{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (4 pkt)\nFunkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem\n( )\n2\nf\nx\nax\nbx\nc\n. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\nOblicz wartość współczynnika a.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej (4.i).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPonieważ\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n, stąd wartość\n6\n0\n3\n2\np\nZatem\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\ndla\n3\np = - i\n6\nq =\nObliczamy współczynnik a. Wiemy, że\n( )\n3\n0\n2\nf\n, zatem\n(\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\n,\n9\n9\n2\na = -\n,\n1\n2\na = -\nOdpowiedź:\n1\n2\na = -\nII sposób\nZ treści zadania wynika, że\n(\n)\n( )\n3\n6\n0\n2\nf\nf\n:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n\n\n⋅-\n⋅+\n\na\nb\nc\na\nb\nc\n,\n3\n36\n6\n2\n3\n2\na\nb\nc\nc\n\n\n=\n\n,\n6\n3\n2\nb\na\nc\n=\n\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:\n6\n3\n2\n2\nb\na\np\na\na\nStąd wynika, że (\n)3\n6\nf -\n= i\n( )\n2\n3\n6\n2\nf\nx\nax\nax\n. Obliczamy współczynnik a\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n,\n9\n9\n2\na\n,\n1\n2\na = -\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\npełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.\n6\n0\n3\n2\np\nalbo\n• zapisze układ dwóch równań, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n,\n2\n\n\n⋅\n⋅\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nalbo\n• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej\n( )\n(\n)\n2\nf\nx\na x\np\nq\noraz zapisze\n6\nq =\n,\nalbo\n• zapisze równanie\n6\n4a\nΔ\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.\nZdający\n• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )\n(\n)\n6\n3 2 +\nx\na\nx\nf\nalbo\n• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n4\n6\n4\n\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\nb\nac\na\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n6\n6\n2\n3\n0\n0\n2\n3\n3\n6\n\n\n⋅-⋅+\n\n\n\n\na\nb\nc\na\nb\nc\na\nb\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,\nnp.: (\n)\n2\n3\n0\n3\n6\n2\na\nlub (\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n6\n3\n6\n2\na\na\n⋅-\n, lub\n2\n36\n18\n0\na\na\nalbo\n• obliczy wartości b i c:\n3\nb = -,\n3\n2\nc\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wartość współczynnika a:\n1\n2\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli\njest równa\n1\n4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.\n2. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6\n- i 0 jako miejsca zerowe\nrozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli\njest równa 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazano, że \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\)\n\n*(Zadanie otwarte - dowód)*\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (tangensa w dwóch trójkątach)\n\n**Ustalamy kąty.** W trójkącie \\(ABC\\) mamy:\n\\[|\\sphericalangle ACB| = 90°, \\quad |\\sphericalangle ABC| = 60°\\]\n\\[\\Rightarrow \\quad |\\sphericalangle BAC| = 180° - 90° - 60° = 30°\\]\n\n**Wysokość \\(CD\\) tworzy dwa trójkąty prostokątne.**\n\nPonieważ \\(CD \\perp AB\\), oba trójkąty \\(ACD\\) i \\(BCD\\) mają kąt prosty przy \\(D\\).\n\nW trójkącie \\(ACD\\):\n- \\(|\\sphericalangle DAC| = 30°\\) (ten sam kąt co w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(|\\sphericalangle ADC| = 90°\\)\n\nStosując tangens:\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{|CD|}{|AD|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |AD| \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = |AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nW trójkącie \\(BCD\\):\n- \\(|\\sphericalangle DBC| = 60°\\) (ten sam kąt co w trójkącie \\(ABC\\))\n- \\(|\\sphericalangle BDC| = 90°\\)\n\nStosując tangens:\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|CD|}{|DB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |DB| \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\n**Przyrównujemy obydwa wyrażenia na \\(|CD|\\):**\n\\[|AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{|AD|}{3} = |DB|\\]\n\\[\\boxed{|AD| = 3 \\cdot |DB|}\\]\n\nZatem \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Kluczowy fakt:** Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie nawzajem i do trójkąta wyjściowego.