{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nJeśli\nsin50\nm =\n° , to\nA.\nsin 40\nm =\n°\nB.\ncos 40\nm =\n°\nC.\ncos50\nm =\n°\nD.\ntg50\nm =\n°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste\nzwiązki między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(78°\\)\n\n## Sposób 1 - przez miary łuków\n\nKluczowe obserwacje:\n- Kąt środkowy **równa się** mierze łuku, który subtenduje.\n- Kąt wpisany **równa się połowie** miary łuku, który subtenduje.\n\n**Krok 1.** Kąt \\(BOC = 40°\\) to kąt środkowy - odpowiada mu łuk \\(BC\\) o mierze \\(40°\\).\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) **nie zawierający** punktu \\(B\\).\n\nZatem łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\):\n\\[\\text{łuk}_{AC} = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 121° = 242°\\]\n\n**Krok 3.** Pełne koło to \\(360°\\), więc łuk \\(AC\\) **zawierający** \\(B\\) (czyli łuk \\(AB\\) + łuk \\(BC\\)) wynosi:\n\\[360° - 242° = 118°\\]\n\n**Krok 4.** Łuk \\(AB\\) = łuk zawierający \\(B\\) minus łuk \\(BC\\):\n\\[\\text{łuk}_{AB} = 118° - 40° = 78°\\]\n\n**Krok 5.** Kąt środkowy \\(AOB\\) = miara łuku \\(AB\\):\n\n\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) nie zawierający \\(B\\), któremu odpowiada **wklęsły (refleks)** kąt środkowy \\(AOC\\):\n\\[\\angle AOC_{\\text{refleks}} = 2 \\cdot 121° = 242°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt wypukły \\(AOC\\) (ten „normalny\", po stronie bez \\(B\\)):\n\\[\\angle AOC = 360° - 242° = 118°\\]\n\n**Krok 3.** Punkt \\(B\\) leży na mniejszym łuku \\(AC\\), więc ramiona \\(OA\\) i \\(OC\\) obejmują \\(OB\\):\n\\[\\angle AOC = \\angle AOB + \\angle BOC\\]\n\\[118° = \\angle AOB + 40°\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy oba subtendują ten sam łuk.\n> \\[\\angle_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\angle_{\\text{wpisany}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: kąt \\(ABC = 121°\\) → łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\) = \\(242°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(59°\\) | Wzięto dopełnienie kąta wpisanego: \\(180° - 121° = 59°\\), zapominając o mnożeniu ×2 przy przejściu na łuk |\n| B | \\(50°\\) | Odjęto \\(40°\\) od błędnie policzonego \\(\\angle AOC\\), np. wyliczono łuk \\(AC = 90°\\) i odjęto \\(40°\\) |\n| C | \\(81°\\) | Wprost odjęto dane kąty: \\(121° - 40° = 81°\\) - bez żadnego twierdzenia o kącie wpisanym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(> 90°\\) oznacza, że subtenduje **łuk większy niż półokrąg** (łuk \\(> 180°\\)). Środek \\(O\\) leży **na zewnątrz** kąta \\(ABC\\). Łatwo tu pomylić, który łuk subtenduje kąt wpisany.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(121°\\) to **refleksowy** kąt \\(242°\\) (czyli „ta większa część\" wokół środka). Dopiero jego dopełnienie \\(360° - 242° = 118°\\) to zwykły kąt \\(AOC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu dodawać ani odejmować podanych kątów (\\(121°\\) i \\(40°\\)) bez użycia twierdzenia o kącie wpisanym - to dwa różne typy kątów (wpisany i środkowy)!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąty równoramienne i suma kątów w czworokącie\nZ rysunku: punkt \\(B\\) leży na okręgu między \\(A\\) a \\(C\\) (na dłuższym łuku).\n\nTrójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), \\(\\sphericalangle BOC = 40^{\\circ}\\):\n\\[\\sphericalangle OBC = \\sphericalangle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 40^{\\circ}}{2} = 70^{\\circ}.\\]\n\nZnamy \\(\\sphericalangle ABC = 121^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle ABO = 121^{\\circ} - 70^{\\circ} = 51^{\\circ}\\).\n\nTrójkąt \\(OAB\\) równoramienny: \\(\\sphericalangle OAB = \\sphericalangle OBA = 51^{\\circ}\\).\n\\[\\sphericalangle AOB = 180^{\\circ} - 2\\cdot 51^{\\circ} = 180^{\\circ} - 102^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym (karta wzorów)\nDla okręgu: kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nKąt \\(ABC\\) (wpisany) \\(= 121^{\\circ}\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) **nie zawierającym** \\(B\\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku = \\(2\\cdot 121^{\\circ} = 242^{\\circ}\\) (refleksyjny).\n\nKąt środkowy \\(AOC\\) (niewypukły kąt na łuku \\(AC\\) zawierającym \\(B\\)) = \\(360^{\\circ} - 242^{\\circ} = 118^{\\circ}\\).\n\n\\(\\sphericalangle AOC = \\sphericalangle AOB + \\sphericalangle BOC\\) (bo \\(B\\) leży na łuku \\(AC\\) tego kąta):\n\\[\\sphericalangle AOB = 118^{\\circ} - 40^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(59^{\\circ}\\)** - \\(180^{\\circ}-121^{\\circ} = 59\\) (kąty uzupełniające na prostej, nieprawidłowe podejście).\n- **B. \\(50^{\\circ}\\)** - \\(121^{\\circ}-71^{\\circ}\\) lub inny błąd rachunkowy.\n- **C. \\(81^{\\circ}\\)** - \\(121-40=81\\) (proste odejmowanie bez analizy).\n\n**Trik:** Zawsze rysuj promienie od środka i szukaj trójkątów równoramiennych - mają dwa równe kąty.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Jeśli
sin50
m =
° , to
A.
sin 40
m =
°
B.
cos 40
m =
°
C.
cos50
m =
°
D.
tg50
m =
°

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Trygonometria. Zdający stosuje proste
\n

związki między funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(78°\\)

\n

Sposób 1 - przez miary łuków

\n

Kluczowe obserwacje:

\n\n

Krok 1. Kąt \\(BOC = 40°\\) to kąt środkowy - odpowiada mu łuk \\(BC\\) o mierze \\(40°\\).

