{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nWykaż, że liczba\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\njest podzielna przez 17.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (1.g).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\n. Doprowadzamy liczbę do\npostaci\n2017\n4\n5 17\n⋅⋅\n. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze liczbę\n2017\n2018\n2019\n2020\n4\n4\n4\n4\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników\njest potęgą\n, gdzie 1985\n2017\nk\n≤\n≤\n, np.\n(\n)\n2017\n2\n3\n4\n1\n4\n4\n4\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\frac{2}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - własność iloczynu\n\nKorzystamy z kluczowej zasady: **iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero**.\n\nRównanie \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej, więc od razu stawiamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 6 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 6\\]\n\\[x = \\sqrt{6} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{6}\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(3x + 2 = 0\\)\n\n\\[3x = -2\\]\n\\[x = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Odpowiedź:** Równanie ma trzy rozwiązania:\n\\[x_1 = -\\sqrt{6}, \\quad x_2 = -\\frac{2}{3}, \\quad x_3 = \\sqrt{6}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde rozwiązanie, podstawiając do oryginalnego równania \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\).\n\n**Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{6}\\):**\n\\[\\left((\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3\\sqrt{6} + 2) = (6 - 6)(3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{6}\\):**\n\\[\\left((-\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3 \\cdot (-\\sqrt{6}) + 2) = (6 - 6)(-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\frac{2}{3}\\):**\n\\[\\left(\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2 - 6\\right)\\left(3 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) + 2\\right) = \\left(\\frac{4}{9} - 6\\right)(- 2 + 2) = \\left(-\\frac{50}{9}\\right) \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\nWszystkie trzy rozwiązania są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\nDla czynnika \\(x^2 - 6 = 0\\) korzystamy ze szczególnego przypadku: \\(a = 1, b = 0, c = -6\\), więc:\n\\[\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 24\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{24}}{2} = \\pm\\frac{2\\sqrt{6}}{2} = \\pm\\sqrt{6}\\]\n\nMożna też użyć prostszego wzoru bezpośrednio z definicji: \\(x^2 = 6 \\Rightarrow x = \\pm\\sqrt{6}\\).\n\nW tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania pełnego wzoru na \\(\\Delta\\) - wystarczy własność iloczynu i proste równania liniowe/kwadratowe.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj iloczynu! To najczęstszy błąd - uczniowie mnożą nawiasy i dostają wielomian stopnia 3, który jest dużo trudniejszy do rozwiązania. Iloczyn już gotowy → od razu zeruj każdy czynnik osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(x^2 = 6\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{6}\\) i \\(x = -\\sqrt{6}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{6}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie zaokrąglamy do \\(2{,}449 \\), chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -\\sqrt{6}\\) lub \\(x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero (karta wzorów)\nIloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy 0:\n\\[x^{2} - 6 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad 3x + 2 = 0.\\]\n\n**Pierwsze równanie:** \\(x^{2} = 6 \\Rightarrow x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\sqrt{6}\\).\n\n**Drugie równanie:** \\(3x = -2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{2}{3}\\).\n\nWszystkie rozwiązania: \\(x \\in \\left\\{-\\sqrt{6}, -\\dfrac{2}{3}, \\sqrt{6}\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia\n\\(x^{2} - 6 = (x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})\\).\n\nRównanie: \\((x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})(3x+2) = 0\\), stąd trzy rozwiązania:\n\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie dwóch równań \\(x^{2}-6=0\\) lub \\(3x+2=0\\), albo rozwiązanie jednego z nich (\\(x=-\\tfrac{2}{3}\\) albo dwa pierwiastki \\(x^{2}-6\\)).\n- **2 pkt** - poprawne wyznaczenie **wszystkich trzech** rozwiązań: \\(x = -\\tfrac{2}{3}\\) lub \\(x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\sqrt{6}\\).\n- **Uwaga**: jeśli zamiast \"\\(=\\)\" piszesz \"\\(\\neq\\)\" - możesz otrzymać 1 pkt.\n\n**Trik:** \\(x^{2} = 6\\) ma **dwa** pierwiastki (dodatni i ujemny) - nie zapomnij o znaku \\(-\\sqrt{6}\\)!","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Wykaż, że liczba
2017
2018
2019
2020
4
4
4
4
jest podzielna przez 17.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach
\n

wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach
o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (1.g).
Przykładowe rozwiązanie
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
(
)
2017
2
3
4
1
4
4
4
. Doprowadzamy liczbę do
postaci
2017
4
5 17
⋅⋅
. Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze liczbę
2017
2018
2019
2020
4
4
4
4
w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników
jest potęgą
, gdzie 1985
2017
k
≤
≤
, np.
(
)
2017
2
3
4
1
4
4
4
i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi poprawny dowód.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\frac{2}{3}\\]

