkie dodatnie ✓</li><li>\\(x = -6\\): wyraz \\(3x = -18 &lt; 0\\) - odpada ✗</li></ul>\n<p><strong>Zatem \\(x = 6\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - ze stałego ilorazu</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym iloraz \\(q\\) jest stały, czyli:<br>\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\frac{3x}{81} = \\frac{4}{3x}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(81 \\cdot 3x\\) (zakładamy \\(x \\neq 0\\)):<br>\\[(3x)^2 = 81 \\cdot 4\\]<br>\\[9x^2 = 324\\]<br>\\[x^2 = 36\\]<br>\\[x = 6 \\quad (\\text{bo wyrazy dodatnie})\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla \\(x = 6\\) ciąg to \\((81, 18, 4)\\). Iloraz:<br>\\[q = \\frac{18}{81} = \\frac{2}{9}, \\qquad \\frac{4}{18} = \\frac{2}{9} \\checkmark\\]</p>\n<p>Iloraz stały - to rzeczywiście ciąg geometryczny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]<br>Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(x = 18\\): uczeń może pomylić się i wziąć \\(3x = 54\\), sprawdzając np. \\(81 - 54 = 27\\), \\(54 - 4 = 50\\) (myślenie arytmetyczne zamiast geometrycznego). Albo po prostu zgaduje środek jako \\(\\frac{81+4}{2} \\approx 42\\). |<br>| C | \\(x = \\frac{85}{6}\\): uczeń obliczył \\(3x = 81 + 4 = 85\\), czyli wzięł <strong>średnią arytmetyczną</strong> zamiast geometrycznej - klasyczne mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. |<br>| D | \\(x = \\frac{6}{85}\\): to odwrotność odpowiedzi C - wynik pomylenia i dodatkowego odwrócenia ułamka. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „wyrazy dodatnie&quot; eliminuje \\(x = -6\\). Bez tego warunku równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdzaj, czy wszystkie wyrazy spełniają założenia zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środkowy wyraz ciągu geometrycznego to <strong>średnia geometryczna</strong> sąsiadów (\\(\\sqrt{a \\cdot b}\\)), NIE arytmetyczna (\\(\\frac{a+b}{2}\\)). To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz ciągu to \\(3x\\), nie \\(x\\) - łatwo zapomnieć i rozwiązywać \\(x^2 = 324\\) zamiast \\((3x)^2 = 324\\), otrzymując błędnie \\(x = 18\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność średniej geometrycznej (karta wzorów)</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\):<br>\\[(3x)^{2} = 81 \\cdot 4,\\]<br>\\[9x^{2} = 324,\\]<br>\\[x^{2} = 36,\\]<br>\\[x = 6\\text{ lub } x = -6.\\]</p>\n<p>Ponieważ ciąg ma wyrazy dodatnie, musi być \\(3x &gt; 0\\), więc \\(x = 6\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego</h5>\n<p>\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\), czyli \\(\\dfrac{3x}{81} = \\dfrac{4}{3x}\\).</p>\n<p>\\(9x^{2} = 81\\cdot 4 = 324 \\Rightarrow x^{2} = 36 \\Rightarrow x = 6\\) (dodatnie).</p>\n<p>Sprawdzenie: ciąg \\((81, 18, 4)\\), iloraz \\(= \\tfrac{18}{81} = \\tfrac{2}{9}\\), a \\(\\tfrac{4}{18} = \\tfrac{2}{9}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(x=18\\)</strong> - wtedy środkowy wyraz \\(3x = 54\\), ale \\(54^{2} = 2916 \\ne 324\\).</li><li><strong>C. \\(x=\\tfrac{85}{6}\\)</strong> - pomyłka z ciągiem arytmetycznym: \\(3x = \\tfrac{81+4}{2} = \\tfrac{85}{2}\\) daje \\(x = \\tfrac{85}{6}\\).</li><li><strong>D. \\(x=\\tfrac{6}{85}\\)</strong> - odwrotność błędu z C.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Środkowy wyraz ciągu geometrycznego = pierwiastek z iloczynu sąsiadów (średnia geometryczna).</p>"}]}