{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym\nw punkcie\n(\n)\n2,4\nA = -\n. Prosta k jest określona równaniem\n1\n7\n4\n2\ny\nx\n. Zatem prostą l\nopisuje równanie\nA.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\n2\ny\nx\nC.\n4\n12\ny\nx\nD.\n4\n12\ny\nx","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(21\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na graniastosłup n-kątny\n\nGraniastosłup zbudowany jest na podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym. Kluczowe wzory:\n\n- Wierzchołki: \\(2n\\) (po \\(n\\) w każdej podstawie)\n- Krawędzie: \\(3n\\) (\\(n\\) w dolnej podstawie + \\(n\\) w górnej + \\(n\\) bocznych)\n- Ściany: \\(n + 2\\)\n\n**Krok 1.** Mamy \\(14\\) wierzchołków, więc:\n\\[2n = 14 \\implies n = 7\\]\nTo graniastosłup **siedmiokątny**.\n\n**Krok 2.** Liczba krawędzi:\n\\[k = 3n = 3 \\cdot 7 = \\mathbf{21}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór Eulera (weryfikacja)\n\nWzór Eulera dla wielościanów: \\(V - E + F = 2\\), gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa siedmiokątnego:\n- \\(V = 14\\)\n- \\(F = 7 + 2 = 9\\) (7 ścian bocznych + 2 podstawy)\n- \\(E = ?\\)\n\nPodstawiamy do wzoru Eulera:\n\\[14 - E + 9 = 2\\]\n\\[23 - E = 2\\]\n\\[E = 21 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość budowy graniastosłupa i ewentualnie wzoru Eulera (który nie jest na karcie, ale jest standardową wiedzą geometryczną).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((14)\\) | Uczeń podaje liczbę wierzchołków zamiast krawędzi - myli pojęcia |\n| C \\((28)\\) | Uczeń liczy \\(2n = 2 \\cdot 14 = 28\\), zapominając że \\(14\\) to już liczba wierzchołków, a nie \\(n\\) |\n| D \\((26)\\) | Uczeń liczy \\(n + 2 = 7 + 2 = 9\\) ścian i myli je z krawędziami, lub stosuje błędny wzór \\(2n + n - 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) wierzchołków - jeśli zadanie mówi \"14 wierzchołków\", to \\(n = 7\\), a NIE \\(n = 14\\). Bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby wierzchołków, krawędzi i ścian. Zapamiętaj: **krawędzie = \\(3n\\)**, bo każdy wielokąt \\(n\\)-kątny ma \\(n\\) boków, a bocznych krawędzi (łączących podstawy) też jest \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego - to świetne narzędzie do sprawdzenia wyniku, gdy nie jesteś pewien wzoru na krawędzie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie wierzchołków i krawędzi\nW graniastosłupie \\(n\\)-bocznym są:\n- \\(2n\\) wierzchołków (\\(n\\) na górnej podstawie + \\(n\\) na dolnej),\n- \\(3n\\) krawędzi (\\(n\\) krawędzi górnej podstawy + \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy + \\(n\\) krawędzi bocznych).\n\nZ warunku: \\(2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\) (graniastosłup siedmiokątny).\n\nLiczba krawędzi: \\(3n = 3\\cdot 7 = 21\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera (karta wzorów): \\(W - K + S = 2\\)\n\\(W=14\\), graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(S = n+2\\) ścian. Dla \\(n=7\\): \\(S = 9\\).\n\n\\[14 - K + 9 = 2 \\Rightarrow K = 21.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - liczba wierzchołków, nie krawędzi.\n- **C. \\(28\\)** - \\(2\\cdot 14\\), bez logiki.\n- **D. \\(26\\)** - pomyłka z innym wielościanem.\n\n**Trik:** Pamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-boczny ma \\(2n\\) wierzchołków, \\(3n\\) krawędzi, \\(n+2\\) ścian. To zawsze pomaga.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym<br>w punkcie<br>(<br>)<br>2,4<br>A = -<br>. Prosta k jest określona równaniem<br>1<br>7<br>4<br>2<br>y<br>x<br>. Zatem prostą l<br>opisuje równanie<br>A.<br>1<br>7<br>4<br>2<br>y<br>x<br>B.