\n\nKonkretnie:\n\\[\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB \\quad \\text{(wspólny kąt A, oba prostokątne)}\\]\n\\[\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA \\quad \\text{(wspólny kąt B, oba prostokątne)}\\]\n\n**Z pierwszego podobieństwa** (\\(\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB\\), kąt A wspólny):\n\\[\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |AD| = \\frac{|AC|^2}{|AB|}\\]\n\n**Z drugiego podobieństwa** (\\(\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA\\), kąt B wspólny):\n\\[\\frac{|DB|}{|BC|} = \\frac{|BC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |DB| = \\frac{|BC|^2}{|AB|}\\]\n\n**Stosunek:**\n\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \\left(\\frac{|AC|}{|BC|}\\right)^2\\]\n\nW trójkącie \\(ABC\\) z kątem prostym przy \\(C\\) i kątem \\(60°\\) przy \\(B\\):\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{|BC|} = \\sqrt{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]\n\n\\[\\boxed{|AD| : |DB| = 3 : 1} \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Weryfikacja liczbowa:** Przyjmijmy \\(|AB| = 4\\). Wtedy:\n- \\(|AC| = 4 \\cdot \\sin 60° = 2\\sqrt{3}\\)\n- \\(|BC| = 4 \\cdot \\sin 30° = 2\\)\n- \\(|AD| = \\frac{(2\\sqrt{3})^2}{4} = \\frac{12}{4} = 3\\)\n- \\(|DB| = \\frac{2^2}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\)\n\nStosunek \\(3 : 1\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tangens kąta ostrego:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]\nUżyty w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|CD|\\) przez \\(|AD|\\) i \\(|DB|\\).\n\nWartości z tablicy (s. 11, tabela):\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-21)** - w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), co pozwoliło ustalić, że \\(|\\sphericalangle BAC| = 30°\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które kąty przechodzą do trójkątów \\(ACD\\) i \\(BCD\\). Pamiętaj: kąt przy \\(A\\) (czyli \\(30°\\)) trafia do trójkąta \\(ACD\\), a kąt przy \\(B\\) (czyli \\(60°\\)) trafia do trójkąta \\(BCD\\) - bo punkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby kąt przy \\(B\\) wynosił \\(30°\\) (zamiana kątów), stosunek byłby odwrócony: \\(|AD| : |DB| = 1 : 3\\). Sprawdź zawsze, przy którym wierzchołku jest dany kąt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach na dowód nie wystarczy powiedzieć „widać z rysunku\". Trzeba jawnie użyć podobieństwa lub trygonometrii i pokazać równość krok po kroku.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\).\n\n### Sposób 1 - Własność \\(30^{\\circ}-60^{\\circ}-90^{\\circ}\\)\nW trójkącie \\(ABC\\): \\(\\sphericalangle C = 90^{\\circ}\\), \\(\\sphericalangle B = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle A = 30^{\\circ}\\).\n\nWłasność: w trójkącie o kątach \\(30^{\\circ},60^{\\circ},90^{\\circ}\\) bok leżący naprzeciw \\(30^{\\circ}\\) to połowa przeciwprostokątnej:\n\\[|BC| = \\dfrac{1}{2}|AB|.\\]\n\nW trójkącie \\(CDB\\): \\(\\sphericalangle CDB = 90^{\\circ}\\) (wysokość), \\(\\sphericalangle DBC = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = 30^{\\circ}\\). Przeciwprostokątna to \\(BC\\):\n\\[|DB| = \\dfrac{1}{2}|BC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AB| = \\dfrac{1}{4}|AB|.\\]\n\nStąd \\(|AD| = |AB| - |DB| = \\dfrac{3}{4}|AB|\\), więc\n\\[\\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\tfrac{3}{4}|AB|}{\\tfrac{1}{4}|AB|} = 3. \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów: \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}=\\sqrt{3}\\))\nW \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\), więc \\(|CD| = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD|\\).\n\nW \\(BCD\\): \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|DB|}\\), więc \\(|CD| = \\sqrt{3}|DB|\\).\n\nPorównanie: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD| = \\sqrt{3}|DB| \\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 3. \\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zauważenie kluczowej zależności (np. \\(|BC|=\\tfrac{1}{2}|AB|\\) i \\(|DB|=\\tfrac{1}{2}|BC|\\), lub odpowiednia równość z tangensów).\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie zakończone wnioskiem.\n- **0 pkt** - tylko sprawdzenie na konkretnych liczbach (bez argumentu ogólnego).\n\n**Trik:** Kąty \\(30°,60°,90°\\) - dwa trójkąty podobne, stosunek podobieństwa \\(\\sqrt{3}\\), stosunek pól lub odpowiednich odcinków \\(3:1\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (4 pkt)
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem
( )
2
f
x
ax
bx
c
. Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
Oblicz wartość współczynnika a.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej (4.i).
\n

