{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDany jest okrąg o środku\n(\n)\n2,3\nS =\ni promieniu\n5\nr =\n. Który z podanych punktów leży na\ntym okręgu?\nA.\n(\n)\n1,7\nA = -\nB.\n(\n)\n2, 3\nB =\nC.\n(\n)\n3,2\nC =\nD.\n(\n)\n5,3\nD =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nProsta \\(k\\) ma równanie \\(x - 4 = 0\\), czyli \\(x = 4\\).\n\n## Sposób 1 - definicja prostej prostopadłej do osi \\(Ox\\)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** oś \\(Ox\\) jest pozioma. Prosta **prostopadła** do osi \\(Ox\\) musi być **pionowa**.\n\nKażda pionowa prosta ma równanie postaci:\n\\[x = \\text{stała}\\]\n\nSkoro prosta \\(k\\) przechodzi przez punkt \\(A = (4, -4)\\), to jej współrzędna \\(x\\) wynosi zawsze \\(4\\), niezależnie od wartości \\(y\\).\n\n**Zatem:**\n\\[x = 4 \\quad \\text{czyli} \\quad x - 4 = 0\\]\n\nTo jest odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (4, -4)\\) spełnia równanie \\(x - 4 = 0\\):\n\\[4 - 4 = 0 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy też, czy prosta \\(x = 4\\) jest pionowa (prostopadła do \\(Ox\\)):\n- Prosta \\(x = 4\\) nie ma skończonego współczynnika kierunkowego - jest pionowa.\n- Oś \\(Ox\\) jest pozioma (współczynnik kierunkowy \\(= 0\\)).\n- Prosta pionowa jest zawsze prostopadła do prostej poziomej. \\(\\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony: **\\(x - 4 = 0\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nProsta pionowa (\\(x = \\text{stała}\\)) **nie** ma postaci kierunkowej - współczynnik kierunkowy nie istnieje (tangens kąta prostego jest nieokreślony). Zapisujemy ją jako równanie ogólne:\n\\[Ax + By + C = 0 \\quad \\text{z } B = 0\\]\nczyli \\(x - 4 = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Równanie | Błąd |\n| B | \\(x - y = 0\\), czyli \\(y = x\\) | To prosta skośna (pod kątem 45°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). Nie jest prostopadła do \\(Ox\\). |\n| C | \\(y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -4\\) | To prosta **pozioma** - równoległa do \\(Ox\\), a nie prostopadła. Uczeń myli „prostopadła do \\(Ox\\)\" z „przechodzi przez \\(y = -4\\)\". |\n| D | \\(x + y = 0\\), czyli \\(y = -x\\) | To prosta skośna (pod kątem 135°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi **C** - uczeń widzi \\(-4\\) w punkcie \\(A\\) i zapisuje \\(y = -4\\). To prosta **równoległa** do \\(Ox\\), a nie prostopadła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła do \\(Ox\\) (poziomej) to prosta **pionowa**, a prosta prostopadła do \\(Oy\\) (pionowej) to prosta **pozioma**. Łatwo te dwie rzeczy pomylić - warto narysować szkic.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pionowa prosta \\(x = 4\\) nie ma postaci \\(y = ax + b\\) - nie da się jej zapisać ze współczynnikiem kierunkowym. Jej jedyną poprawną formą jest \\(x = \\text{stała}\\) lub \\(x - \\text{stała} = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Prosta prostopadła do osi \\(Ox\\)\nProsta prostopadła do osi poziomej (\\(Ox\\)) jest **pionowa**, ma równanie \\(x = \\text{const}\\).\n\nProsta przechodzi przez \\(A = (4, -4)\\), więc \\(x = 4\\), czyli \\(x - 4 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu\nDla każdej odpowiedzi sprawdzamy, czy punkt \\(A=(4,-4)\\) spełnia równanie:\n- A: \\(4 - 4 = 0\\) ✓ oraz prosta jest pionowa ✓\n- B: \\(4 - (-4) = 8 \\ne 0\\) ✗\n- C: \\(-4 + 4 = 0\\) ✓ ale to prosta pozioma (\\(y = -4\\)), równoległa do \\(Ox\\), nie prostopadła.\n- D: \\(4 + (-4) = 0\\) ✓ ale to prosta \\(y = -x\\), nachylona pod \\(135^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(x-y=0\\)** - prosta \\(y=x\\), nachylona pod \\(45^{\\circ}\\), nie prostopadła do \\(Ox\\).\n- **C. \\(y+4=0\\)** - prosta pozioma \\(y=-4\\); **równoległa** do \\(Ox\\) (nie prostopadła).\n- **D. \\(x+y=0\\)** - prosta \\(y=-x\\), pod \\(135^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** Pionowa prosta to zawsze \\(x = a\\) (pomija ją wzór \\(y = ax+b\\) - nie ma stąd \\(y\\)!).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Dany jest okrąg o środku<br>(<br>)<br>2,3<br>S =<br>i promieniu<br>5<br>r =<br>. Który z podanych punktów leży na<br>tym okręgu?<br>A.<br>(<br>)<br>1,7<br>A = -<br>B.<br>(<br>)<br>2, 3<br>B =<br>C.<br>(<br>)<br>3,2<br>C =<br>D.