{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n11\nx =\nD.\n13\nx =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1017\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie przez zakres\n\nCzterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \\(1000\\) do \\(9999\\).\n\nSzukamy tych, które są **mniejsze niż \\(2017\\)**, czyli z przedziału:\n\\[\\langle 1000, 2016 \\rangle\\]\n\nIle liczb całkowitych jest w tym przedziale zamkniętym?\n\n\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = \\mathbf{1017}\\]\n\n> **Dlaczego \\(+1\\)?** Gdy liczymy liczby całkowite od \\(a\\) do \\(b\\) włącznie, wzór to zawsze \\(b - a + 1\\). Bez tego \\(+1\\) „tracimy\" pierwszy wyraz.\n\n## Sposób 2 - Podział na przypadki\n\nCzterocyfrowe liczby mniejsze niż \\(2017\\) dzielimy na dwie grupy:\n\n**Grupa 1:** Liczby od \\(1000\\) do \\(1999\\) (zaczynające się od cyfry \\(1\\))\n\nTych liczb jest dokładnie:\n\\[1999 - 1000 + 1 = 1000\\]\n\n**Grupa 2:** Liczby od \\(2000\\) do \\(2016\\) (zaczynające się od \\(2\\), ale mniejsze niż \\(2017\\))\n\nTych liczb jest:\n\\[2016 - 2000 + 1 = 17\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[1000 + 17 = \\mathbf{1017}\\]\n\nWynik ten sam - **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zliczania liczb całkowitych w przedziale:\n\\[\\text{ilość} = b - a + 1\\]\nTo elementarna zasada kombinatoryczna, nie wymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2016\\) | Uczeń liczy od \\(1\\) do \\(2016\\) (wszystkie liczby naturalne mniejsze niż \\(2017\\)), zapominając o warunku **czterocyfrowa** - od \\(1000\\) |\n| B. \\(2017\\) | Podobnie jak A, ale dodatkowo myli „mniejsze niż \\(2017\\)\" z „mniejsze lub równe \\(2017\\)\" |\n| C. \\(1016\\) | Poprawna metoda, ale błąd \\(\\pm 1\\): wynik \\(2016 - 1000 = 1016\\) bez dodania \\(+1\\) - klasyczny błąd ogrodnika (fence-post error) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Mniejsze niż 2017\" NIE obejmuje samej liczby \\(2017\\). Ostatnia liczba w przedziale to \\(2016\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu liczb całkowitych w przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\) zawsze pamiętaj o \\(+1\\): wzór to \\(b - a + 1\\), nie \\(b - a\\). Błąd o \\(\\pm 1\\) (off-by-one) to najczęstszy błąd w kombinatoryce.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „czterocyfrowe\" (od \\(1000\\)) z „wszystkie naturalne\" (od \\(1\\)). Odpowiedź A to klasyczna pułapka dla nieuważnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zakres liczb i zliczanie\nLiczby czterocyfrowe to \\(1000, 1001, \\ldots, 9999\\). Mniejsze niż \\(2017\\) to \\(1000, 1001, \\ldots, 2016\\).\n\nLiczba elementów: \\(2016 - 1000 + 1 = 1017\\).\n\n### Sposób 2 - Zasada \"+1\" dla przedziałów dyskretnych\nOd \\(a\\) do \\(b\\) włącznie mamy \\(b - a + 1\\) liczb naturalnych. Tutaj \\(a=1000\\), \\(b=2016\\) (pamiętajmy: \"mniejsze niż \\(2017\\)\" = \\(\\leqslant 2016\\)).\n\n\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = 1017.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2016\\)** - ktoś policzył od \\(1\\) do \\(2016\\) (wszystkie liczby, nie tylko czterocyfrowe).\n- **B. \\(2017\\)** - po prostu sama liczba \\(2017\\) (błąd konceptualny).\n- **C. \\(1016\\)** - zapomniano o \\(+1\\) (\\(2016 - 1000 = 1016\\)).\n\n**Trik:** Pułapka \"\\(+1\\)\" - zawsze licz **obie krańcowe** wartości! Np. od 1 do 5 to 5 liczb, nie 4.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy
A.
1
x =
B.
2
x =
C.
11
x =
D.
13
x =

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią
ważoną, medianę i odchylenie standardowe
danych; interpretuje te parametry dla danych
empirycznych (10.a).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(1017\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie przez zakres

\n

Czterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \\(1000\\) do \\(9999\\).

