{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C.\nProsta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz\nAPC\nα\n\ni\nABC\nβ\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że\n180\n2\nα\nβ\n°-\nA\nP\nR\nα\nβ\nC\n\nB\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\nCBR\nδ\nβ\n°-\n\n17\n4k\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nγ\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nZatem\n(\n)\n180\n2 90\n2\nBRC\nγ\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nSuma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360°,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBRP\nRPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n90\n2\n360\n°+\n°+\n°\nβ α\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nII sposób\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nBRC\nγ\nβ\n\nPonieważ\n90\n°\nABR\ni\n90\n°\nPAB\n, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach\nAP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc\n180\n°\nα γ\n,\n2\n180\n°\nα\nβ\nStąd\n180\n2\n°-\nα\nβ . To kończy dowód.\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nγ\nIII sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\n. Stąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nKąty BCR i PCB są przyległe, więc\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBCR\nη\nβ\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\nSuma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360°,\n90\n°\nPAB\n, więc\n360\nPAB\nABR\nBCP\nCPA\n°\n\n\n\n\n,\nczyli\n90\n360\n°+\n°\nβ\nη\nα\n,\n(\n)\n90\n90\n360\nβ\nβ\nα\n°+\n°+\n° ,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nProsta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc\n90\n°\nABR\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nη\nα\nφ\nφ\nδ\nR\nP\nC\nA\nB\nβ δ\nα\nψ\nStąd\n90\n°-\nδ\nβ .\nTrójkąt BRC jest równoramienny, więc\n90\nBCR\nδ\nβ\n°-\n\nTrójkąt PAC jest równoramienny, więc\n180\n90\n2\n2\nPAC\nPCA\nα\nα\nϕ\n° -\n° -\n\n\nProsta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc\n90\nPAB =\n°\n\n. Stąd\n90\n90\n90\n2\n2\nCAB\nα\nα\nψ\nϕ\n\n\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\n\nMiara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa\n180\n180\n2\n° -\n° -\nACB\nα\nβ\nψ\nβ\nSuma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc\n180\nPCA\nACB\nBCR\n°\n\n\n\n,\n180\n2\nα\nϕ\nβ\nδ\n\n\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n90\n180\n90\n2\n2\nα\nα\nβ\nβ\n\n\n°-\n°-\n°-\n=180°\n\n\n\n\n,\n180\n2\n°-\nα\nβ .\nTo kończy dowód.\nV sposób\nPoprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej\nprzecięcia z prostą AB.\nZ twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że\n2\nα\nψ =\nR\nP\nC\nA\nB\nβ\nα\nψ\nS\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS\nCS\nBS\n. Stąd wynika, że S jest\nśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc\ntrójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli\n90\nβ\nψ\n° .\n90\n2\nα\nβ +\n°,\n180\n2\nα\nβ\n° -\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości\n180\n2\nα\nβ\n° -\n, np.:\n90\nδ\nβ\n° -\ni 2\n180\nδ\nγ\n° i\n360\nα\nγ\n+ 90° + 90° =\n°\nlub\n2\nγ\nβ\ni\n180\nα\nγ\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n180\nη\nδ\n° -\ni 90\n360\nβ\nη\nα\n° +\n° ,\nlub\n90\nδ\nβ\n° -\ni\n90\n2\nα\nϕ =\n° -\ni\n90\nψ\nϕ\n° -\ni\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nβ ψ\nϕ\nδ\n°-\n°-\n,\nlub\n90\nβ\nψ\n° i\n2\nα\nψ =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\)\n\nMinimum wyrażenia \\(4x + \\dfrac{1}{x}\\) wynosi **4** i jest osiągane dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\). Dowód poniżej.\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (sprowadzenie do kwadratu)\n\n**Cel:** Pokazać, że \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\), czyli że lewa strona minus prawa jest nieujemna.\n\n**Krok 1.** Przenieś wszystko na lewą stronę:\n\\[4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(x > 0\\), możemy pomnożyć obie strony przez \\(x\\) - **nierówność nie zmienia kierunku** (mnożymy przez liczbę dodatnią):\n\\[4x^2 + 1 - 4x \\geqslant 0\\]\n\\[4x^2 - 4x + 1 \\geqslant 0\\]\n\n**Krok 3.** Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:\n\\[(2x)^2 - 2 \\cdot 2x \\cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{(2x-1)^2 \\geqslant 0}\\]\n\n**Wniosek:** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem nierówność \\((2x-1)^2 \\geqslant 0\\) zachodzi dla **każdego** \\(x \\in \\mathbb{R}\\), a w szczególności dla każdego \\(x > 0\\).\n\nKażdy krok był równoważny (przemnożyliśmy przez \\(x > 0\\)), więc teza jest udowodniona. **Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(2x - 1 = 0\\), czyli \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)\n\n**Wzór AM-GM:** Dla dowolnych \\(a, b > 0\\):\n\\[\\frac{a + b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a + b \\geqslant 2\\sqrt{ab}\\]\n\n**Zastosowanie:** Potraktuj \\(a = 4x\\) i \\(b = \\dfrac{1}{x}\\) (oba dodatnie, bo \\(x > 0\\)):\n\\[4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 2\\sqrt{4x \\cdot \\frac{1}{x}}\\]\n\nOblicz wyrażenie pod pierwiastkiem:\n\\[4x \\cdot \\frac{1}{x} = 4\\]\n\\[2\\sqrt{4} = 2 \\cdot 2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 4}\\]\n\n**Wniosek:** Teza udowodniona. Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\), czyli \\(4x = \\dfrac{1}{x}\\), skąd \\(4x^2 = 1\\), \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) - co się zgadza z wynikiem Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie korzysta bezpośrednio z karty wzorów - opiera się na wzorze skróconego mnożenia, który możesz znaleźć w:\n\n> **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n> \\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n> Użyliśmy tego do rozpoznania, że \\(4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2\\).\n\n**Sposób 2** korzysta z nierówności AM-GM. Ta nierówność **nie jest wprost zapisana** na karcie CKE jako gotowy wzór, ale jest powszechnie znana i akceptowana na maturze jako twierdzenie.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez \\(x\\), musisz **wiedzieć, że \\(x > 0\\)**. Gdyby \\(x < 0\\), kierunek nierówności by się odwrócił! Treść zadania daje warunek \\(x > 0\\) - zawsze go sprawdź przed mnożeniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest, że rozumowanie jest **równoważne** - każdy krok \"działa w obie strony\". Nie możesz zacząć od założenia, że teza jest prawdziwa i z niej coś wyprowadzać - to błąd logiczny (*petitio principii*). Prawidłowo: zaczynamy od \\(4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\) i **przekształcamy** do oczywistej prawdy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 musisz pamiętać, że AM-GM stosujemy tylko dla **liczb nieujemnych**. Tu \\(4x > 0\\) i \\(\\frac{1}{x} > 0\\), więc wszystko gra - ale to trzeba zaznaczyć w rozwiązaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź:** Nierówność jest spełniona dla każdego \\(x>0\\); równość zachodzi dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do kwadratu wyrażenia\nZakładamy \\(x > 0\\). Nierówność \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\) mnożymy przez \\(x > 0\\) (znak nierówności bez zmian):\n\\[4x^{2} + 1 \\geqslant 4x,\\]\n\\[4x^{2} - 4x + 1 \\geqslant 0,\\]\n\\[(2x - 1)^{2} \\geqslant 0.\\]\n\nTo jest prawda zawsze (kwadrat liczby rzeczywistej) - nawet \\(=0\\) dla \\(x = \\tfrac{1}{2}\\). To kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Średnia arytmetyczna vs geometryczna (AM-GM)\nDla dodatnich \\(a,b\\): \\(\\dfrac{a+b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab}\\) (równość \\(\\Leftrightarrow a=b\\)).\n\nZ \\(a = 4x > 0\\), \\(b = \\dfrac{1}{x} > 0\\):\n\\[\\dfrac{4x + \\tfrac{1}{x}}{2} \\geqslant \\sqrt{4x\\cdot \\tfrac{1}{x}} = \\sqrt{4} = 2.\\]\n\\[4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4. \\blacksquare\\]\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - przekształcenie nierówności do \\((2x-1)^{2}\\geqslant 0\\) lub równoważnej (np. obliczenie \\(\\Delta = 0\\) dla trójmianu \\(4x^{2}-4x+1\\)).\n- **2 pkt** - pełne, poprawne rozumowanie.\n- **0 pkt** - sprawdzenie tylko dla konkretnych wartości (tzw. \"przykład\" nie jest dowodem).\n\n**Trik:** W dowodach nierówności szukaj postaci \\((\\text{wyrażenie})^{2} \\geqslant 0\\) - to kanon i zawsze działa.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C.
Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz
APC
α