\n

Sposób 1 - własność iloczynu

\n

Korzystamy z kluczowej zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

\n

Równanie \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej, więc od razu stawiamy dwa przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(x^2 - 6 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 6\\]
\\[x = \\sqrt{6} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{6}\\]

\n

Przypadek 2: \\(3x + 2 = 0\\)

\n

\\[3x = -2\\]
\\[x = -\\frac{2}{3}\\]

\n

Odpowiedź: Równanie ma trzy rozwiązania:
\\[x_1 = -\\sqrt{6}, \\quad x_2 = -\\frac{2}{3}, \\quad x_3 = \\sqrt{6}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy każde rozwiązanie, podstawiając do oryginalnego równania \\((x^2 - 6)(3x + 2) = 0\\).

\n

Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{6}\\):
\\[\\left((\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3\\sqrt{6} + 2) = (6 - 6)(3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{6}\\):
\\[\\left((-\\sqrt{6})^2 - 6\\right)(3 \\cdot (-\\sqrt{6}) + 2) = (6 - 6)(-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\cdot (-3\\sqrt{6} + 2) = 0 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie \\(x = -\\frac{2}{3}\\):
\\[\\left(\\left(-\\frac{2}{3}\\right)^2 - 6\\right)\\left(3 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) + 2\\right) = \\left(\\frac{4}{9} - 6\\right)(- 2 + 2) = \\left(-\\frac{50}{9}\\right) \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wszystkie trzy rozwiązania są poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:

\n

Dla czynnika \\(x^2 - 6 = 0\\) korzystamy ze szczególnego przypadku: \\(a = 1, b = 0, c = -6\\), więc:
\\[\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 24\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm \\sqrt{24}}{2} = \\pm\\frac{2\\sqrt{6}}{2} = \\pm\\sqrt{6}\\]

\n

Można też użyć prostszego wzoru bezpośrednio z definicji: \\(x^2 = 6 \\Rightarrow x = \\pm\\sqrt{6}\\).

\n

W tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania pełnego wzoru na \\(\\Delta\\) - wystarczy własność iloczynu i proste równania liniowe/kwadratowe.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie rozwijaj iloczynu! To najczęstszy błąd - uczniowie mnożą nawiasy i dostają wielomian stopnia 3, który jest dużo trudniejszy do rozwiązania. Iloczyn już gotowy → od razu zeruj każdy czynnik osobno.
\n
⚠️ Uwaga: Z \\(x^2 = 6\\) wynikają dwa rozwiązania: \\(x = \\sqrt{6}\\) i \\(x = -\\sqrt{6}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to bardzo częsty błąd!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{6}\\) zostawiamy w postaci dokładnej - nie zaokrąglamy do \\(2{,}449 \\), chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\sqrt{6}\\) lub \\(x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\dfrac{2}{3}\\).

\n
Sposób 1 - Iloczyn równy zero (karta wzorów)
\n

Iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy 0:
\\[x^{2} - 6 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad 3x + 2 = 0.\\]

\n

Pierwsze równanie: \\(x^{2} = 6 \\Rightarrow x = \\sqrt{6}\\) lub \\(x = -\\sqrt{6}\\).

\n

Drugie równanie: \\(3x = -2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{2}{3}\\).

\n

Wszystkie rozwiązania: \\(x \\in \\left\\{-\\sqrt{6}, -\\dfrac{2}{3}, \\sqrt{6}\\right\\}\\).

\n
Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia
\n

\\(x^{2} - 6 = (x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})\\).

\n

Równanie: \\((x-\\sqrt{6})(x+\\sqrt{6})(3x+2) = 0\\), stąd trzy rozwiązania:
\\[x = \\sqrt{6}, \\quad x = -\\sqrt{6}, \\quad x = -\\dfrac{2}{3}.\\]

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: \\(x^{2} = 6\\) ma dwa pierwiastki (dodatni i ujemny) - nie zapomnij o znaku \\(-\\sqrt{6}\\)!

"}]}