Przykładowe rozwiązania
I sposób
Ponieważ
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
, stąd wartość
6
0
3
2
p
Zatem
( )
(
)
2
f
x
a x
p
q
dla
3
p = - i
6
q =
Obliczamy współczynnik a. Wiemy, że
( )
3
0
2
f
, zatem
(
)
2
3
0
3
6
2
a
,
9
9
2
a = -
,
1
2
a = -
Odpowiedź:
1
2
a = -
II sposób
Z treści zadania wynika, że
(
)
( )
3
6
0
2
f
f
:
(
)
(
)
2
3
6
6
2
3
0
0
2


⋅-
⋅+

a
b
c
a
b
c
,
3
36
6
2
3
2
a
b
c
c


=

,
6
3
2
b
a
c
=

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:
6
3
2
2
b
a
p
a
a
Stąd wynika, że (
)3
6
f -
= i
( )
2
3
6
2
f
x
ax
ax
. Obliczamy współczynnik a
(
)
(
)
2
3
3
6
3
6
2
a
a
⋅-
,
9
9
2
a
,
1
2
a = -
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np.
6
0
3
2
p
albo
• zapisze układ dwóch równań, np.:
(
)
(
)
2
3
6
6
2
3
0
0
,
2


⋅
⋅

a
b
c
a
b
c
albo
• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej
( )
(
)
2
f
x
a x
p
q
oraz zapisze
6
q =
,
albo
• zapisze równanie
6
4a
Δ
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• zapisze wzór funkcji f w postaci: ( )
(
)
6
3 2 +
x
a
x
f
albo
• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:
(
)
(
)
2
2
3
6
6
2
3
0
0
2
4
6
4



⋅-⋅+




a
b
c
a
b
c
b
ac
a
lub
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
6
6
2
3
0
0
2
3
3
6


⋅-⋅+




a
b
c
a
b
c
a
b
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,
np.: (
)
2
3
0
3
6
2
a
lub (
)
(
)
2
3
3
6
3
6
2
a
a
⋅-
, lub
2
36
18
0
a
a
albo
• obliczy wartości b i c:
3
b = -,
3
2
c
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy wartość współczynnika a:
1
2
a
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6
\n\n

rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli
jest równa
1
4 2 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.

\n
  1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6
\n\n

rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli
jest równa 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Wykazano, że \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\)

\n

(Zadanie otwarte - dowód)

\n

Sposób 1 - Trygonometria (tangensa w dwóch trójkątach)

\n

Ustalamy kąty. W trójkącie \\(ABC\\) mamy:
\\[|\\sphericalangle ACB| = 90°, \\quad |\\sphericalangle ABC| = 60°\\]
\\[\\Rightarrow \\quad |\\sphericalangle BAC| = 180° - 90° - 60° = 30°\\]

\n

Wysokość \\(CD\\) tworzy dwa trójkąty prostokątne.

\n

Ponieważ \\(CD \\perp AB\\), oba trójkąty \\(ACD\\) i \\(BCD\\) mają kąt prosty przy \\(D\\).

\n

W trójkącie \\(ACD\\):

\n\n

Stosując tangens:
\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{|CD|}{|AD|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |AD| \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = |AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

W trójkącie \\(BCD\\):

\n\n

Stosując tangens:
\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|CD|}{|DB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |CD| = |DB| \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]

\n

Przyrównujemy obydwa wyrażenia na \\(|CD|\\):
\\[|AD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = |DB| \\cdot \\sqrt{3}\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):
\\[\\frac{|AD|}{3} = |DB|\\]
\\[\\boxed{|AD| = 3 \\cdot |DB|}\\]

\n

Zatem \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów

\n

Kluczowy fakt: Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do siebie nawzajem i do trójkąta wyjściowego.

