{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiona jest prosta k o równaniu\ny\nax , przechodząca przez punkt\n(\n)\n2, 3\nA =\ni przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia\ntej prostej do osi Ox.\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\nα\nk\nA\nZatem\nA.\n2\n3\na\nB.\n3\n2\na\nC.\n2\n3\na\nD.\n3\n2\na","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sphericalangle SAO\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\n\n**Klucz: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.**\n\nSzukamy kąta nachylenia krawędzi \\(SA\\) do płaszczyzny podstawy \\(ABCD\\).\n\n**Krok 1 - Rzut prostokątny punktu \\(S\\) na płaszczyznę podstawy.**\n\nOstrosłup jest **prawidłowy** - znaczy, że wierzchołek \\(S\\) leży dokładnie nad środkiem podstawy. Środek podstawy kwadratu \\(ABCD\\) to punkt \\(O\\).\n\nZatem rzutem prostokątnym \\(S\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest punkt **\\(O\\)**.\n\n**Krok 2 - Rzut prostokątny krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę podstawy.**\n\nRzut prostokątny odcinka \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) to odcinek łączący:\n- rzut punktu \\(S\\) → \\(O\\)\n- rzut punktu \\(A\\) → \\(A\\) (bo \\(A\\) leży w płaszczyźnie podstawy)\n\nZatem rzutem krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest odcinek \\(\\boldsymbol{OA}\\).\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia.**\n\nKąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) to kąt między prostą \\(SA\\) a jej rzutem \\(OA\\), czyli kąt przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie \\(SAO\\):\n\n\\[\\boxed{\\sphericalangle SAO}\\]\n\nTo jest **kąt \\(A\\)**.\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek prostopadłości\n\nAby kąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) był kątem danego trójkąta, jeden z boków tego trójkąta musi być **prostopadle do płaszczyzny podstawy** (lub leżeć w tej płaszczyźnie), a kąt musi być zawarty między odcinkiem \\(SA\\) a jego rzutem.\n\nSprawdźmy trójkąt \\(SAO\\):\n- \\(SO \\perp\\) płaszczyzna \\(ABCD\\) - bo \\(O\\) to środek kwadratu, a ostrosłup prawidłowy ma wysokość prostopadłą do podstawy. Zatem \\(SO\\) jest **wysokością** ostrosłupa.\n- \\(OA\\) leży w płaszczyźnie podstawy.\n- Kąt \\(\\sphericalangle SAO\\) to kąt przy \\(A\\) - między krawędzią boczną \\(SA\\) a odcinkiem \\(OA\\) (rzutem \\(SA\\) na podstawę).\n\nMamy trójkąt prostokątny \\(SOA\\) z kątem prostym przy \\(O\\). Kąt nachylenia \\(SA\\) do podstawy to właśnie kąt przy \\(A\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}(\\sphericalangle SAO) = \\frac{|SO|}{|OA|}\\]\n\nco potwierdza, że \\(\\sphericalangle SAO\\) jest kątem między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pojęcia bryły i ich elementy (wysokość ostrosłupa). Kluczowe jest to, że w ostrosłupie prawidłowym wysokość \\(SO \\perp\\) podstawa, co pozwala wyznaczyć rzut prostokątny.\n\nW tym zadaniu nie stosujemy konkretnych wzorów obliczeniowych z karty - wystarczy znajomość **definicji kąta nachylenia prostej do płaszczyzny** (rzut prostokątny) oraz własności ostrosłupa prawidłowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Kąt | Błąd |\n| B | \\(\\sphericalangle SAB\\) | To kąt między krawędzią boczną \\(SA\\) a krawędzią podstawy \\(AB\\) - nie jest to kąt między \\(SA\\) a jej rzutem na płaszczyznę, bo \\(AB\\) nie jest rzutem \\(SA\\) na podstawę |\n| C | \\(\\sphericalangle SOA\\) | To **ten sam trójkąt** \\(SOA\\), ale kąt przy \\(O\\) - jest to kąt **prosty** (\\(90°\\)), bo \\(SO \\perp\\) podstawa. Nie jest to kąt nachylenia |\n| D | \\(\\sphericalangle ASB\\) | To kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(ASB\\) - kąt między dwiema krawędziami bocznymi, nie między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej **rzutem prostokątnym** na tę płaszczyznę - NIE kąt między prostą a dowolną inną prostą leżącą w płaszczyźnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sphericalangle SAO\\) (kąt przy \\(A\\)) z \\(\\sphericalangle SOA\\) (kąt przy \\(O\\)). Kąt przy \\(O\\) to kąt prosty - \\(SO \\perp OA\\) - więc to nie jest kąt nachylenia, tylko warunek, który pozwala zdefiniować rzut.