{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n3\n3 54\n2\njest równa\nA.\n3 52\nB. 3\nC.\n3\n2 2\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych; w szczególności oblicza\npierwiastki, w tym pierwiastki\nnieparzystego stopnia z liczb ujemnych (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(b = 45\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Zapisujemy warunki zadania jako układ równań.**\n\nMamy dwie liczby \\(a, b > 0\\) takie, że:\n\\[a \\cdot b = 1350\\]\n\\[15\\% \\cdot a = 10\\% \\cdot b\\]\n\nDrugie równanie przekształcamy:\n\\[\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\]\n\\[15a = 10b\\]\n\\[\\frac{a}{b} = \\frac{10}{15} = \\frac{2}{3}\\]\n\nZatem \\(a = \\frac{2}{3}b\\). Podstawiamy do pierwszego równania:\n\\[\\frac{2}{3}b \\cdot b = 1350\\]\n\\[\\frac{2}{3}b^2 = 1350\\]\n\\[b^2 = 1350 \\cdot \\frac{3}{2} = 2025\\]\n\\[b = \\sqrt{2025} = \\mathbf{45}\\]\n\n(Bierzemy pierwiastek dodatni, bo \\(b > 0\\).)\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie a wprost z proporcji, potem iloczynu\n\nZ warunku \\(15a = 10b\\) wyznaczamy \\(a\\):\n\\[a = \\frac{10b}{15} = \\frac{2b}{3}\\]\n\nPodstawiamy do \\(a \\cdot b = 1350\\):\n\\[\\frac{2b}{3} \\cdot b = 1350\\]\n\nTo samo co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy sprawdzić odpowiedź C przez **weryfikację**:\n\nJeśli \\(b = 45\\), to:\n\\[a = \\frac{1350}{45} = 30\\]\n\nSprawdzamy warunek procentowy:\n\\[15\\% \\cdot 30 = 0{,}15 \\cdot 30 = 4{,}5\\]\n\\[10\\% \\cdot 45 = 0{,}10 \\cdot 45 = 4{,}5\\]\n\n**Zgadza się - \\(15\\%\\) z \\(30\\) rzeczywiście równa się \\(10\\%\\) z \\(45\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne oraz zamiana procentów na ułamki dziesiętne/zwykłe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(9\\) | Wzięcie pierwiastka ze złej liczby lub pomylenie \\(a\\) z \\(b\\) i wyliczenie \\(\\sqrt{81}\\) |\n| B. \\(18\\) | Pomylenie proporcji - przyjęcie \\(\\frac{a}{b} = \\frac{15}{10} = \\frac{3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\), co daje \\(b^2 = 900\\), \\(b = 30\\), a potem zgadywanie |\n| D. \\(50\\) | Błąd przy upraszczaniu proporcji lub przestawienie: policzono \\(a = 45\\) zamiast \\(b = 45\\), a potem \\(b = \\frac{1350}{45} = 30\\), ale zaokrąglono do 50 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana procentów na ułamki - \\(15\\% = \\frac{15}{100}\\), \\(10\\% = \\frac{10}{100}\\). Przy upraszczaniu \\(\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\) można od razu pomnożyć obie strony przez 100 i dostać \\(15a = 10b\\). Nie zapomnij podzielić obu stron przez 5: \\(3a = 2b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(3a = 2b\\) wynika \\(a = \\frac{2}{3}b\\), NIE \\(a = \\frac{3}{2}b\\). To najczęstszy błąd - odwrócenie proporcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2025} = 45\\), bo \\(45^2 = 2025\\). Warto sprawdzić: \\(40^2 = 1600\\), \\(50^2 = 2500\\), więc szukamy między nimi. \\(45^2 = (40+5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025\\). ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nZ warunku \\(0{,}15a = 0{,}1b\\) mamy \\(a = \\dfrac{0{,}1}{0{,}15}b = \\dfrac{2}{3}b\\).\n\nPodstawiamy do \\(ab = 1350\\):\n\\[\\dfrac{2}{3}b\\cdot b = 1350 \\Rightarrow \\dfrac{2}{3}b^2 = 1350 \\Rightarrow b^2 = 2025 \\Rightarrow b = 45\\] (dodatnia).\n\n### Sposób 2 - Stosunki\n\\(\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{10}{15} = \\dfrac{2}{3}\\), więc \\(a : b = 2 : 3\\). Przyjmijmy \\(a = 2k\\), \\(b = 3k\\). Wtedy \\(ab = 6k^2 = 1350\\), czyli \\(k^2 = 225\\), \\(k = 15\\). Zatem \\(b = 3\\cdot 15 = 45\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\)** - wtedy \\(a = 6\\), \\(ab = 54 \\ne 1350\\).\n- **B. \\(18\\)** - wtedy \\(a = 12\\), \\(ab = 216 \\ne 1350\\).\n- **D. \\(50\\)** - wtedy \\(a = \\tfrac{100}{3}\\), \\(ab \\approx 1667\\).\n\n**Trik:** gdy \\(p\\%\\) jednej liczby = \\(q\\%\\) drugiej, to \\(a:b = q:p\\) (uwaga na zamianę!).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Liczba<br>3<br>3 54<br>2<br>jest równa<br>A.<br>3 52<br>B. 3<br>C.