<br>(<br>)<br>5,3<br>D =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający oblicza odległości punktów na<br>płaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Prosta \\(k\\) ma równanie \\(x - 4 = 0\\), czyli \\(x = 4\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - definicja prostej prostopadłej do osi \\(Ox\\)</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> oś \\(Ox\\) jest pozioma. Prosta <strong>prostopadła</strong> do osi \\(Ox\\) musi być <strong>pionowa</strong>.</p>\n<p>Każda pionowa prosta ma równanie postaci:<br>\\[x = \\text{stała}\\]</p>\n<p>Skoro prosta \\(k\\) przechodzi przez punkt \\(A = (4, -4)\\), to jej współrzędna \\(x\\) wynosi zawsze \\(4\\), niezależnie od wartości \\(y\\).</p>\n<p><strong>Zatem:</strong><br>\\[x = 4 \\quad \\text{czyli} \\quad x - 4 = 0\\]</p>\n<p>To jest odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy punkt \\(A = (4, -4)\\) spełnia równanie \\(x - 4 = 0\\):<br>\\[4 - 4 = 0 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy też, czy prosta \\(x = 4\\) jest pionowa (prostopadła do \\(Ox\\)):</p>\n<ul><li>Prosta \\(x = 4\\) nie ma skończonego współczynnika kierunkowego - jest pionowa.</li><li>Oś \\(Ox\\) jest pozioma (współczynnik kierunkowy \\(= 0\\)).</li><li>Prosta pionowa jest zawsze prostopadła do prostej poziomej. \\(\\checkmark\\)</li></ul>\n<p>Wynik potwierdzony: <strong>\\(x - 4 = 0\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]</p>\n<p>Prosta pionowa (\\(x = \\text{stała}\\)) <strong>nie</strong> ma postaci kierunkowej - współczynnik kierunkowy nie istnieje (tangens kąta prostego jest nieokreślony). Zapisujemy ją jako równanie ogólne:<br>\\[Ax + By + C = 0 \\quad \\text{z } B = 0\\]<br>czyli \\(x - 4 = 0\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Równanie | Błąd |<br>| B | \\(x - y = 0\\), czyli \\(y = x\\) | To prosta skośna (pod kątem 45°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). Nie jest prostopadła do \\(Ox\\). |<br>| C | \\(y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -4\\) | To prosta <strong>pozioma</strong> - równoległa do \\(Ox\\), a nie prostopadła. Uczeń myli „prostopadła do \\(Ox\\)&quot; z „przechodzi przez \\(y = -4\\)&quot;. |<br>| D | \\(x + y = 0\\), czyli \\(y = -x\\) | To prosta skośna (pod kątem 135°), przechodzi przez \\((0,0)\\), nie przez \\(A = (4,-4)\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi <strong>C</strong> - uczeń widzi \\(-4\\) w punkcie \\(A\\) i zapisuje \\(y = -4\\). To prosta <strong>równoległa</strong> do \\(Ox\\), a nie prostopadła!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta prostopadła do \\(Ox\\) (poziomej) to prosta <strong>pionowa</strong>, a prosta prostopadła do \\(Oy\\) (pionowej) to prosta <strong>pozioma</strong>. Łatwo te dwie rzeczy pomylić - warto narysować szkic.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pionowa prosta \\(x = 4\\) nie ma postaci \\(y = ax + b\\) - nie da się jej zapisać ze współczynnikiem kierunkowym. Jej jedyną poprawną formą jest \\(x = \\text{stała}\\) lub \\(x - \\text{stała} = 0\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Prosta prostopadła do osi \\(Ox\\)</h5>\n<p>Prosta prostopadła do osi poziomej (\\(Ox\\)) jest <strong>pionowa</strong>, ma równanie \\(x = \\text{const}\\).</p>\n<p>Prosta przechodzi przez \\(A = (4, -4)\\), więc \\(x = 4\\), czyli \\(x - 4 = 0\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie punktu</h5>\n<p>Dla każdej odpowiedzi sprawdzamy, czy punkt \\(A=(4,-4)\\) spełnia równanie:</p>\n<ul><li>A: \\(4 - 4 = 0\\) ✓ oraz prosta jest pionowa ✓</li><li>B: \\(4 - (-4) = 8 \\ne 0\\) ✗</li><li>C: \\(-4 + 4 = 0\\) ✓ ale to prosta pozioma (\\(y = -4\\)), równoległa do \\(Ox\\), nie prostopadła.</li><li>D: \\(4 + (-4) = 0\\) ✓ ale to prosta \\(y = -x\\), nachylona pod \\(135^{\\circ}\\).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(x-y=0\\)</strong> - prosta \\(y=x\\), nachylona pod \\(45^{\\circ}\\), nie prostopadła do \\(Ox\\).</li><li><strong>C. \\(y+4=0\\)</strong> - prosta pozioma \\(y=-4\\); <strong>równoległa</strong> do \\(Ox\\) (nie prostopadła).</li><li><strong>D. \\(x+y=0\\)</strong> - prosta \\(y=-x\\), pod \\(135^{\\circ}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Pionowa prosta to zawsze \\(x = a\\) (pomija ją wzór \\(y = ax+b\\) - nie ma stąd \\(y\\)!).</p>"}]}