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ostrosłupie prawidłowym środek podstawy \\(O\\) to rzut wierzchołka \\(S\\) - to wynika z symetrii. W ostrosłupie **nieprawidłowym** rzut \\(S\\) może być w innym punkcie i wtedy kąt nachylenia wyznaczylibyśmy inaczej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\nKąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.\n\nPunkt \\(O\\) jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego (środek podstawy). Rzut \\(S\\) na podstawę to \\(O\\). Więc rzut \\(SA\\) na podstawę to odcinek \\(OA\\).\n\nKąt między \\(SA\\) a \\(OA\\), wychodzący z punktu \\(A\\) (końca krawędzi leżącego w podstawie), to \\(\\sphericalangle SAO\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nSzukamy kąta o wierzchołku w punkcie podstawy (\\(A\\)), między krawędzią \\(SA\\) a jej rzutem \\(AO\\).\n- \\(\\sphericalangle SAO\\) - właściwy! ✓\n- \\(\\sphericalangle SAB\\) - kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy (to NIE to samo).\n- \\(\\sphericalangle SOA\\) - wierzchołek w \\(O\\), kąt prosty (\\(90^{\\circ}\\)) między wysokością \\(SO\\) a podstawą.\n- \\(\\sphericalangle ASB\\) - kąt w wierzchołku \\(S\\), nie jest kątem nachylenia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Kąt \\(\\sphericalangle SAB\\) leży między krawędzią boczną a krawędzią **podstawy**, nie jej rzutem (to nie to samo).\n- **C.** Kąt \\(\\sphericalangle SOA = 90^{\\circ}\\) - zawsze prosty, bo \\(SO\\) to wysokość.\n- **D.** Kąt \\(\\sphericalangle ASB\\) to kąt płaski ściany bocznej \\(ASB\\), nie nachylenia.\n\n**Trik:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny = kąt między prostą a jej **rzutem** w płaszczyźnie. Wierzchołek kąta leży tam, gdzie prosta \"wchodzi\" w płaszczyznę.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Na rysunku przedstawiona jest prosta k o równaniu<br>y<br>ax , przechodząca przez punkt<br>(<br>)<br>2, 3<br>A =<br>i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia<br>tej prostej do osi Ox.<br>-5<br>-4<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>-4<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>x<br>y<br>0<br>α<br>k<br>A<br>Zatem<br>A.<br>2<br>3<br>a<br>B.<br>3<br>2<br>a<br>C.<br>2<br>3<br>a<br>D.<br>3<br>2<br>a</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>interpretację współczynników we wzorze<br>funkcji liniowej (4.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sphericalangle SAO\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny</h4>\n<p><strong>Klucz: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.</strong></p>\n<p>Szukamy kąta nachylenia krawędzi \\(SA\\) do płaszczyzny podstawy \\(ABCD\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - Rzut prostokątny punktu \\(S\\) na płaszczyznę podstawy.</strong></p>\n<p>Ostrosłup jest <strong>prawidłowy</strong> - znaczy, że wierzchołek \\(S\\) leży dokładnie nad środkiem podstawy. Środek podstawy kwadratu \\(ABCD\\) to punkt \\(O\\).</p>\n<p>Zatem rzutem prostokątnym \\(S\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest punkt <strong>\\(O\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2 - Rzut prostokątny krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę podstawy.</strong></p>\n<p>Rzut prostokątny odcinka \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) to odcinek łączący:</p>\n<ul><li>rzut punktu \\(S\\) → \\(O\\)</li><li>rzut punktu \\(A\\) → \\(A\\) (bo \\(A\\) leży w płaszczyźnie podstawy)</li></ul>\n<p>Zatem rzutem krawędzi \\(SA\\) na płaszczyznę \\(ABCD\\) jest odcinek \\(\\boldsymbol{OA}\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - Kąt nachylenia.</strong></p>\n<p>Kąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) to kąt między prostą \\(SA\\) a jej rzutem \\(OA\\), czyli kąt przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie \\(SAO\\):</p>\n<p>\\[\\boxed{\\sphericalangle SAO}\\]</p>\n<p>To jest <strong>kąt \\(A\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek prostopadłości</h4>\n<p>Aby kąt nachylenia prostej \\(SA\\) do płaszczyzny \\(ABCD\\) był kątem danego trójkąta, jeden z boków tego trójkąta musi być <strong>prostopadle do płaszczyzny podstawy</strong> (lub leżeć w tej płaszczyźnie), a kąt musi być zawarty między odcinkiem \\(SA\\) a jego rzutem.