{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym\nwysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź\npodstawy tego graniastosłupa jest równa\nA.\n10\nB. 3 10\nC.\n42\nD. 3 42\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 1 - Nachylenie prostej przez kąt (wzór z tangensem)\n\n**Kluczowy fakt:** Współczynnik kierunkowy prostej \\(a\\) w równaniu \\(y = ax + b\\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).\n\n\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nMamy \\(\\alpha = 30°\\), więc:\n\n\\[a = \\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sin 30°}{\\cos 30°} = \\frac{\\dfrac{1}{2}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -\\sqrt{3})\\), więc wyraz wolny:\n\n\\[b = -\\sqrt{3}\\]\n\n**Równanie prostej:**\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy prosta z odpowiedzi A faktycznie przechodzi przez punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) i ma właściwy kąt nachylenia.\n\n**Krok 1 - sprawdzenie punktu \\((0, -\\sqrt{3})\\):**\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - \\sqrt{3} = -\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2 - znalezienie drugiego punktu i sprawdzenie kąta.**\n\nWeźmy \\(x = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\frac{3}{3} - \\sqrt{3} = 1 - \\sqrt{3}\\]\n\nProsta przechodzi przez \\(A = (0, -\\sqrt{3})\\) i \\(B = (\\sqrt{3},\\ 1-\\sqrt{3})\\).\n\nTangent kąta nachylenia:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{(1-\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})}{\\sqrt{3} - 0} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nA \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓ - wynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) - dokładnie tego użyliśmy w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla \\(30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nBez znajomości tej wartości nie da się wyznaczyć współczynnika kierunkowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale **zły znak wyrazu wolnego** - wzięto \\(+\\sqrt{3}\\) zamiast \\(-\\sqrt{3}\\); prosta przechodziłaby przez \\((0, +\\sqrt{3})\\) |\n| C | **Zły współczynnik kierunkowy** - wzięto \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}30°\\); pomylono sinus z tangensem |\n| D | **Podwójny błąd** - zarówno zły współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\) (sinus zamiast tangens), jak i zły znak wyrazu wolnego \\(+\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej odpowiada **tangensowi**, nie sinusowi ani kosinusowi! Odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka - \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\), a nie \\(\\operatorname{tg}30°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) leży **poniżej** zera, więc wyraz wolny jest ujemny: \\(b = -\\sqrt{3}\\). Odpowiedzi B i D mają \\(b = +\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd przy odczytywaniu wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - obie formy są równe, ale CKE zapisuje w formie z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) (bez pierwiastka w mianowniku). Zawsze **racjonalizuj mianownik** w odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy jako tangens kąta nachylenia\nW równaniu \\(y = ax + b\\):\n- \\(a = \\operatorname{tg}(\\text{kąt nachylenia}) = \\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) (karta wzorów),\n- \\(b = \\) rzędna punktu przecięcia z osią \\(Oy\\) = \\(-\\sqrt{3}\\).\n\n\\[y = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wartości \\(\\operatorname{tg}\\) standardowych kątów\nKąty znane: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1\\), \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).\n\nWyraz wolny \\(= -\\sqrt{3}\\) (bo przecina \\(Oy\\) poniżej zera).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(+\\sqrt{3}\\)** - zły znak wyrazu wolnego (\\(+\\) zamiast \\(-\\)).\n- **C. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\sin 30^{\\circ}\\), nie tangens.\n- **D.** - podwójny błąd (oba współczynniki złe).\n\n**Trik:** Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} \\cdot \\operatorname{tg} 60^{\\circ} = 1\\). \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym<br>wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź<br>podstawy tego graniastosłupa jest równa<br>A.<br>10<br>B. 3 10<br>C.<br>42<br>D. 3 42</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w wielościanach (9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Nachylenie prostej przez kąt (wzór z tangensem)</h4>\n<p><strong>Kluczowy fakt:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej \\(a\\) w równaniu \\(y = ax + b\\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\).