{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy\nA.\n3\n3\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n2\n2\n2\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nC. (\n)\n3\n3 a\nD. (\n)\n2\n2 a\nB\nA\nC\nD\nE\n10\n24\n2\nA\nC\nB\n30°\n\na\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(58\\)\n\n## Sposób 1 - Długość boku ze wzoru na odległość\n\nW kwadracie wszystkie boki są równe, więc wystarczy znaleźć długość jednego boku - na przykład \\(BC\\).\n\nZnamy: \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\).\n\n**Krok 1.** Obliczamy odległość \\(|BC|\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(5-(-2))^2 + (1-4)^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]\n\n**Krok 2.** Pole kwadratu o boku \\(a = \\sqrt{58}\\):\n\\[P = a^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]\n\n## Sposób 2 - Wektor boku i wyznaczenie wszystkich wierzchołków\n\nZamiast korzystać bezpośrednio ze wzoru, skonstruujmy cały kwadrat i zweryfikujemy wynik wzorem Shoelace'a.\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):\n\\[\\overrightarrow{BC} = [5 - (-2),\\ 1 - 4] = [7,\\ -3]\\]\n\n**Krok 2.** Obracamy \\(\\overrightarrow{BC}\\) o \\(90°\\) (daje bok prostopadły, czyli \\(\\overrightarrow{AB}\\)):\n\nObrót o \\(90°\\) w lewo: \\([a, b] \\mapsto [-b, a]\\), czyli \\([7, -3] \\mapsto [3, 7]\\).\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy brakujące wierzchołki:\n\\[A = B - \\overrightarrow{AB} = (-2 - 3,\\ 4 - 7) = (-5,\\ -3)\\]\n\\[D = C - \\overrightarrow{AB} = (5 - 3,\\ 1 - 7) = (2,\\ -6)\\]\n\n**Krok 4.** Sprawdzamy pole wzorem Shoelace'a dla \\(A(-5,-3)\\), \\(B(-2,4)\\), \\(C(5,1)\\), \\(D(2,-6)\\):\n\\[P = \\frac{1}{2}|x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(4-(-6)) + (-2)(1-(-3)) + 5(-6-4) + 2(-3-1)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(10) + (-2)(4) + 5(-10) + 2(-4)|\\]\n\\[= \\frac{1}{2}|-50 - 8 - 50 - 8| = \\frac{1}{2} \\cdot 116 = \\mathbf{58}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(|BC|\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wektor:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do skonstruowania prostopadłego boku kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(29\\) | Myślenie, że \\(BC\\) to **przekątna** kwadratu, a nie bok. Dla kwadratu o przekątnej \\(d\\): \\(P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{58}{2} = 29\\). Błąd: zadanie mówi „sąsiednie wierzchołki\" - to bok, nie przekątna! |\n| B - \\(40\\) | Obliczanie \\((x_C - x_B)^2 - (y_C - y_B)^2 = 49 - 9 = 40\\) zamiast **sumy** kwadratów różnic współrzędnych. Pomylono \\(+\\) z \\(-\\) we wzorze na odległość. |\n| D - \\(74\\) | Użycie surowych współrzędnych \\(x_C^2 + y_C^2 = 25 + 1 = 26\\) albo \\(x_B^2 + y_B^2 = 4 + 16 = 20\\) i ich dodanie. Błąd: we wzorze na odległość bierzemy **różnice** współrzędnych, nie same współrzędne. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Sąsiednie wierzchołki\" = bok kwadratu. Gdyby dane były wierzchołki leżące naprzeciwko siebie (np. \\(A\\) i \\(C\\)), to \\(AC\\) byłoby przekątną i pole wynosiłoby \\(\\frac{|AC|^2}{2}\\) - zupełnie inny wynik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pola kwadratu **nie trzeba** liczyć przez \\(P = a \\cdot a\\) po wcześniejszym obliczeniu \\(\\sqrt{58}\\). Wystarczy zauważyć, że \\(P = a^2 = |BC|^2\\), i od razu podać \\(49 + 9 = 58\\). Pierwiastkowanie jest niepotrzebne - oszczędza czas i eliminuje błędy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obrót wektora o \\(90°\\) to prosta sztuczka - zamień współrzędne miejscami i zmień jeden znak: \\([a, b] \\to [-b, a]\\). Przydaje się przy wyznaczaniu prostopadłych boków figur na płaszczyźnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kwadrat długości boku = pole (karta wzorów: \\(|BC|^{2} = (x_{C}-x_{B})^{2} + (y_{C}-y_{B})^{2}\\))\nSąsiedni wierzchołki: \\(BC\\) jest bokiem kwadratu. Pole = \\(|BC|^{2}\\):\n\\[|BC|^{2} = (5-(-2))^{2} + (1-4)^{2} = 7^{2} + (-3)^{2} = 49 + 9 = 58.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczamy \\(|BC|\\) i potem kwadrat\n\\(|BC| = \\sqrt{58}\\), więc \\(P = (\\sqrt{58})^{2} = 58\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(29\\)** - to \\(\\tfrac{58}{2}\\), jakby brano połowę przekątnej jako bok.\n- **B. \\(40\\)** - przypadkowo zbliżone, błąd rachunkowy.\n- **D. \\(74\\)** - być może \\(\\tfrac{5^{2}+7^{2}}{?}\\); nie jest \\(|BC|^{2}\\).\n\n**Trik:** Wzór na odległość od razu podaje \\(d^{2}\\) - a pole kwadratu to \\(d^{2}\\). Pominąć etap pierwiastkowania!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy
A.
3
3
2
a








B.
2
2
2
a








C. (
)
3
3 a
D. (
)
2
2 a
B
A
C
D
E
10
24
2
A
C
B
30°

a

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki
\n

miarowe w figurach płaskich, także
z zastosowaniem trygonometrii, również
w zadaniach umieszczonych w kontekście
praktycznym (7.c).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(58\\)

\n

Sposób 1 - Długość boku ze wzoru na odległość

\n

W kwadracie wszystkie boki są równe, więc wystarczy znaleźć długość jednego boku - na przykład \\(BC\\).

