{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (\n)\n24, 6,\n1\na -\n. Stąd wynika, że\nA.\n5\n2\na =\nB.\n2\n5\na =\nC.\n3\n2\na =\nD.\n2\n3\na =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nZ **jedynki trygonometrycznej** wiemy, że dla każdego kąta:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy dane \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4 \\cdot 6}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{24}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\pm\\frac{5}{7}\\]\n\nPonieważ kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry** (należy do I ćwiartki), cosinus jest dodatni:\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{5}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez trójkąt prostokątny\n\nWyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym.\n\nZ definicji \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna kateta}}{\\text{przyprostokątna}} = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).\n\nPrzyjmujemy: **przeciwległą kateta** \\(= 2\\sqrt{6}\\), **przeciwprostokątna** \\(= 7\\).\n\nObliczamy przyległą kateta z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[b^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25\\]\n\n\\[b = 5\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{5}{7}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{24}{49}\\) i zapomniał go odjąć od 1 - wziął \\(\\sin^2\\alpha\\) za wynik końcowy |\n| C | Uczeń poprawnie obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\), ale zapomniał wyciągnąć pierwiastka - podał \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| D | Uczeń pomylył wzór - być może \"wziął pierwiastek\" z \\(\\sin\\alpha\\) lub pomylił działania na ułamkach z pierwiastkami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\)! Odpowiedź C to właśnie \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\) - pułapka dla tych, którzy zapomną wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj znak cosinus! Gdyby kąt był rozwarty (II ćwiartka), cosinus byłby ujemny. Tu mamy kąt **ostry**, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pamiętaj, że podniesiesz do kwadratu CAŁY licznik: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\))\n\\[\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{4\\cdot 6}{49} = \\dfrac{24}{49}.\\]\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{24}{49} = \\dfrac{49-24}{49} = \\dfrac{25}{49}.\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\dfrac{25}{49}} = \\pm\\dfrac{5}{7}.\\]\nKąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprost. przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).\n\nZ tw. Pitagorasa: \\(b^{2} = 7^{2} - (2\\sqrt{6})^{2} = 49 - 24 = 25\\), czyli \\(b = 5\\).\n\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{b}{7} = \\dfrac{5}{7}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{24}{49}\\)** - to \\(\\sin^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).\n- **C. \\(\\tfrac{25}{49}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), zapomniany pierwiastek.\n- **D. \\(\\tfrac{5\\sqrt{6}}{7}\\)** - mylne \"zamienienie\" licznika (\\(2\\sqrt{6}\\) na \\(5\\sqrt{6}\\)) bez rachunku.\n\n**Trik:** Jedynka trygonometryczna + kąt ostry (znak \\(+\\)) - zadanie standardowe.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (
)
24, 6,
1
a -
. Stąd wynika, że
A.
5
2
a =
B.
2
5
a =
C.
3
2
a =
D.
2
3
a =

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na
\n

n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone
w kontekście praktycznym (5.c).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)

\n

Sposób 1 - jedynka trygonometryczna

\n

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że dla każdego kąta:

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Podstawiamy dane \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\):

\n

\\[\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\frac{4 \\cdot 6}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\frac{24}{49} + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]

\n

\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\pm\\frac{5}{7}\\]

\n

Ponieważ kąt \\(\\alpha\\) jest ostry (należy do I ćwiartki), cosinus jest dodatni:

\n

\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{5}{7}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez trójkąt prostokątny

\n

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym.

\n

Z definicji \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna kateta}}{\\text{przyprostokątna}} = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).

\n

Przyjmujemy: przeciwległą kateta \\(= 2\\sqrt{6}\\), przeciwprostokątna \\(= 7\\).

\n

Obliczamy przyległą kateta z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[b^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25\\]

\n

\\[b = 5\\]

\n

Stąd:

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{5}{7}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\sin\\alpha\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{24}{49}\\) i zapomniał go odjąć od 1 - wziął \\(\\sin^2\\alpha\\) za wynik końcowy |
| C | Uczeń poprawnie obliczył \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\), ale zapomniał wyciągnąć pierwiastka - podał \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |
| D | Uczeń pomylył wzór - być może "wziął pierwiastek" z \\(\\sin\\alpha\\) lub pomylił działania na ułamkach z pierwiastkami |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\)! Odpowiedź C to właśnie \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{25}{49}\\) - pułapka dla tych, którzy zapomną wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj znak cosinus! Gdyby kąt był rozwarty (II ćwiartka), cosinus byłby ujemny. Tu mamy kąt ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pamiętaj, że podniesiesz do kwadratu CAŁY licznik: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\))
\n

\\[\\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{4\\cdot 6}{49} = \\dfrac{24}{49}.\\]
\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{24}{49} = \\dfrac{49-24}{49} = \\dfrac{25}{49}.\\]
\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\dfrac{25}{49}} = \\pm\\dfrac{5}{7}.\\]
Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\).

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{\\text{przyprost. przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\tfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\).

\n

Z tw. Pitagorasa: \\(b^{2} = 7^{2} - (2\\sqrt{6})^{2} = 49 - 24 = 25\\), czyli \\(b = 5\\).

\n

\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{b}{7} = \\dfrac{5}{7}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Jedynka trygonometryczna + kąt ostry (znak \\(+\\)) - zadanie standardowe.

"}]}