\n

Konkretnie:
\\[\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB \\quad \\text{(wspólny kąt A, oba prostokątne)}\\]
\\[\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA \\quad \\text{(wspólny kąt B, oba prostokątne)}\\]

\n

Z pierwszego podobieństwa (\\(\\triangle ACD \\sim \\triangle ACB\\), kąt A wspólny):
\\[\\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{|AC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |AD| = \\frac{|AC|^2}{|AB|}\\]

\n

Z drugiego podobieństwa (\\(\\triangle BCD \\sim \\triangle BCA\\), kąt B wspólny):
\\[\\frac{|DB|}{|BC|} = \\frac{|BC|}{|AB|} \\quad \\Rightarrow \\quad |DB| = \\frac{|BC|^2}{|AB|}\\]

\n

Stosunek:
\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \\left(\\frac{|AC|}{|BC|}\\right)^2\\]

\n

W trójkącie \\(ABC\\) z kątem prostym przy \\(C\\) i kątem \\(60°\\) przy \\(B\\):
\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{|BC|} = \\sqrt{3}\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]

\n

\\[\\boxed{|AD| : |DB| = 3 : 1} \\quad \\blacksquare\\]

\n

Weryfikacja liczbowa: Przyjmijmy \\(|AB| = 4\\). Wtedy:

\n\n

Stosunek \\(3 : 1\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - tangens kąta ostrego:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]
Użyty w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|CD|\\) przez \\(|AD|\\) i \\(|DB|\\).

\n

Wartości z tablicy (s. 11, tabela):
\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-21) - w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), co pozwoliło ustalić, że \\(|\\sphericalangle BAC| = 30°\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, które kąty przechodzą do trójkątów \\(ACD\\) i \\(BCD\\). Pamiętaj: kąt przy \\(A\\) (czyli \\(30°\\)) trafia do trójkąta \\(ACD\\), a kąt przy \\(B\\) (czyli \\(60°\\)) trafia do trójkąta \\(BCD\\) - bo punkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdyby kąt przy \\(B\\) wynosił \\(30°\\) (zamiana kątów), stosunek byłby odwrócony: \\(|AD| : |DB| = 1 : 3\\). Sprawdź zawsze, przy którym wierzchołku jest dany kąt.
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniach na dowód nie wystarczy powiedzieć „widać z rysunku". Trzeba jawnie użyć podobieństwa lub trygonometrii i pokazać równość krok po kroku.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(|AD| : |DB| = 3 : 1\\).

\n
Sposób 1 - Własność \\(30^{\\circ}-60^{\\circ}-90^{\\circ}\\)
\n

W trójkącie \\(ABC\\): \\(\\sphericalangle C = 90^{\\circ}\\), \\(\\sphericalangle B = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle A = 30^{\\circ}\\).

\n

Własność: w trójkącie o kątach \\(30^{\\circ},60^{\\circ},90^{\\circ}\\) bok leżący naprzeciw \\(30^{\\circ}\\) to połowa przeciwprostokątnej:
\\[|BC| = \\dfrac{1}{2}|AB|.\\]

\n

W trójkącie \\(CDB\\): \\(\\sphericalangle CDB = 90^{\\circ}\\) (wysokość), \\(\\sphericalangle DBC = 60^{\\circ}\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = 30^{\\circ}\\). Przeciwprostokątna to \\(BC\\):
\\[|DB| = \\dfrac{1}{2}|BC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AB| = \\dfrac{1}{4}|AB|.\\]

\n

Stąd \\(|AD| = |AB| - |DB| = \\dfrac{3}{4}|AB|\\), więc
\\[\\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\tfrac{3}{4}|AB|}{\\tfrac{1}{4}|AB|} = 3. \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów: \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}=\\sqrt{3}\\))
\n

W \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}30^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\), więc \\(|CD| = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD|\\).

\n

W \\(BCD\\): \\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\dfrac{|CD|}{|DB|}\\), więc \\(|CD| = \\sqrt{3}|DB|\\).

\n

Porównanie: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|AD| = \\sqrt{3}|DB| \\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = 3. \\blacksquare\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Kąty \\(30°,60°,90°\\) - dwa trójkąty podobne, stosunek podobieństwa \\(\\sqrt{3}\\), stosunek pól lub odpowiednich odcinków \\(3:1\\).

"}]}