{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nDany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa\nA. 576π\nB. 192π\nC. 144π\nD. 48π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - mediana wynosi \\(9\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z warunku na średnią arytmetyczną.**\n\nZestaw ma \\(8\\) elementów: \\(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\).\n\nWzór na średnią:\n\\[\\bar{a} = \\frac{x + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14}{8} = 9\\]\n\nSumujemy znane wyrazy:\n\\[2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{x + 56}{8} = 9\\]\n\\[x + 56 = 72\\]\n\\[\\boxed{x = 16}\\]\n\n**Krok 2: Układamy dane w porządku rosnącym.**\n\nPełny zestaw po wstawieniu \\(x = 16\\):\n\\[2,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 10,\\ 12,\\ 14,\\ 16\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy medianę.**\n\nMamy \\(n = 8\\) elementów (parzysta liczba). Mediana to **średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu** w uszeregowanym ciągu:\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{8 + 10}{2} = \\frac{18}{2} = \\boxed{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Obserwacja symetryczna (bez liczenia \\(x\\))\n\nZauważamy, że znane wyrazy \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o środku \\(\\frac{2+14}{2} = 8\\).\n\nŚrednia całego zestawu wynosi \\(9 > 8\\), więc nieznany wyraz \\(x\\) musi być **większy niż 14** (przesuwa środek ciężkości w górę).\n\nStąd po ułożeniu: \\(2, 4, 6, 8, \\underbrace{10, 12, 14, x}_{x > 14}\\)\n\nMediana to średnia 4. i 5. wyrazu, czyli \\(\\frac{8 + 10}{2} = 9\\). ✓\n\n(Wartość \\(x\\) nie wpływa na medianę, o ile \\(x > 10\\) - a tak jest, bo \\(x = 16\\).)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(x\\).\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych wyrazów** dla parzystego \\(n\\).\nUżyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\), więc bierzemy \\(\\frac{a_4 + a_5}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A: \\(8\\)** | Uczeń oblicza medianę z oryginalnego zestawu **przed** wstawieniem \\(x\\), czyli z \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) (7 elementów) - mediana to \\(8\\). Zapomina, że \\(x\\) też należy do zestawu. |\n| **C: \\(10\\)** | Uczeń błędnie uznaje 5. wyraz \\((10)\\) za medianę, zamiast uśredniać 4. i 5. Albo liczy medianę z samych parzystych indeksów. |\n| **D: \\(16\\)** | Uczeń utożsamia \\(x = 16\\) (obliczona wartość) z medianą - myli dwie różne statystyki. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana wymaga **posortowania** danych - zanim policzysz środkowy wyraz, upewnij się, że wstawiłeś \\(x\\) i uszeregowałeś cały zestaw rosnąco.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie elementów mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz. Dla \\(n = 8\\) są to wyrazy na pozycjach 4. i 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnia \\(\\neq\\) mediana. Tu obie wychodzą \\(9\\), ale to zbieżność - nie zakładaj, że zawsze będą równe!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana\nŚrednia \\(= \\dfrac{\\text{suma}}{\\text{ilość}} = 9\\). Zestaw ma 8 elementów:\n\\[\\dfrac{x + 2+4+6+8+10+12+14}{8} = 9.\\]\n\\[x + 56 = 72 \\Rightarrow x = 16.\\]\n\nPosortowany zestaw: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).\n\nMediana (8 elementów - parzysta liczba): średnia dwóch środkowych (4. i 5.):\n\\[\\text{mediana} = \\dfrac{8+10}{2} = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Odczytanie wyniku\n4-ty wyraz = \\(8\\), 5-ty = \\(10\\), mediana = \\((8+10)/2 = 9\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - to 4-ty wyraz (nie mediana dla parzystej liczby elementów).\n- **C. \\(10\\)** - to 5-ty wyraz.\n- **D. \\(16\\)** - to wartość \\(x\\) (po wyznaczeniu), nie mediana.\n\n**Trik:** Dla \\(n\\) parzystego, mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów z **posortowanego** zestawu.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa<br>A. 576π<br>B. 192π<br>C. 144π<br>D. 48π</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w bryłach obrotowych (9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - mediana wynosi \\(9\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z warunku na średnią arytmetyczną.