Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
8
72
0
x
x
≤
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 26. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy
przedziałów (3.a).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
:
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując
,
lub zaznaczając pierwiastki
trójmianu na wykresie
albo
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:
,
,
2
72
72
9
16
x
Drugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub 0,9
lub
0,9
∈
x
np. odczytując go
ze szkicu wykresu funkcji
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
i
i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji
i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd
2
8
72
x
x
2
8
72
x
x
1
0
x =
2
9
x =
2
72
Δ =
1
72
72
0
16
x
2
8
72
0
x
x
≤
0
9
x
≤
≤
( )
2
8
72
f
x
x
x
1
0
x =
2
9
x =
( )
2
8
72
f
x
x
x
0
9
x
rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub 0,9
lub
0,9
∈
x
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
za całe rozwiązanie.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
i
i zapisze, np.
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
nierówności w postaci
, to przyznajemy 2 punkty.
0
9
x
≤
≤
1
0
x =
2
9
x =
9,0
x ∈-
9,0
x∈
0
9
x
Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu
\nMamy \\(f(x) = 2x^2 + x - 6\\). Rozwiązujemy równanie \\(2x^2 + x - 6 = 0\\).
\nObliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-6) = 1 + 48 = 49\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]
Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-1 - 7}{4} = \\frac{-8}{4} = -2\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-1 + 7}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]
Krok 2: Odczytaj znak funkcji
\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami ku górze (uśmiech).
\nTaka parabola przyjmuje wartości ujemne lub zerowe między pierwiastkami:
\n\\[f(x) \\leq 0 \\iff x \\in \\langle x_1,\\, x_2 \\rangle\\]
\nOdpowiedź:
\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle -2,\\, \\frac{3}{2} \\right\\rangle}\\]
Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki
\nSkoro znamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\), zapisujemy:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - (-2))\\left(x - \\frac{3}{2}\\right)\\]
\\[f(x) = 2(x + 2)\\left(x - \\frac{3}{2}\\right)\\]
Wygodniej: mnożymy \\(2 \\cdot \\left(x - \\frac{3}{2}\\right) = (2x - 3)\\), więc:
\\[f(x) = (x + 2)(2x - 3)\\]
Krok 2: Rozwiąż nierówność iloczynową
\nNierówność staje się:
\\[(x + 2)(2x - 3) \\leq 0\\]
Pierwiastki: \\(x = -2\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\). Analizujemy znaki czynników:
\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(2x - 3\\) | Iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-2 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
Iloczyn jest \\(\\leq 0\\) (ujemny lub zero) dla \\(x \\in \\left\\langle -2,\\, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\). ✓
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\nWyróżnik i pierwiastki trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\).
Postać iloczynowa (dla \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu na czynniki i tablicy znaków.
⚠️ Uwaga: Przedziały zamykamy - \\(\\langle -2, \\frac{3}{2} \\rangle\\), bo nierówność jest \\(\\leq 0\\) (nieostre). Uczniowie często wpisują przedział otwarty \\((-2, \\frac{3}{2})\\), tracąc punkty końcowe.\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(a > 0\\) (parabola „uśmiechnięta"), trójmian jest \\(\\leq 0\\) między pierwiastkami, a \\(\\geq 0\\) na zewnątrz. Przy \\(a < 0\\) jest odwrotnie - łatwo tu o pomyłkę!\n
⚠️ Uwaga: Ułamek \\(\\frac{3}{2}\\) jako wynik - nie zaokrąglaj do \\(1{,}5\\) bez potrzeby; w odpowiedzi na egzaminie postać ułamkowa jest zawsze preferowana.\n
Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -2, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\), czyli \\(-2 \\leqslant x \\leqslant \\dfrac{3}{2}\\).
\nTrójmian \\(2x^{2} + x - 6\\): \\(a=2\\), \\(b=1\\), \\(c=-6\\).
\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4\\cdot 2\\cdot (-6) = 1 + 48 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7.\\]
\\[x_{1} = \\dfrac{-1-7}{4} = -2, \\quad x_{2} = \\dfrac{-1+7}{4} = \\dfrac{3}{2}.\\]
Ponieważ \\(a = 2 > 0\\), parabola ma ramiona w górę; \\(f(x) \\leqslant 0\\) między pierwiastkami (włącznie).
\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\langle -2, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle.}\\]
\n\\(2x^{2} + x - 6 = (2x-3)(x+2)\\) (sprawdzenie: \\(2x^{2}+4x-3x-6 = 2x^{2}+x-6\\) ✓).
\nNierówność: \\((2x-3)(x+2) \\leqslant 0\\). Iloczyn niedodatni = czynniki różnych znaków (lub jeden \\(= 0\\)):
\nRozwiązanie: \\(\\left\\langle -2, \\tfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).
\nTrik: Nierówność kwadratowa - dwa kroki: 1) pierwiastki, 2) znak \\(a\\) decyduje, czy zbiór jest "wewnątrz" czy "na zewnątrz" pierwiastków.
"}]}