{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą\ntego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę\nA. 116°\nB. 114°\nC. 112°\nD. 110°\nA\nC\nα\nO\nB\n56°\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(|CE| = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Zauważamy:** Ponieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CAB\\) (AA: kąt \\(C\\) wspólny + kąty odpowiadające przy prostych równoległych są równe).\n\nWyznaczamy współczynnik podobieństwa:\n\\[k = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZ podobieństwa wynika proporcja boków:\n\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZapisujemy \\(|CA| = |CE| + |AE| = |CE| + 4\\) i podstawiamy:\n\\[\\frac{|CE|}{|CE| + 4} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRozwiązujemy równanie:\n\\[3 \\cdot |CE| = 2 \\cdot (|CE| + 4)\\]\n\\[3|CE| = 2|CE| + 8\\]\n\\[\\boxed{|CE| = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Stosunek odcinków z Twierdzenia Talesa\n\nSkoro \\(DE \\parallel AB\\) i \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\), to \\(\\frac{|AE|}{|CA|} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\).\n\nCzyli odcinki \\(CE\\) i \\(AE\\) mają się do siebie jak \\(2:1\\):\n\\[\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{2}{1}\\]\n\n**Stąd bezpośrednio:**\n\\[|CE| = 2 \\cdot |AE| = 2 \\cdot 4 = \\boxed{8}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(|CA| = 8 + 4 = 12\\), \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3} = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:**\n\nJeśli \\(DE \\parallel AB\\) w trójkącie \\(CAB\\), to:\n\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|CD|}{|CB|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\]\n\nZ tego wprost wynika podobieństwo trójkątów \\(CDE \\sim CAB\\) z współczynnikiem \\(k = \\frac{|DE|}{|AB|}\\). Użyliśmy tego w obu sposobach do ustawienia proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A. \\(\\frac{16}{3}\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(\\|CA\\| = \\|AE\\| + \\|DE\\| = 4 + 4 = 8\\) (myli odcinek \\(DE\\) z odcinkiem na prostej \\(CA\\)), a następnie liczy \\(\\|CE\\| = 8 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{16}{3}\\) |\n| B. \\(\\frac{8}{3}\\) | Uczeń myli stosunek i pisze \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|DE\\|}{\\|AB\\|} = \\frac{2}{3}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{2}{3} \\cdot 4 = \\frac{8}{3}\\) (zamiast \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|CA\\|} = \\frac{2}{3}\\)) |\n| D. \\(6\\) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|AB\\|}{\\|DE\\|} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{3}{2} \\cdot 4 = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcja z Twierdzenia Talesa łączy \\(|CE|\\) z **całym** \\(|CA|\\), a nie z samym \\(|AE|\\). Najczęstszy błąd to pisanie \\(\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\) zamiast \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo dotyczy trójkątów \\(CDE\\) i \\(CAB\\) (wierzchołek \\(C\\) jest wspólny - wychodzi \"od góry\"). Nie ma tu podobieństwa trójkąta \\(CDE\\) do trójkąta np. \\(EAB\\) czy \\(DBE\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kuszące jest myślenie, że skoro \\(|AE| = |DE| = 4\\), to odcinek \\(AED\\) jest równoramienny i trzeba coś liczyć z trójkątem. To nie pomaga - wystarczy sam stosunek podobieństwa z \\(DE \\parallel AB\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (karta wzorów)\nPonieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CBA\\) (cecha kkk).\n\nStosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nZ proporcji odcinków: \\(\\dfrac{CE}{CA} = \\dfrac{2}{3}\\).\n\nOznaczmy \\(CE = x\\). Wtedy \\(CA = CE + EA = x + 4\\). Równanie:\n\\[\\dfrac{x}{x+4} = \\dfrac{2}{3} \\Rightarrow 3x = 2x + 8 \\Rightarrow x = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie Talesa\n\\(DE \\parallel AB\\) + prosta \\(CA\\) (i \\(CB\\)) przecina obie równoległe:\n\\[\\dfrac{CE}{EA} = \\dfrac{CD}{DB},\\]\na stosunek podobieństwa daje \\(\\dfrac{CE+EA}{EA}\\cdot DE = AB\\), czyli \\(\\dfrac{CE+4}{4}\\cdot 4 = 6\\)\n\nLepiej: \\(\\dfrac{CE}{CE+EA} = \\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6}\\), stąd \\(6CE = 4(CE+4) \\Rightarrow 2CE = 16 \\Rightarrow CE = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{16}{3}\\)** - gdyby użyć błędnej proporcji \\(\\tfrac{CE}{EA} = \\tfrac{4}{6}\\): \\(CE = \\tfrac{4\\cdot 4}{?}\\)? Pomyłka proporcyjna.\n- **B. \\(\\tfrac{8}{3}\\)** - podobna pomyłka ze stosunkiem.\n- **D. \\(6\\)** - brano długość \\(AB\\) zamiast liczyć.\n\n**Trik:** Rysuj trójkąty obok siebie z zaznaczonymi \"odpowiednimi\" bokami - unikniesz pomyłek w proporcji.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą<br>tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę<br>A. 116°<br>B. 114°<br>C. 112°<br>D. 110°<br>A<br>C<br>α<br>O<br>B<br>56°</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta ze związków</li></ol>\n<p>między kątem środkowym, kątem wpisanym<br>i kątem między styczną a cięciwą okręgu<br>(7.