<br>3<br>2 2<br>D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający planuje</li></ol>\n<p>i wykonuje obliczenia na liczbach<br>rzeczywistych; w szczególności oblicza<br>pierwiastki, w tym pierwiastki<br>nieparzystego stopnia z liczb ujemnych (1.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(b = 45\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań</h4>\n<p><strong>Zapisujemy warunki zadania jako układ równań.</strong></p>\n<p>Mamy dwie liczby \\(a, b &gt; 0\\) takie, że:<br>\\[a \\cdot b = 1350\\]<br>\\[15\\% \\cdot a = 10\\% \\cdot b\\]</p>\n<p>Drugie równanie przekształcamy:<br>\\[\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\]<br>\\[15a = 10b\\]<br>\\[\\frac{a}{b} = \\frac{10}{15} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Zatem \\(a = \\frac{2}{3}b\\). Podstawiamy do pierwszego równania:<br>\\[\\frac{2}{3}b \\cdot b = 1350\\]<br>\\[\\frac{2}{3}b^2 = 1350\\]<br>\\[b^2 = 1350 \\cdot \\frac{3}{2} = 2025\\]<br>\\[b = \\sqrt{2025} = \\mathbf{45}\\]</p>\n<p>(Bierzemy pierwiastek dodatni, bo \\(b &gt; 0\\).)</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie a wprost z proporcji, potem iloczynu</h4>\n<p>Z warunku \\(15a = 10b\\) wyznaczamy \\(a\\):<br>\\[a = \\frac{10b}{15} = \\frac{2b}{3}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do \\(a \\cdot b = 1350\\):<br>\\[\\frac{2b}{3} \\cdot b = 1350\\]</p>\n<p>To samo co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy sprawdzić odpowiedź C przez <strong>weryfikację</strong>:</p>\n<p>Jeśli \\(b = 45\\), to:<br>\\[a = \\frac{1350}{45} = 30\\]</p>\n<p>Sprawdzamy warunek procentowy:<br>\\[15\\% \\cdot 30 = 0{,}15 \\cdot 30 = 4{,}5\\]<br>\\[10\\% \\cdot 45 = 0{,}10 \\cdot 45 = 4{,}5\\]</p>\n<p><strong>Zgadza się - \\(15\\%\\) z \\(30\\) rzeczywiście równa się \\(10\\%\\) z \\(45\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne oraz zamiana procentów na ułamki dziesiętne/zwykłe.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(9\\) | Wzięcie pierwiastka ze złej liczby lub pomylenie \\(a\\) z \\(b\\) i wyliczenie \\(\\sqrt{81}\\) |<br>| B. \\(18\\) | Pomylenie proporcji - przyjęcie \\(\\frac{a}{b} = \\frac{15}{10} = \\frac{3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\), co daje \\(b^2 = 900\\), \\(b = 30\\), a potem zgadywanie |<br>| D. \\(50\\) | Błąd przy upraszczaniu proporcji lub przestawienie: policzono \\(a = 45\\) zamiast \\(b = 45\\), a potem \\(b = \\frac{1350}{45} = 30\\), ale zaokrąglono do 50 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zamiana procentów na ułamki - \\(15\\% = \\frac{15}{100}\\), \\(10\\% = \\frac{10}{100}\\). Przy upraszczaniu \\(\\frac{15}{100} \\cdot a = \\frac{10}{100} \\cdot b\\) można od razu pomnożyć obie strony przez 100 i dostać \\(15a = 10b\\). Nie zapomnij podzielić obu stron przez 5: \\(3a = 2b\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z równania \\(3a = 2b\\) wynika \\(a = \\frac{2}{3}b\\), NIE \\(a = \\frac{3}{2}b\\). To najczęstszy błąd - odwrócenie proporcji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{2025} = 45\\), bo \\(45^2 = 2025\\). Warto sprawdzić: \\(40^2 = 1600\\), \\(50^2 = 2500\\), więc szukamy między nimi. \\(45^2 = (40+5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025\\). ✓</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Układ równań</h5>\n<p>Z warunku \\(0{,}15a = 0{,}1b\\) mamy \\(a = \\dfrac{0{,}1}{0{,}15}b = \\dfrac{2}{3}b\\).</p>\n<p>Podstawiamy do \\(ab = 1350\\):<br>\\[\\dfrac{2}{3}b\\cdot b = 1350 \\Rightarrow \\dfrac{2}{3}b^2 = 1350 \\Rightarrow b^2 = 2025 \\Rightarrow b = 45\\] (dodatnia).</p>\n<h5>Sposób 2 - Stosunki</h5>\n<p>\\(\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{10}{15} = \\dfrac{2}{3}\\), więc \\(a : b = 2 : 3\\). Przyjmijmy \\(a = 2k\\), \\(b = 3k\\). Wtedy \\(ab = 6k^2 = 1350\\), czyli \\(k^2 = 225\\), \\(k = 15\\). Zatem \\(b = 3\\cdot 15 = 45\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(9\\)</strong> - wtedy \\(a = 6\\), \\(ab = 54 \\ne 1350\\).</li><li><strong>B. \\(18\\)</strong> - wtedy \\(a = 12\\), \\(ab = 216 \\ne 1350\\).</li><li><strong>D. \\(50\\)</strong> - wtedy \\(a = \\tfrac{100}{3}\\), \\(ab \\approx 1667\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy \\(p\\%\\) jednej liczby = \\(q\\%\\) drugiej, to \\(a:b = q:p\\) (uwaga na zamianę!).</p>"}]}