{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPromień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz\nrysunek) jest równy\nA. 1\n2\nB.\n2\n2\nC.\n3\n2\nD. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(18\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na objętość stożka\n\n**Dane:** wysokość \\(h = 6\\), tworząca \\(l = 3\\sqrt{5}\\).\n\nNajpierw wyznaczamy promień podstawy. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy środku podstawy), więc z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\n\n\\[(3\\sqrt{5})^2 = r^2 + 6^2\\]\n\n\\[45 = r^2 + 36\\]\n\n\\[r^2 = 9\\]\n\n\\[r = 3\\]\n\nTeraz liczymy objętość stożka:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\frac{1}{3} \\cdot 54\\pi = \\mathbf{18\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie tworzacej\n\nMamy wynik \\(r = 3\\), \\(h = 6\\). Sprawdzamy, czy tworząca faktycznie wynosi \\(3\\sqrt{5}\\):\n\n\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5} \\checkmark\\]\n\nZgadza się - dane są spójne, a obliczony promień jest poprawny. Objętość wynosi \\(\\mathbf{18\\pi}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy go w ostatnim kroku po wyznaczeniu promienia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia promienia podstawy z wysokości i tworzacej stożka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(r^2 = 9\\), ale wzięto \\(r = 9\\) zamiast \\(r^2 = 9\\), czyli \\(V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 4\\) - różne pomyłki w rachunkach dające \\(36\\pi\\) |\n| C | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 9 \\cdot 12 = 108\\pi\\) (lub błędne \\(h\\)) |\n| D | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 54\\pi\\) - typowa pułapka! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość stożka. Odpowiedź D (\\(54\\pi\\)) to dokładnie wynik bez tej jednej trójki - łatwo wpaść!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \\(l\\) to **nie** to samo co wysokość \\(h\\). Tworząca jest zawsze **dłuższa** niż wysokość. Upewnij się, że do wzoru \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) wstawiasz \\(h = 6\\), a nie \\(l = 3\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3\\sqrt{5})^2 = 9 \\cdot 5 = 45\\), nie \\(3 \\cdot 5 = 15\\) ani \\(9\\sqrt{5}\\). Pamiętaj, że potęga działa na cały iloczyn: \\((ab)^2 = a^2 b^2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Pitagoras + wzór na objętość (karta wzorów: \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2}H\\))\nW stożku: \\(l^{2} = r^{2} + H^{2}\\), gdzie \\(l\\) - tworząca, \\(H\\) - wysokość, \\(r\\) - promień:\n\\[(3\\sqrt{5})^{2} = r^{2} + 6^{2},\\]\n\\[45 = r^{2} + 36 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]\n\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 3^{2} \\cdot 6 = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 18\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie bez wyznaczania \\(r\\) osobno\nZauważ, że \\(r^{2} = l^{2} - H^{2} = 45 - 36 = 9\\), więc \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 18\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\pi\\)** - bez mnożnika \\(\\tfrac{1}{3}\\) (pomylono z walcem: \\(V_\\text{walca} = \\pi r^{2} H = 54\\pi\\))? Lub \\(\\pi r^{2} + \\). Ktoś mógł wziąć \\(r=2\\).\n- **C. \\(108\\pi\\)** - \\(\\pi r^{2} H \\cdot 2\\) lub użyto tworzącej zamiast wysokości.\n- **D. \\(54\\pi\\)** - \\(\\pi r^{2} H\\) (wzór na walec, nie stożek).\n\n**Trik:** Stożek = \\(\\tfrac{1}{3}\\) walca o tej samej podstawie i wysokości. Zapomnij \\(\\tfrac{1}{3}\\) = błąd.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz<br>rysunek) jest równy<br>A. 1<br>2<br>B.<br>2<br>2<br>C.