</strong></p>\n<p>Zestaw ma \\(8\\) elementów: \\(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\).</p>\n<p>Wzór na średnią:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{x + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14}{8} = 9\\]</p>\n<p>Sumujemy znane wyrazy:<br>\\[2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\frac{x + 56}{8} = 9\\]<br>\\[x + 56 = 72\\]<br>\\[\\boxed{x = 16}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Układamy dane w porządku rosnącym.</strong></p>\n<p>Pełny zestaw po wstawieniu \\(x = 16\\):<br>\\[2,\\ 4,\\ 6,\\ 8,\\ 10,\\ 12,\\ 14,\\ 16\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy medianę.</strong></p>\n<p>Mamy \\(n = 8\\) elementów (parzysta liczba). Mediana to <strong>średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu</strong> w uszeregowanym ciągu:</p>\n<p>\\[\\text{mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{8 + 10}{2} = \\frac{18}{2} = \\boxed{9}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Obserwacja symetryczna (bez liczenia \\(x\\))</h4>\n<p>Zauważamy, że znane wyrazy \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) tworzą <strong>ciąg arytmetyczny</strong> o środku \\(\\frac{2+14}{2} = 8\\).</p>\n<p>Średnia całego zestawu wynosi \\(9 &gt; 8\\), więc nieznany wyraz \\(x\\) musi być <strong>większy niż 14</strong> (przesuwa środek ciężkości w górę).</p>\n<p>Stąd po ułożeniu: \\(2, 4, 6, 8, \\underbrace{10, 12, 14, x}_{x &gt; 14}\\)</p>\n<p>Mediana to średnia 4. i 5. wyrazu, czyli \\(\\frac{8 + 10}{2} = 9\\). ✓</p>\n<p>(Wartość \\(x\\) nie wpływa na medianę, o ile \\(x &gt; 10\\) - a tak jest, bo \\(x = 16\\).)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(x\\).</p>\n<p>Mediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub <strong>średnia dwóch środkowych wyrazów</strong> dla parzystego \\(n\\).<br>Użyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\), więc bierzemy \\(\\frac{a_4 + a_5}{2}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A: \\(8\\)</strong> | Uczeń oblicza medianę z oryginalnego zestawu <strong>przed</strong> wstawieniem \\(x\\), czyli z \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\\) (7 elementów) - mediana to \\(8\\). Zapomina, że \\(x\\) też należy do zestawu. |<br>| <strong>C: \\(10\\)</strong> | Uczeń błędnie uznaje 5. wyraz \\((10)\\) za medianę, zamiast uśredniać 4. i 5. Albo liczy medianę z samych parzystych indeksów. |<br>| <strong>D: \\(16\\)</strong> | Uczeń utożsamia \\(x = 16\\) (obliczona wartość) z medianą - myli dwie różne statystyki. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mediana wymaga <strong>posortowania</strong> danych - zanim policzysz środkowy wyraz, upewnij się, że wstawiłeś \\(x\\) i uszeregowałeś cały zestaw rosnąco.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy <strong>parzystej</strong> liczbie elementów mediana to <strong>średnia dwóch środkowych</strong> - nie jeden środkowy wyraz. Dla \\(n = 8\\) są to wyrazy na pozycjach 4. i 5.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Średnia \\(\\neq\\) mediana. Tu obie wychodzą \\(9\\), ale to zbieżność - nie zakładaj, że zawsze będą równe!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem mediana</h5>\n<p>Średnia \\(= \\dfrac{\\text{suma}}{\\text{ilość}} = 9\\). Zestaw ma 8 elementów:<br>\\[\\dfrac{x + 2+4+6+8+10+12+14}{8} = 9.\\]<br>\\[x + 56 = 72 \\Rightarrow x = 16.\\]</p>\n<p>Posortowany zestaw: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).</p>\n<p>Mediana (8 elementów - parzysta liczba): średnia dwóch środkowych (4. i 5.):<br>\\[\\text{mediana} = \\dfrac{8+10}{2} = 9.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Odczytanie wyniku</h5>\n<p>4-ty wyraz = \\(8\\), 5-ty = \\(10\\), mediana = \\((8+10)/2 = 9\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(8\\)</strong> - to 4-ty wyraz (nie mediana dla parzystej liczby elementów).</li><li><strong>C. \\(10\\)</strong> - to 5-ty wyraz.</li><li><strong>D. \\(16\\)</strong> - to wartość \\(x\\) (po wyznaczeniu), nie mediana.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla \\(n\\) parzystego, mediana = średnia dwóch środkowych wyrazów z <strong>posortowanego</strong> zestawu.</p>"}]}