\n

Szukamy tych, które są mniejsze niż \\(2017\\), czyli z przedziału:
\\[\\langle 1000, 2016 \\rangle\\]

\n

Ile liczb całkowitych jest w tym przedziale zamkniętym?

\n

\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = \\mathbf{1017}\\]

\n
Dlaczego \\(+1\\)? Gdy liczymy liczby całkowite od \\(a\\) do \\(b\\) włącznie, wzór to zawsze \\(b - a + 1\\). Bez tego \\(+1\\) „tracimy" pierwszy wyraz.
\n

Sposób 2 - Podział na przypadki

\n

Czterocyfrowe liczby mniejsze niż \\(2017\\) dzielimy na dwie grupy:

\n

Grupa 1: Liczby od \\(1000\\) do \\(1999\\) (zaczynające się od cyfry \\(1\\))

\n

Tych liczb jest dokładnie:
\\[1999 - 1000 + 1 = 1000\\]

\n

Grupa 2: Liczby od \\(2000\\) do \\(2016\\) (zaczynające się od \\(2\\), ale mniejsze niż \\(2017\\))

\n

Tych liczb jest:
\\[2016 - 2000 + 1 = 17\\]

\n

Łącznie:
\\[1000 + 17 = \\mathbf{1017}\\]

\n

Wynik ten sam - D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zliczania liczb całkowitych w przedziale:
\\[\\text{ilość} = b - a + 1\\]
To elementarna zasada kombinatoryczna, nie wymagająca karty wzorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(2016\\) | Uczeń liczy od \\(1\\) do \\(2016\\) (wszystkie liczby naturalne mniejsze niż \\(2017\\)), zapominając o warunku czterocyfrowa - od \\(1000\\) |
| B. \\(2017\\) | Podobnie jak A, ale dodatkowo myli „mniejsze niż \\(2017\\)" z „mniejsze lub równe \\(2017\\)" |
| C. \\(1016\\) | Poprawna metoda, ale błąd \\(\\pm 1\\): wynik \\(2016 - 1000 = 1016\\) bez dodania \\(+1\\) - klasyczny błąd ogrodnika (fence-post error) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Mniejsze niż 2017" NIE obejmuje samej liczby \\(2017\\). Ostatnia liczba w przedziale to \\(2016\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy zliczaniu liczb całkowitych w przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\) zawsze pamiętaj o \\(+1\\): wzór to \\(b - a + 1\\), nie \\(b - a\\). Błąd o \\(\\pm 1\\) (off-by-one) to najczęstszy błąd w kombinatoryce.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić „czterocyfrowe" (od \\(1000\\)) z „wszystkie naturalne" (od \\(1\\)). Odpowiedź A to klasyczna pułapka dla nieuważnych.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Zakres liczb i zliczanie
\n

Liczby czterocyfrowe to \\(1000, 1001, \\ldots, 9999\\). Mniejsze niż \\(2017\\) to \\(1000, 1001, \\ldots, 2016\\).

\n

Liczba elementów: \\(2016 - 1000 + 1 = 1017\\).

\n
Sposób 2 - Zasada "+1" dla przedziałów dyskretnych
\n

Od \\(a\\) do \\(b\\) włącznie mamy \\(b - a + 1\\) liczb naturalnych. Tutaj \\(a=1000\\), \\(b=2016\\) (pamiętajmy: "mniejsze niż \\(2017\\)" = \\(\\leqslant 2016\\)).

\n

\\[\\text{ilość} = 2016 - 1000 + 1 = 1017.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Pułapka "\\(+1\\)" - zawsze licz obie krańcowe wartości! Np. od 1 do 5 to 5 liczb, nie 4.

"}]}