\n

Znamy: \\(B = (-2, 4)\\), \\(C = (5, 1)\\).

\n

Krok 1. Obliczamy odległość \\(|BC|\\):
\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(5-(-2))^2 + (1-4)^2}\\]
\\[|BC| = \\sqrt{7^2 + (-3)^2} = \\sqrt{49 + 9} = \\sqrt{58}\\]

\n

Krok 2. Pole kwadratu o boku \\(a = \\sqrt{58}\\):
\\[P = a^2 = \\left(\\sqrt{58}\\right)^2 = \\mathbf{58}\\]

\n

Sposób 2 - Wektor boku i wyznaczenie wszystkich wierzchołków

\n

Zamiast korzystać bezpośrednio ze wzoru, skonstruujmy cały kwadrat i zweryfikujemy wynik wzorem Shoelace'a.

\n

Krok 1. Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):
\\[\\overrightarrow{BC} = [5 - (-2),\\ 1 - 4] = [7,\\ -3]\\]

\n

Krok 2. Obracamy \\(\\overrightarrow{BC}\\) o \\(90°\\) (daje bok prostopadły, czyli \\(\\overrightarrow{AB}\\)):

\n

Obrót o \\(90°\\) w lewo: \\([a, b] \\mapsto [-b, a]\\), czyli \\([7, -3] \\mapsto [3, 7]\\).

\n

Krok 3. Wyznaczamy brakujące wierzchołki:
\\[A = B - \\overrightarrow{AB} = (-2 - 3,\\ 4 - 7) = (-5,\\ -3)\\]
\\[D = C - \\overrightarrow{AB} = (5 - 3,\\ 1 - 7) = (2,\\ -6)\\]

\n

Krok 4. Sprawdzamy pole wzorem Shoelace'a dla \\(A(-5,-3)\\), \\(B(-2,4)\\), \\(C(5,1)\\), \\(D(2,-6)\\):
\\[P = \\frac{1}{2}|x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|\\]
\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(4-(-6)) + (-2)(1-(-3)) + 5(-6-4) + 2(-3-1)|\\]
\\[= \\frac{1}{2}|(-5)(10) + (-2)(4) + 5(-10) + 2(-4)|\\]
\\[= \\frac{1}{2}|-50 - 8 - 50 - 8| = \\frac{1}{2} \\cdot 116 = \\mathbf{58}\\]

\n

Wynik zgodny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(|BC|\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wektor:
\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do skonstruowania prostopadłego boku kwadratu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(29\\) | Myślenie, że \\(BC\\) to przekątna kwadratu, a nie bok. Dla kwadratu o przekątnej \\(d\\): \\(P = \\frac{d^2}{2} = \\frac{58}{2} = 29\\). Błąd: zadanie mówi „sąsiednie wierzchołki" - to bok, nie przekątna! |
| B - \\(40\\) | Obliczanie \\((x_C - x_B)^2 - (y_C - y_B)^2 = 49 - 9 = 40\\) zamiast sumy kwadratów różnic współrzędnych. Pomylono \\(+\\) z \\(-\\) we wzorze na odległość. |
| D - \\(74\\) | Użycie surowych współrzędnych \\(x_C^2 + y_C^2 = 25 + 1 = 26\\) albo \\(x_B^2 + y_B^2 = 4 + 16 = 20\\) i ich dodanie. Błąd: we wzorze na odległość bierzemy różnice współrzędnych, nie same współrzędne. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Sąsiednie wierzchołki" = bok kwadratu. Gdyby dane były wierzchołki leżące naprzeciwko siebie (np. \\(A\\) i \\(C\\)), to \\(AC\\) byłoby przekątną i pole wynosiłoby \\(\\frac{|AC|^2}{2}\\) - zupełnie inny wynik!
\n
⚠️ Uwaga: Pola kwadratu nie trzeba liczyć przez \\(P = a \\cdot a\\) po wcześniejszym obliczeniu \\(\\sqrt{58}\\). Wystarczy zauważyć, że \\(P = a^2 = |BC|^2\\), i od razu podać \\(49 + 9 = 58\\). Pierwiastkowanie jest niepotrzebne - oszczędza czas i eliminuje błędy.
\n
⚠️ Uwaga: Obrót wektora o \\(90°\\) to prosta sztuczka - zamień współrzędne miejscami i zmień jeden znak: \\([a, b] \\to [-b, a]\\). Przydaje się przy wyznaczaniu prostopadłych boków figur na płaszczyźnie.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Kwadrat długości boku = pole (karta wzorów: \\(|BC|^{2} = (x_{C}-x_{B})^{2} + (y_{C}-y_{B})^{2}\\))
\n

Sąsiedni wierzchołki: \\(BC\\) jest bokiem kwadratu. Pole = \\(|BC|^{2}\\):
\\[|BC|^{2} = (5-(-2))^{2} + (1-4)^{2} = 7^{2} + (-3)^{2} = 49 + 9 = 58.\\]

\n
Sposób 2 - Obliczamy \\(|BC|\\) i potem kwadrat
\n

\\(|BC| = \\sqrt{58}\\), więc \\(P = (\\sqrt{58})^{2} = 58\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Wzór na odległość od razu podaje \\(d^{2}\\) - a pole kwadratu to \\(d^{2}\\). Pominąć etap pierwiastkowania!

"}]}