i
ABC
β

(zobacz rysunek). Wykaż, że
180
2
α
β
°-
A
P
R
α
β
C

B



\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach
\n

płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również
w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
. Stąd
90
CBR
δ
β
°-

17
4k
δ
R
P
C
A
B
β δ
α
γ
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Zatem
(
)
180
2 90
2
BRC
γ
β
β
°-
°-

Suma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360°,
90
°
PAB
, więc
360
PAB
ABR
BRP
RPA
°




,
czyli
90
90
2
360
°+
°+
°
β α
,
2
180
°
α
β
,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
II sposób
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że
2
BRC
γ
β

Ponieważ
90
°
ABR
i
90
°
PAB
, więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach
AP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180°, więc
180
°
α γ
,
2
180
°
α
β
Stąd
180
2
°-
α
β . To kończy dowód.
R
P
C
A
B
β
α
γ
III sposób
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
. Stąd
90
°-
δ
β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Kąty BCR i PCB są przyległe, więc
(
)
180
180
90
90
BCR
η
β
β
°-
°-
°-
°+

Suma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360°,
90
°
PAB
, więc
360
PAB
ABR
BCP
CPA
°




,
czyli
90
360
°+
°
β
η
α
,
(
)
90
90
360
β
β
α
°+
°+
° ,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
IV sposób
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc
90
°
ABR
δ
R
P
C
A
B
β δ
η
α
φ
φ
δ
R
P
C
A
B
β δ
α
ψ
Stąd
90
°-
δ
β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
90
BCR
δ
β
°-

Trójkąt PAC jest równoramienny, więc
180
90
2
2
PAC
PCA
α
α
ϕ
° -
° -


Prosta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc
90
PAB =
°

. Stąd
90
90
90
2
2
CAB
α
α
ψ
ϕ


°-
°-
°-





Miara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa
180
180
2
° -
° -
ACB
α
β
ψ
β
Suma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180°, więc
180
PCA
ACB
BCR
°



,
180
2
α
ϕ
β
δ


°-
=180°




,
90
180
90
2
2
α
α
β
β


°-
°-
°-
=180°




,
180
2
°-
α
β .
To kończy dowód.
V sposób
Poprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej
przecięcia z prostą AB.
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że
2
α
ψ =
R
P
C
A
B
β
α
ψ
S
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS
CS
BS
. Stąd wynika, że S jest
środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc
trójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli
90
β
ψ
° .
90
2
α
β +
°,
180
2
α
β
° -
To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości
180
2
α
β
° -
, np.:
90
δ
β
° -
i 2
180
δ
γ
° i
360
α
γ

\n\n

°
lub
2
γ
β
i
180
α
γ
° ,
lub
90
δ
β
° -
i
180
η
δ
° -
i 90
360
β
η
α
° +
° ,
lub
90
δ
β
° -
i
90
2
α
ϕ =
° -
i
90
ψ
ϕ
° -
i
(
)
(
)
180
180
β ψ
ϕ
δ
°-
°-
,
lub
90
β
ψ
° i
2
α
ψ =
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\)

\n

Minimum wyrażenia \\(4x + \\dfrac{1}{x}\\) wynosi 4 i jest osiągane dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\). Dowód poniżej.

\n

Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (sprowadzenie do kwadratu)

\n

Cel: Pokazać, że \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\), czyli że lewa strona minus prawa jest nieujemna.

\n

Krok 1. Przenieś wszystko na lewą stronę:
\\[4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\]

\n

Krok 2. Ponieważ \\(x > 0\\), możemy pomnożyć obie strony przez \\(x\\) - nierówność nie zmienia kierunku (mnożymy przez liczbę dodatnią):
\\[4x^2 + 1 - 4x \\geqslant 0\\]
\\[4x^2 - 4x + 1 \\geqslant 0\\]

\n

Krok 3. Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia:
\\[(2x)^2 - 2 \\cdot 2x \\cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{(2x-1)^2 \\geqslant 0}\\]

\n

Wniosek: Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zatem nierówność \\((2x-1)^2 \\geqslant 0\\) zachodzi dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), a w szczególności dla każdego \\(x > 0\\).