</p>\n<p>\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]</p>\n<p>Mamy \\(\\alpha = 30°\\), więc:</p>\n<p>\\[a = \\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sin 30°}{\\cos 30°} = \\frac{\\dfrac{1}{2}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>Prosta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -\\sqrt{3})\\), więc wyraz wolny:</p>\n<p>\\[b = -\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Równanie prostej:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{y = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy prosta z odpowiedzi A faktycznie przechodzi przez punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) i ma właściwy kąt nachylenia.</p>\n<p><strong>Krok 1 - sprawdzenie punktu \\((0, -\\sqrt{3})\\):</strong></p>\n<p>\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - \\sqrt{3} = -\\sqrt{3} \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - znalezienie drugiego punktu i sprawdzenie kąta.</strong></p>\n<p>Weźmy \\(x = \\sqrt{3}\\):</p>\n<p>\\[y = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\sqrt{3} - \\sqrt{3} = \\frac{3}{3} - \\sqrt{3} = 1 - \\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Prosta przechodzi przez \\(A = (0, -\\sqrt{3})\\) i \\(B = (\\sqrt{3},\\ 1-\\sqrt{3})\\).</p>\n<p>Tangent kąta nachylenia:</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{(1-\\sqrt{3}) - (-\\sqrt{3})}{\\sqrt{3} - 0} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>A \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓ - wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Współczynnik kierunkowy \\(a\\) to tangens kąta nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) - dokładnie tego użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wartości funkcji trygonometrycznych dla \\(30°\\):<br>\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]<br>Bez znajomości tej wartości nie da się wyznaczyć współczynnika kierunkowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale <strong>zły znak wyrazu wolnego</strong> - wzięto \\(+\\sqrt{3}\\) zamiast \\(-\\sqrt{3}\\); prosta przechodziłaby przez \\((0, +\\sqrt{3})\\) |<br>| C | <strong>Zły współczynnik kierunkowy</strong> - wzięto \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}30°\\); pomylono sinus z tangensem |<br>| D | <strong>Podwójny błąd</strong> - zarówno zły współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\) (sinus zamiast tangens), jak i zły znak wyrazu wolnego \\(+\\sqrt{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia prostej odpowiada <strong>tangensowi</strong>, nie sinusowi ani kosinusowi! Odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka - \\(\\frac{1}{2} = \\sin 30°\\), a nie \\(\\operatorname{tg}30°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\((0, -\\sqrt{3})\\) leży <strong>poniżej</strong> zera, więc wyraz wolny jest ujemny: \\(b = -\\sqrt{3}\\). Odpowiedzi B i D mają \\(b = +\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd przy odczytywaniu wykresu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - obie formy są równe, ale CKE zapisuje w formie z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) (bez pierwiastka w mianowniku). Zawsze <strong>racjonalizuj mianownik</strong> w odpowiedzi!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy jako tangens kąta nachylenia</h5>\n<p>W równaniu \\(y = ax + b\\):</p>\n<ul><li>\\(a = \\operatorname{tg}(\\text{kąt nachylenia}) = \\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) (karta wzorów),</li><li>\\(b = \\) rzędna punktu przecięcia z osią \\(Oy\\) = \\(-\\sqrt{3}\\).</li></ul>\n<p>\\[y = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x - \\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wartości \\(\\operatorname{tg}\\) standardowych kątów</h5>\n<p>Kąty znane: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 1\\), \\(\\operatorname{tg} 60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\).</p>\n<p>Wyraz wolny \\(= -\\sqrt{3}\\) (bo przecina \\(Oy\\) poniżej zera).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(+\\sqrt{3}\\)</strong> - zły znak wyrazu wolnego (\\(+\\) zamiast \\(-\\)).</li><li><strong>C. \\(a=\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - to \\(\\sin 30^{\\circ}\\), nie tangens.</li><li><strong>D.</strong> - podwójny błąd (oba współczynniki złe).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} \\cdot \\operatorname{tg} 60^{\\circ} = 1\\). \\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).</p>"}]}