\n

Krok 2. Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) nie zawierający punktu \\(B\\).

\n

Zatem łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\):
\\[\\text{łuk}_{AC} = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 121° = 242°\\]

\n

Krok 3. Pełne koło to \\(360°\\), więc łuk \\(AC\\) zawierający \\(B\\) (czyli łuk \\(AB\\) + łuk \\(BC\\)) wynosi:
\\[360° - 242° = 118°\\]

\n

Krok 4. Łuk \\(AB\\) = łuk zawierający \\(B\\) minus łuk \\(BC\\):
\\[\\text{łuk}_{AB} = 118° - 40° = 78°\\]

\n

Krok 5. Kąt środkowy \\(AOB\\) = miara łuku \\(AB\\):

\n

\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]

\n

Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)

\n

Krok 1. Kąt wpisany \\(ABC = 121°\\) subtenduje łuk \\(AC\\) nie zawierający \\(B\\), któremu odpowiada wklęsły (refleks) kąt środkowy \\(AOC\\):
\\[\\angle AOC_{\\text{refleks}} = 2 \\cdot 121° = 242°\\]

\n

Krok 2. Kąt wypukły \\(AOC\\) (ten „normalny", po stronie bez \\(B\\)):
\\[\\angle AOC = 360° - 242° = 118°\\]

\n

Krok 3. Punkt \\(B\\) leży na mniejszym łuku \\(AC\\), więc ramiona \\(OA\\) i \\(OC\\) obejmują \\(OB\\):
\\[\\angle AOC = \\angle AOB + \\angle BOC\\]
\\[118° = \\angle AOB + 40°\\]

\n

\\[\\boxed{\\angle AOB = 78°}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:

\n
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy oba subtendują ten sam łuk.
\\[\\angle_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\angle_{\\text{wpisany}}\\]
\n

Użyliśmy tego w obu sposobach: kąt \\(ABC = 121°\\) → łuk \\(AC\\) niezawierający \\(B\\) = \\(242°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wynik | Typowy błąd |
| A | \\(59°\\) | Wzięto dopełnienie kąta wpisanego: \\(180° - 121° = 59°\\), zapominając o mnożeniu ×2 przy przejściu na łuk |
| B | \\(50°\\) | Odjęto \\(40°\\) od błędnie policzonego \\(\\angle AOC\\), np. wyliczono łuk \\(AC = 90°\\) i odjęto \\(40°\\) |
| C | \\(81°\\) | Wprost odjęto dane kąty: \\(121° - 40° = 81°\\) - bez żadnego twierdzenia o kącie wpisanym |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany \\(> 90°\\) oznacza, że subtenduje łuk większy niż półokrąg (łuk \\(> 180°\\)). Środek \\(O\\) leży na zewnątrz kąta \\(ABC\\). Łatwo tu pomylić, który łuk subtenduje kąt wpisany.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \\(121°\\) to refleksowy kąt \\(242°\\) (czyli „ta większa część" wokół środka). Dopiero jego dopełnienie \\(360° - 242° = 118°\\) to zwykły kąt \\(AOC\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno po prostu dodawać ani odejmować podanych kątów (\\(121°\\) i \\(40°\\)) bez użycia twierdzenia o kącie wpisanym - to dwa różne typy kątów (wpisany i środkowy)!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Trójkąty równoramienne i suma kątów w czworokącie
\n

Z rysunku: punkt \\(B\\) leży na okręgu między \\(A\\) a \\(C\\) (na dłuższym łuku).

\n

Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(|OB|=|OC|=r\\)), \\(\\sphericalangle BOC = 40^{\\circ}\\):
\\[\\sphericalangle OBC = \\sphericalangle OCB = \\dfrac{180^{\\circ} - 40^{\\circ}}{2} = 70^{\\circ}.\\]

\n

Znamy \\(\\sphericalangle ABC = 121^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle ABO = 121^{\\circ} - 70^{\\circ} = 51^{\\circ}\\).

\n

Trójkąt \\(OAB\\) równoramienny: \\(\\sphericalangle OAB = \\sphericalangle OBA = 51^{\\circ}\\).
\\[\\sphericalangle AOB = 180^{\\circ} - 2\\cdot 51^{\\circ} = 180^{\\circ} - 102^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym (karta wzorów)
\n

Dla okręgu: kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

\n

Kąt \\(ABC\\) (wpisany) \\(= 121^{\\circ}\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) nie zawierającym \\(B\\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku = \\(2\\cdot 121^{\\circ} = 242^{\\circ}\\) (refleksyjny).

\n

Kąt środkowy \\(AOC\\) (niewypukły kąt na łuku \\(AC\\) zawierającym \\(B\\)) = \\(360^{\\circ} - 242^{\\circ} = 118^{\\circ}\\).

\n

\\(\\sphericalangle AOC = \\sphericalangle AOB + \\sphericalangle BOC\\) (bo \\(B\\) leży na łuku \\(AC\\) tego kąta):
\\[\\sphericalangle AOB = 118^{\\circ} - 40^{\\circ} = 78^{\\circ}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Zawsze rysuj promienie od środka i szukaj trójkątów równoramiennych - mają dwa równe kąty.

"}]}