<br>1<br>7<br>4<br>2<br>y<br>x<br>C.<br>4<br>12<br>y<br>x<br>D.<br>4<br>12<br>y<br>x</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(21\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na graniastosłup n-kątny</h4>\n<p>Graniastosłup zbudowany jest na podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym. Kluczowe wzory:</p>\n<ul><li>Wierzchołki: \\(2n\\) (po \\(n\\) w każdej podstawie)</li><li>Krawędzie: \\(3n\\) (\\(n\\) w dolnej podstawie + \\(n\\) w górnej + \\(n\\) bocznych)</li><li>Ściany: \\(n + 2\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Mamy \\(14\\) wierzchołków, więc:<br>\\[2n = 14 \\implies n = 7\\]<br>To graniastosłup <strong>siedmiokątny</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Liczba krawędzi:<br>\\[k = 3n = 3 \\cdot 7 = \\mathbf{21}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór Eulera (weryfikacja)</h4>\n<p>Wzór Eulera dla wielościanów: \\(V - E + F = 2\\), gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.</p>\n<p>Dla graniastosłupa siedmiokątnego:</p>\n<ul><li>\\(V = 14\\)</li><li>\\(F = 7 + 2 = 9\\) (7 ścian bocznych + 2 podstawy)</li><li>\\(E = ?\\)</li></ul>\n<p>Podstawiamy do wzoru Eulera:<br>\\[14 - E + 9 = 2\\]<br>\\[23 - E = 2\\]<br>\\[E = 21 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość budowy graniastosłupa i ewentualnie wzoru Eulera (który nie jest na karcie, ale jest standardową wiedzą geometryczną).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((14)\\) | Uczeń podaje liczbę wierzchołków zamiast krawędzi - myli pojęcia |<br>| C \\((28)\\) | Uczeń liczy \\(2n = 2 \\cdot 14 = 28\\), zapominając że \\(14\\) to już liczba wierzchołków, a nie \\(n\\) |<br>| D \\((26)\\) | Uczeń liczy \\(n + 2 = 7 + 2 = 9\\) ścian i myli je z krawędziami, lub stosuje błędny wzór \\(2n + n - 2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) wierzchołków - jeśli zadanie mówi &quot;14 wierzchołków&quot;, to \\(n = 7\\), a NIE \\(n = 14\\). Bardzo częsty błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić liczby wierzchołków, krawędzi i ścian. Zapamiętaj: <strong>krawędzie = \\(3n\\)</strong>, bo każdy wielokąt \\(n\\)-kątny ma \\(n\\) boków, a bocznych krawędzi (łączących podstawy) też jest \\(n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) działa dla każdego wielościanu wypukłego - to świetne narzędzie do sprawdzenia wyniku, gdy nie jesteś pewien wzoru na krawędzie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zliczanie wierzchołków i krawędzi</h5>\n<p>W graniastosłupie \\(n\\)-bocznym są:</p>\n<ul><li>\\(2n\\) wierzchołków (\\(n\\) na górnej podstawie + \\(n\\) na dolnej),</li><li>\\(3n\\) krawędzi (\\(n\\) krawędzi górnej podstawy + \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy + \\(n\\) krawędzi bocznych).</li></ul>\n<p>Z warunku: \\(2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\) (graniastosłup siedmiokątny).</p>\n<p>Liczba krawędzi: \\(3n = 3\\cdot 7 = 21\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór Eulera (karta wzorów): \\(W - K + S = 2\\)</h5>\n<p>\\(W=14\\), graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(S = n+2\\) ścian. Dla \\(n=7\\): \\(S = 9\\).</p>\n<p>\\[14 - K + 9 = 2 \\Rightarrow K = 21.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(14\\)</strong> - liczba wierzchołków, nie krawędzi.</li><li><strong>C. \\(28\\)</strong> - \\(2\\cdot 14\\), bez logiki.</li><li><strong>D. \\(26\\)</strong> - pomyłka z innym wielościanem.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Pamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-boczny ma \\(2n\\) wierzchołków, \\(3n\\) krawędzi, \\(n+2\\) ścian. To zawsze pomaga.</p>"}]}