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(|CE| = 8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów</h4>\n<p><strong>Zauważamy:</strong> Ponieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CAB\\) (AA: kąt \\(C\\) wspólny + kąty odpowiadające przy prostych równoległych są równe).</p>\n<p>Wyznaczamy współczynnik podobieństwa:<br>\\[k = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Z podobieństwa wynika proporcja boków:<br>\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Zapisujemy \\(|CA| = |CE| + |AE| = |CE| + 4\\) i podstawiamy:<br>\\[\\frac{|CE|}{|CE| + 4} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Rozwiązujemy równanie:<br>\\[3 \\cdot |CE| = 2 \\cdot (|CE| + 4)\\]<br>\\[3|CE| = 2|CE| + 8\\]<br>\\[\\boxed{|CE| = 8}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Stosunek odcinków z Twierdzenia Talesa</h4>\n<p>Skoro \\(DE \\parallel AB\\) i \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{2}{3}\\), to \\(\\frac{|AE|}{|CA|} = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\).</p>\n<p>Czyli odcinki \\(CE\\) i \\(AE\\) mają się do siebie jak \\(2:1\\):<br>\\[\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{2}{1}\\]</p>\n<p><strong>Stąd bezpośrednio:</strong><br>\\[|CE| = 2 \\cdot |AE| = 2 \\cdot 4 = \\boxed{8}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(|CA| = 8 + 4 = 12\\), \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3} = \\frac{|DE|}{|AB|} = \\frac{4}{6}\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:</strong></p>\n<p>Jeśli \\(DE \\parallel AB\\) w trójkącie \\(CAB\\), to:<br>\\[\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|CD|}{|CB|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\]</p>\n<p>Z tego wprost wynika podobieństwo trójkątów \\(CDE \\sim CAB\\) z współczynnikiem \\(k = \\frac{|DE|}{|AB|}\\). Użyliśmy tego w obu sposobach do ustawienia proporcji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |<br>| A. \\(\\frac{16}{3}\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(\\|CA\\| = \\|AE\\| + \\|DE\\| = 4 + 4 = 8\\) (myli odcinek \\(DE\\) z odcinkiem na prostej \\(CA\\)), a następnie liczy \\(\\|CE\\| = 8 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{16}{3}\\) |<br>| B. \\(\\frac{8}{3}\\) | Uczeń myli stosunek i pisze \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|DE\\|}{\\|AB\\|} = \\frac{2}{3}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{2}{3} \\cdot 4 = \\frac{8}{3}\\) (zamiast \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|CA\\|} = \\frac{2}{3}\\)) |<br>| D. \\(6\\) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\frac{\\|CE\\|}{\\|AE\\|} = \\frac{\\|AB\\|}{\\|DE\\|} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\), stąd \\(\\|CE\\| = \\frac{3}{2} \\cdot 4 = 6\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proporcja z Twierdzenia Talesa łączy \\(|CE|\\) z <strong>całym</strong> \\(|CA|\\), a nie z samym \\(|AE|\\). Najczęstszy błąd to pisanie \\(\\frac{|CE|}{|AE|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\) zamiast \\(\\frac{|CE|}{|CA|} = \\frac{|DE|}{|AB|}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podobieństwo dotyczy trójkątów \\(CDE\\) i \\(CAB\\) (wierzchołek \\(C\\) jest wspólny - wychodzi &quot;od góry&quot;). Nie ma tu podobieństwa trójkąta \\(CDE\\) do trójkąta np. \\(EAB\\) czy \\(DBE\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kuszące jest myślenie, że skoro \\(|AE| = |DE| = 4\\), to odcinek \\(AED\\) jest równoramienny i trzeba coś liczyć z trójkątem. To nie pomaga - wystarczy sam stosunek podobieństwa z \\(DE \\parallel AB\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (karta wzorów)</h5>\n<p>Ponieważ \\(DE \\parallel AB\\), trójkąt \\(CDE\\) jest podobny do trójkąta \\(CBA\\) (cecha kkk).</p>\n<p>Stosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6} = \\dfrac{2}{3}\\).</p>\n<p>Z proporcji odcinków: \\(\\dfrac{CE}{CA} = \\dfrac{2}{3}\\).</p>\n<p>Oznaczmy \\(CE = x\\). Wtedy \\(CA = CE + EA = x + 4\\). Równanie:<br>\\[\\dfrac{x}{x+4} = \\dfrac{2}{3} \\Rightarrow 3x = 2x + 8 \\Rightarrow x = 8.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Twierdzenie Talesa</h5>\n<p>\\(DE \\parallel AB\\) + prosta \\(CA\\) (i \\(CB\\)) przecina obie równoległe:<br>\\[\\dfrac{CE}{EA} = \\dfrac{CD}{DB},\\]<br>a stosunek podobieństwa daje \\(\\dfrac{CE+EA}{EA}\\cdot DE = AB\\), czyli \\(\\dfrac{CE+4}{4}\\cdot 4 = 6\\)</p>\n<p>Lepiej: \\(\\dfrac{CE}{CE+EA} = \\dfrac{DE}{AB} = \\dfrac{4}{6}\\), stąd \\(6CE = 4(CE+4) \\Rightarrow 2CE = 16 \\Rightarrow CE = 8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{16}{3}\\)</strong> - gdyby użyć błędnej proporcji \\(\\tfrac{CE}{EA} = \\tfrac{4}{6}\\): \\(CE = \\tfrac{4\\cdot 4}{?}\\)? Pomyłka proporcyjna.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{8}{3}\\)</strong> - podobna pomyłka ze stosunkiem.</li><li><strong>D. \\(6\\)</strong> - brano długość \\(AB\\) zamiast liczyć.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Rysuj trójkąty obok siebie z zaznaczonymi &quot;odpowiednimi&quot; bokami - unikniesz pomyłek w proporcji.</p>"}]}