{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nW trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest\nrównoległy do boku AC, a ponadto\n10\nBD =\n,\n12\nBC =\ni\n24\nAC =\n(zobacz rysunek).\nDługość odcinka DE jest równa\nA. 22\nB. 20\nC. 12\nD. 11","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\sqrt{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego\n\n**Wiemy, że** pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Podstawiamy** dane pole \\(P = 6\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)** (skracamy):\n\\[\\frac{a^2}{4} = 6\\]\n\n**Mnożymy przez 4:**\n\\[a^2 = 24\\]\n\n**Wyciągamy pierwiastek** (bok musi być dodatni):\n\\[a = \\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = 2\\sqrt{6}\\)** ✓\n\n## Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego na pole (podstawa × wysokość)\n\nWysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nDochodzimy do tego samego wyrażenia, więc dalej jak w Sposobie 1. Wynik: \\(a = 2\\sqrt{6}\\).\n\n**Weryfikacja:** podstawiamy \\(a = 2\\sqrt{6}\\) do wzoru na pole:\n\\[P = \\frac{(2\\sqrt{6})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy wzoru na pole bezpośrednio do wyznaczenia boku.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono \\(a^2 = 18\\) zamiast \\(24\\) - np. pominięto \\(\\sqrt{3}\\) w mianowniku przy skracaniu |\n| B - \\(2\\sqrt{3}\\) | Pomylono wzory: użyto \\(P = \\frac{a^2}{4}\\) bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(a^2 = 24\\sqrt{3}\\), a następnie błędne upraszczanie |\n| D - \\(6\\sqrt{2}\\) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{24}\\) mylnie zapisano jako \\(6\\sqrt{2}\\) (zapomniano wyciągnąć \\(\\sqrt{4} = 2\\), wzięto \\(\\sqrt{36}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzoru na pole trójkąta równobocznego z trójkątem prostokątnym - wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) dotyczy **tylko** trójkąta **równobocznego**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{24}\\) - zawsze szukaj **największego** czynnika będącego pełnym kwadratem: \\(24 = 4 \\cdot 6\\), więc \\(\\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\). Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\sqrt{4 \\cdot 6}\\) bez wyciągnięcia \\(2\\) przed pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po skróceniu \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) dziel przez \\(\\sqrt{3}\\) na początku - to najprostszy krok. Nie mnóż od razu przez 4, bo łatwo o błąd rachunkowy z \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego (karta wzorów: \\(P = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\))\n\\[\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\;\\big/ \\cdot 4\\]\n\\[a^{2}\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3} \\;\\big/ :\\sqrt{3}\\]\n\\[a^{2} = 24 \\Rightarrow a = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = 2\\sqrt{6}\\): \\(a^{2} = 24\\), \\(P = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{2}\\):** \\(a^{2} = 18\\), \\(P = \\tfrac{18\\sqrt{3}}{4} = 4{,}5\\sqrt{3} \\ne 6\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(2\\sqrt{3}\\):** \\(a^{2} = 12\\), \\(P = 3\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(6\\sqrt{2}\\):** \\(a^{2} = 72\\), \\(P = 18\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** Upraszczaj pierwiastek: \\(\\sqrt{24} = \\sqrt{4\\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\), a nie \\(2\\sqrt{3}\\) lub \\(3\\sqrt{2}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest<br>równoległy do boku AC, a ponadto<br>10<br>BD =<br>,<br>12<br>BC =<br>i<br>24<br>AC =<br>(zobacz rysunek).<br>Długość odcinka DE jest równa<br>A. 22<br>B. 20<br>C. 12<br>D. 11</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>własności figur podobnych w zadaniach,<br>w tym umieszczonych w kontekście<br>praktycznym (7.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\sqrt{6}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego</h4>\n<p><strong>Wiemy, że</strong> pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:<br>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy</strong> dane pole \\(P = 6\\sqrt{3}\\):<br>\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)</strong> (skracamy):<br>\\[\\frac{a^2}{4} = 6\\]</p>\n<p><strong>Mnożymy przez 4:</strong><br>\\[a^2 = 24\\]</p>\n<p><strong>Wyciągamy pierwiastek</strong> (bok musi być dodatni):<br>\\[a = \\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a = 2\\sqrt{6}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego na pole (podstawa × wysokość)</h4>\n<p>Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wyraża się wzorem:<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Pole trójkąta:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p>Dochodzimy do tego samego wyrażenia, więc dalej jak w Sposobie 1. Wynik: \\(a = 2\\sqrt{6}\\).</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> podstawiamy \\(a = 2\\sqrt{6}\\) do wzoru na pole:<br>\\[P = \\frac{(2\\sqrt{6})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyliśmy wzoru na pole bezpośrednio do wyznaczenia boku.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - upraszczanie pierwiastka:<br>\\[\\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono \\(a^2 = 18\\) zamiast \\(24\\) - np. pominięto \\(\\sqrt{3}\\) w mianowniku przy skracaniu |<br>| B - \\(2\\sqrt{3}\\) | Pomylono wzory: użyto \\(P = \\frac{a^2}{4}\\) bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\), co daje \\(a^2 = 24\\sqrt{3}\\), a następnie błędne upraszczanie |<br>| D - \\(6\\sqrt{2}\\) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{24}\\) mylnie zapisano jako \\(6\\sqrt{2}\\) (zapomniano wyciągnąć \\(\\sqrt{4} = 2\\), wzięto \\(\\sqrt{36}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić wzoru na pole trójkąta równobocznego z trójkątem prostokątnym - wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) dotyczy <strong>tylko</strong> trójkąta <strong>równobocznego</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{24}\\) - zawsze szukaj <strong>największego</strong> czynnika będącego pełnym kwadratem: \\(24 = 4 \\cdot 6\\), więc \\(\\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}\\). Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\sqrt{4 \\cdot 6}\\) bez wyciągnięcia \\(2\\) przed pierwiastek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po skróceniu \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) dziel przez \\(\\sqrt{3}\\) na początku - to najprostszy krok. Nie mnóż od razu przez 4, bo łatwo o błąd rachunkowy z \\(\\sqrt{3}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego (karta wzorów: \\(P = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\))</h5>\n<p>\\[\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3} \\;\\big/ \\cdot 4\\]<br>\\[a^{2}\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3} \\;\\big/ :\\sqrt{3}\\]<br>\\[a^{2} = 24 \\Rightarrow a = \\sqrt{24} = 2\\sqrt{6}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(a = 2\\sqrt{6}\\): \\(a^{2} = 24\\), \\(P = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{4} = 6\\sqrt{3}\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\sqrt{2}\\):</strong> \\(a^{2} = 18\\), \\(P = \\tfrac{18\\sqrt{3}}{4} = 4{,}5\\sqrt{3} \\ne 6\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>B. \\(2\\sqrt{3}\\):</strong> \\(a^{2} = 12\\), \\(P = 3\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>D. \\(6\\sqrt{2}\\):</strong> \\(a^{2} = 72\\), \\(P = 18\\sqrt{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Upraszczaj pierwiastek: \\(\\sqrt{24} = \\sqrt{4\\cdot 6} = 2\\sqrt{6}\\), a nie \\(2\\sqrt{3}\\) lub \\(3\\sqrt{2}\\).</p>"}]}