{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.\nNiech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy\nprawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 1\n8\nD. 1\n6\nA\nO\nS\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(n = 12\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z definicji prawdopodobieństwa\n\nLosujemy jedną kulę z pudełka. Wszystkich kul jest \\(6 + n\\), kul białych jest \\(6\\).\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{wszystkie kule}} = \\frac{6}{6 + n}\\]\n\nWiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{3}\\), więc:\n\\[\\frac{6}{6 + n} = \\frac{1}{3}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3(6 + n)\\):\n\\[6 \\cdot 3 = 1 \\cdot (6 + n)\\]\n\\[18 = 6 + n\\]\n\\[\\boxed{n = 12}\\]\n\n**Odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - rozumowanie przez proporcje\n\nPrawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{3}\\) oznacza, że **co trzecia kula jest biała**, czyli kule białe stanowią \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich kul.\n\nSkoro kul białych jest \\(6\\), a jest ich \\(\\frac{1}{3}\\) całości, to wszystkich kul jest:\n\\[6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\text{(wszystkie kule)} \\implies \\text{wszystkie kule} = 6 \\cdot 3 = 18\\]\n\nKul czarnych:\n\\[n = 18 - 6 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru ustawiając \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((n=9)\\) | Ustawienie \\(\\frac{6}{n} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\) - zapomnienie, że mianownik to **wszystkie** kule, nie tylko czarne |\n| B \\((n=2)\\) | Pomylenie - zamiast \\(\\frac{6}{6+n}\\) policzono \\(\\frac{n}{6+n} = \\frac{1}{3}\\), czyli jakby szukano prawdopodobieństwa wylosowania kuli **czarnej** |\n| C \\((n=18)\\) | Wzięcie całkowitej liczby kul (\\(18\\)) jako odpowiedź, bez odjęcia kul białych |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik we wzorze na prawdopodobieństwo to **wszystkie** kule, czyli \\(6 + n\\), a nie samo \\(n\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu liczby **wszystkich** kul (tu: 18) pamiętaj odjąć kule białe - wynik \\(n = 18\\) to pułapka zastawiona przez odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik: przy \\(n = 12\\) mamy \\(\\frac{6}{6+12} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))\nLiczba kul białych: \\(|A| = 6\\). Liczba wszystkich kul: \\(|\\Omega| = 6 + n\\).\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6}{6+n} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\\[3\\cdot 6 = 1\\cdot (6+n) \\Rightarrow 18 = 6+n \\Rightarrow n = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja \"1 na 3\"\nSkoro prawdopodobieństwo białej = \\(\\tfrac{1}{3}\\), to białe to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wszystkich kul. Wszystkich jest \\(3\\cdot 6 = 18\\). Czarnych: \\(18 - 6 = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(n=9\\)** - wtedy wszystkich \\(15\\), \\(P = \\tfrac{6}{15} = \\tfrac{2}{5}\\).\n- **B. \\(n=2\\)** - wtedy wszystkich \\(8\\), \\(P = \\tfrac{6}{8} = \\tfrac{3}{4}\\).\n- **C. \\(n=18\\)** - wtedy wszystkich \\(24\\), \\(P = \\tfrac{6}{24} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Trik:** \\(P = \\tfrac{1}{3}\\) oznacza: na każde \\(1\\) sukces przypada \\(2\\) porażki. Białych = 6, więc czarnych = \\(2\\cdot 6 = 12\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę.
Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
8
D. 1
6
A
O
S

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający wykorzystuje własności
prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie
znane jako klasyczna definicja
prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).
Wersja
I
Wersja
II
B
C
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych
Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(n = 12\\)

\n

Sposób 1 - równanie z definicji prawdopodobieństwa

\n

Losujemy jedną kulę z pudełka. Wszystkich kul jest \\(6 + n\\), kul białych jest \\(6\\).

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(\\text{biała}) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{wszystkie kule}} = \\frac{6}{6 + n}\\]

\n

Wiemy, że to prawdopodobieństwo wynosi \\(\\frac{1}{3}\\), więc:
\\[\\frac{6}{6 + n} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(3(6 + n)\\):
\\[6 \\cdot 3 = 1 \\cdot (6 + n)\\]
\\[18 = 6 + n\\]
\\[\\boxed{n = 12}\\]

\n

Odpowiedź D jest poprawna.

\n

Sposób 2 - rozumowanie przez proporcje

\n

Prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{3}\\) oznacza, że co trzecia kula jest biała, czyli kule białe stanowią \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich kul.

\n

Skoro kul białych jest \\(6\\), a jest ich \\(\\frac{1}{3}\\) całości, to wszystkich kul jest:
\\[6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\text{(wszystkie kule)} \\implies \\text{wszystkie kule} = 6 \\cdot 3 = 18\\]

\n

Kul czarnych:
\\[n = 18 - 6 = \\mathbf{12}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru ustawiając \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((n=9)\\) | Ustawienie \\(\\frac{6}{n} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{6}{6+n} = \\frac{1}{3}\\) - zapomnienie, że mianownik to wszystkie kule, nie tylko czarne |
| B \\((n=2)\\) | Pomylenie - zamiast \\(\\frac{6}{6+n}\\) policzono \\(\\frac{n}{6+n} = \\frac{1}{3}\\), czyli jakby szukano prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej |
| C \\((n=18)\\) | Wzięcie całkowitej liczby kul (\\(18\\)) jako odpowiedź, bez odjęcia kul białych |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Mianownik we wzorze na prawdopodobieństwo to wszystkie kule, czyli \\(6 + n\\), a nie samo \\(n\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu liczby wszystkich kul (tu: 18) pamiętaj odjąć kule białe - wynik \\(n = 18\\) to pułapka zastawiona przez odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź wynik: przy \\(n = 12\\) mamy \\(\\frac{6}{6+12} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\) ✓
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa klasycznego (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))
\n

Liczba kul białych: \\(|A| = 6\\). Liczba wszystkich kul: \\(|\\Omega| = 6 + n\\).

\n

\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6}{6+n} = \\dfrac{1}{3}.\\]
\\[3\\cdot 6 = 1\\cdot (6+n) \\Rightarrow 18 = 6+n \\Rightarrow n = 12.\\]

\n
Sposób 2 - Proporcja "1 na 3"
\n

Skoro prawdopodobieństwo białej = \\(\\tfrac{1}{3}\\), to białe to \\(\\tfrac{1}{3}\\) wszystkich kul. Wszystkich jest \\(3\\cdot 6 = 18\\). Czarnych: \\(18 - 6 = 12\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(P = \\tfrac{1}{3}\\) oznacza: na każde \\(1\\) sukces przypada \\(2\\) porażki. Białych = 6, więc czarnych = \\(2\\cdot 6 = 12\\).

"}]}