<br>3<br>2<br>D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w bryłach obrotowych<br>z zastosowaniem trygonometrii (9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(18\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - ze wzoru na objętość stożka</h4>\n<p><strong>Dane:</strong> wysokość \\(h = 6\\), tworząca \\(l = 3\\sqrt{5}\\).</p>\n<p>Najpierw wyznaczamy promień podstawy. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy środku podstawy), więc z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\[l^2 = r^2 + h^2\\]</p>\n<p>\\[(3\\sqrt{5})^2 = r^2 + 6^2\\]</p>\n<p>\\[45 = r^2 + 36\\]</p>\n<p>\\[r^2 = 9\\]</p>\n<p>\\[r = 3\\]</p>\n<p>Teraz liczymy objętość stożka:</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\frac{1}{3} \\cdot 54\\pi = \\mathbf{18\\pi}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie tworzacej</h4>\n<p>Mamy wynik \\(r = 3\\), \\(h = 6\\). Sprawdzamy, czy tworząca faktycznie wynosi \\(3\\sqrt{5}\\):</p>\n<p>\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5} \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się - dane są spójne, a obliczony promień jest poprawny. Objętość wynosi \\(\\mathbf{18\\pi}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość stożka:<br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy go w ostatnim kroku po wyznaczeniu promienia.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia promienia podstawy z wysokości i tworzacej stożka.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(r^2 = 9\\), ale wzięto \\(r = 9\\) zamiast \\(r^2 = 9\\), czyli \\(V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 4\\) - różne pomyłki w rachunkach dające \\(36\\pi\\) |<br>| C | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 9 \\cdot 12 = 108\\pi\\) (lub błędne \\(h\\)) |<br>| D | Zapomniano o \\(\\frac{1}{3}\\): \\(\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 54\\pi\\) - typowa pułapka! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapomnienie o \\(\\frac{1}{3}\\) w wzorze na objętość stożka. Odpowiedź D (\\(54\\pi\\)) to dokładnie wynik bez tej jednej trójki - łatwo wpaść!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tworząca \\(l\\) to <strong>nie</strong> to samo co wysokość \\(h\\). Tworząca jest zawsze <strong>dłuższa</strong> niż wysokość. Upewnij się, że do wzoru \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\) wstawiasz \\(h = 6\\), a nie \\(l = 3\\sqrt{5}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((3\\sqrt{5})^2 = 9 \\cdot 5 = 45\\), nie \\(3 \\cdot 5 = 15\\) ani \\(9\\sqrt{5}\\). Pamiętaj, że potęga działa na cały iloczyn: \\((ab)^2 = a^2 b^2\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Pitagoras + wzór na objętość (karta wzorów: \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2}H\\))</h5>\n<p>W stożku: \\(l^{2} = r^{2} + H^{2}\\), gdzie \\(l\\) - tworząca, \\(H\\) - wysokość, \\(r\\) - promień:<br>\\[(3\\sqrt{5})^{2} = r^{2} + 6^{2},\\]<br>\\[45 = r^{2} + 36 \\Rightarrow r^{2} = 9 \\Rightarrow r = 3.\\]</p>\n<p>Objętość:<br>\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 3^{2} \\cdot 6 = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 18\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie bez wyznaczania \\(r\\) osobno</h5>\n<p>Zauważ, że \\(r^{2} = l^{2} - H^{2} = 45 - 36 = 9\\), więc \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 18\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(36\\pi\\)</strong> - bez mnożnika \\(\\tfrac{1}{3}\\) (pomylono z walcem: \\(V_\\text{walca} = \\pi r^{2} H = 54\\pi\\))? Lub \\(\\pi r^{2} + \\). Ktoś mógł wziąć \\(r=2\\).</li><li><strong>C. \\(108\\pi\\)</strong> - \\(\\pi r^{2} H \\cdot 2\\) lub użyto tworzącej zamiast wysokości.</li><li><strong>D. \\(54\\pi\\)</strong> - \\(\\pi r^{2} H\\) (wzór na walec, nie stożek).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Stożek = \\(\\tfrac{1}{3}\\) walca o tej samej podstawie i wysokości. Zapomnij \\(\\tfrac{1}{3}\\) = błąd.</p>"}]}