</p>\n<p>Sprawdźmy trójkąt \\(SAO\\):</p>\n<ul><li>\\(SO \\perp\\) płaszczyzna \\(ABCD\\) - bo \\(O\\) to środek kwadratu, a ostrosłup prawidłowy ma wysokość prostopadłą do podstawy. Zatem \\(SO\\) jest <strong>wysokością</strong> ostrosłupa.</li><li>\\(OA\\) leży w płaszczyźnie podstawy.</li><li>Kąt \\(\\sphericalangle SAO\\) to kąt przy \\(A\\) - między krawędzią boczną \\(SA\\) a odcinkiem \\(OA\\) (rzutem \\(SA\\) na podstawę).</li></ul>\n<p>Mamy trójkąt prostokątny \\(SOA\\) z kątem prostym przy \\(O\\). Kąt nachylenia \\(SA\\) do podstawy to właśnie kąt przy \\(A\\):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}(\\sphericalangle SAO) = \\frac{|SO|}{|OA|}\\]</p>\n<p>co potwierdza, że \\(\\sphericalangle SAO\\) jest kątem między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pojęcia bryły i ich elementy (wysokość ostrosłupa). Kluczowe jest to, że w ostrosłupie prawidłowym wysokość \\(SO \\perp\\) podstawa, co pozwala wyznaczyć rzut prostokątny.</p>\n<p>W tym zadaniu nie stosujemy konkretnych wzorów obliczeniowych z karty - wystarczy znajomość <strong>definicji kąta nachylenia prostej do płaszczyzny</strong> (rzut prostokątny) oraz własności ostrosłupa prawidłowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Kąt | Błąd |<br>| B | \\(\\sphericalangle SAB\\) | To kąt między krawędzią boczną \\(SA\\) a krawędzią podstawy \\(AB\\) - nie jest to kąt między \\(SA\\) a jej rzutem na płaszczyznę, bo \\(AB\\) nie jest rzutem \\(SA\\) na podstawę |<br>| C | \\(\\sphericalangle SOA\\) | To <strong>ten sam trójkąt</strong> \\(SOA\\), ale kąt przy \\(O\\) - jest to kąt <strong>prosty</strong> (\\(90°\\)), bo \\(SO \\perp\\) podstawa. Nie jest to kąt nachylenia |<br>| D | \\(\\sphericalangle ASB\\) | To kąt przy wierzchołku \\(S\\) w trójkącie \\(ASB\\) - kąt między dwiema krawędziami bocznymi, nie między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej <strong>rzutem prostokątnym</strong> na tę płaszczyznę - NIE kąt między prostą a dowolną inną prostą leżącą w płaszczyźnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić \\(\\sphericalangle SAO\\) (kąt przy \\(A\\)) z \\(\\sphericalangle SOA\\) (kąt przy \\(O\\)). Kąt przy \\(O\\) to kąt prosty - \\(SO \\perp OA\\) - więc to nie jest kąt nachylenia, tylko warunek, który pozwala zdefiniować rzut.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W ostrosłupie prawidłowym środek podstawy \\(O\\) to rzut wierzchołka \\(S\\) - to wynika z symetrii. W ostrosłupie <strong>nieprawidłowym</strong> rzut \\(S\\) może być w innym punkcie i wtedy kąt nachylenia wyznaczylibyśmy inaczej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny</h5>\n<p>Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.</p>\n<p>Punkt \\(O\\) jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego (środek podstawy). Rzut \\(S\\) na podstawę to \\(O\\). Więc rzut \\(SA\\) na podstawę to odcinek \\(OA\\).</p>\n<p>Kąt między \\(SA\\) a \\(OA\\), wychodzący z punktu \\(A\\) (końca krawędzi leżącego w podstawie), to \\(\\sphericalangle SAO\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<p>Szukamy kąta o wierzchołku w punkcie podstawy (\\(A\\)), między krawędzią \\(SA\\) a jej rzutem \\(AO\\).</p>\n<ul><li>\\(\\sphericalangle SAO\\) - właściwy! ✓</li><li>\\(\\sphericalangle SAB\\) - kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy (to NIE to samo).</li><li>\\(\\sphericalangle SOA\\) - wierzchołek w \\(O\\), kąt prosty (\\(90^{\\circ}\\)) między wysokością \\(SO\\) a podstawą.</li><li>\\(\\sphericalangle ASB\\) - kąt w wierzchołku \\(S\\), nie jest kątem nachylenia.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Kąt \\(\\sphericalangle SAB\\) leży między krawędzią boczną a krawędzią <strong>podstawy</strong>, nie jej rzutem (to nie to samo).</li><li><strong>C.</strong> Kąt \\(\\sphericalangle SOA = 90^{\\circ}\\) - zawsze prosty, bo \\(SO\\) to wysokość.</li><li><strong>D.</strong> Kąt \\(\\sphericalangle ASB\\) to kąt płaski ściany bocznej \\(ASB\\), nie nachylenia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny = kąt między prostą a jej <strong>rzutem</strong> w płaszczyźnie. Wierzchołek kąta leży tam, gdzie prosta &quot;wchodzi&quot; w płaszczyznę.</p>"}]}