\n

Każdy krok był równoważny (przemnożyliśmy przez \\(x > 0\\)), więc teza jest udowodniona. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(2x - 1 = 0\\), czyli \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Sposób 2 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)

\n

Wzór AM-GM: Dla dowolnych \\(a, b > 0\\):
\\[\\frac{a + b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad a + b \\geqslant 2\\sqrt{ab}\\]

\n

Zastosowanie: Potraktuj \\(a = 4x\\) i \\(b = \\dfrac{1}{x}\\) (oba dodatnie, bo \\(x > 0\\)):
\\[4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 2\\sqrt{4x \\cdot \\frac{1}{x}}\\]

\n

Oblicz wyrażenie pod pierwiastkiem:
\\[4x \\cdot \\frac{1}{x} = 4\\]
\\[2\\sqrt{4} = 2 \\cdot 2 = 4\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{4x + \\frac{1}{x} \\geqslant 4}\\]

\n

Wniosek: Teza udowodniona. Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a = b\\), czyli \\(4x = \\dfrac{1}{x}\\), skąd \\(4x^2 = 1\\), \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) - co się zgadza z wynikiem Sposobu 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Sposób 1 nie korzysta bezpośrednio z karty wzorów - opiera się na wzorze skróconego mnożenia, który możesz znaleźć w:

\n
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego do rozpoznania, że \\(4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2\\).
\n

Sposób 2 korzysta z nierówności AM-GM. Ta nierówność nie jest wprost zapisana na karcie CKE jako gotowy wzór, ale jest powszechnie znana i akceptowana na maturze jako twierdzenie.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony nierówności przez \\(x\\), musisz wiedzieć, że \\(x > 0\\). Gdyby \\(x < 0\\), kierunek nierówności by się odwrócił! Treść zadania daje warunek \\(x > 0\\) - zawsze go sprawdź przed mnożeniem.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 kluczowe jest, że rozumowanie jest równoważne - każdy krok "działa w obie strony". Nie możesz zacząć od założenia, że teza jest prawdziwa i z niej coś wyprowadzać - to błąd logiczny (petitio principii). Prawidłowo: zaczynamy od \\(4x + \\frac{1}{x} - 4 \\geqslant 0\\) i przekształcamy do oczywistej prawdy.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 musisz pamiętać, że AM-GM stosujemy tylko dla liczb nieujemnych. Tu \\(4x > 0\\) i \\(\\frac{1}{x} > 0\\), więc wszystko gra - ale to trzeba zaznaczyć w rozwiązaniu!
\n

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest spełniona dla każdego \\(x>0\\); równość zachodzi dla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).

\n
Sposób 1 - Przekształcenie do kwadratu wyrażenia
\n

Zakładamy \\(x > 0\\). Nierówność \\(4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4\\) mnożymy przez \\(x > 0\\) (znak nierówności bez zmian):
\\[4x^{2} + 1 \\geqslant 4x,\\]
\\[4x^{2} - 4x + 1 \\geqslant 0,\\]
\\[(2x - 1)^{2} \\geqslant 0.\\]

\n

To jest prawda zawsze (kwadrat liczby rzeczywistej) - nawet \\(=0\\) dla \\(x = \\tfrac{1}{2}\\). To kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Średnia arytmetyczna vs geometryczna (AM-GM)
\n

Dla dodatnich \\(a,b\\): \\(\\dfrac{a+b}{2} \\geqslant \\sqrt{ab}\\) (równość \\(\\Leftrightarrow a=b\\)).

\n

Z \\(a = 4x > 0\\), \\(b = \\dfrac{1}{x} > 0\\):
\\[\\dfrac{4x + \\tfrac{1}{x}}{2} \\geqslant \\sqrt{4x\\cdot \\tfrac{1}{x}} = \\sqrt{4} = 2.\\]
\\[4x + \\dfrac{1}{x} \\geqslant 4. \\blacksquare\\]

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: W dowodach nierówności szukaj postaci \\((\\text{wyrażenie})^{2} \\geqslant 0\\) - to kanon i zawsze działa.

"}]}