{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n5\nlog\n2\n3\nlog\n2\n2\n2\njest równa\nA.\n2\n9\nlog 25\nB.\n2\n3\nlog 5\nC.\n2\n9\nlog 5\nD.\n2\n6\nlog 25","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4^{49}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika i przeliczenie na potęgi czwórki\n\n**Krok 1: Wyłącz wspólny czynnik**\n\nMamy cztery identyczne składniki, więc:\n\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4 \\cdot 16^{24}\\]\n\n**Krok 2: Zamień 16 na potęgę czwórki**\n\nZauważamy, że \\(16 = 4^2\\), więc:\n\\[16^{24} = \\left(4^2\\right)^{24} = 4^{2 \\cdot 24} = 4^{48}\\]\n\n**Krok 3: Wróć do całego wyrażenia**\n\n\\[4 \\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = \\boxed{4^{49}}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie wszystkiego od razu do podstawy 4\n\nZamiast wyłączać czynnik, od razu zastępujemy każdą liczbę potęgą czwórki.\n\nSkoro \\(4 = 4^1\\) i \\(16 = 4^2\\), to:\n\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4^{48} + 4^{48} + 4^{48} + 4^{48}\\]\n\nTeraz wyłączamy \\(4^{48}\\):\n\\[= 4^{48}\\left(1 + 1 + 1 + 1\\right) = 4^{48} \\cdot 4 = 4^{48} \\cdot 4^1 = 4^{49}\\]\n\nWynik ten sam: **\\(4^{49}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nUżywamy dwóch reguł działań na potęgach:\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n> Zastosowanie: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\)\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n> Zastosowanie: \\(4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(4^{24}\\) | Uczeń pisze \\(16^{24} = 4^{24}\\), ignorując że \\(16 = 4^{\\mathbf{2}}\\), nie \\(4^1\\). Gubi się wykładnik przy zamianie podstawy. |\n| **B** \\(4^{25}\\) | Uczeń poprawnie widzi 4 składniki → \\(4 \\cdot 16^{24}\\), ale błędnie liczy \\(16^{24} = 4^{24}\\) (brak potęgowania wykładnika przez 2). Dostaje \\(4^1 \\cdot 4^{24} = 4^{25}\\). |\n| **C** \\(4^{48}\\) | Uczeń poprawnie przelicza \\(16^{24} = 4^{48}\\), ale **zapomina** o przemnożeniu przez 4 (sumę czterech wyrazów traktuje jak jeden wyraz). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(16^{24}\\) na potęgę czwórki musisz pomnożyć wykładniki: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\), a NIE \\(4^{24}\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cztery takie same składniki to mnożenie przez 4, nie przez 24 ani przez inne liczby. \\(4 = 4^1\\) - to też potęga czwórki, która zwiększa wykładnik o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dodajesz jednakowe potęgi \\(n \\cdot a^k = a^1 \\cdot a^k = a^{k+1}\\) **tylko gdy** \\(n = a\\). Tu akurat \\(n = 4\\) i podstawa też jest 4 - korzystamy z \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zapis jako iloczyn\n\\[4\\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot (4^2)^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zamiana \\(16 = 4^2\\) od razu\n\\(16^{24} = (4^2)^{24} = 4^{48}\\). Sumujemy cztery takie składniki:\n\\[4\\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{24}\\)** - całkowicie błędne (mała potęga).\n- **B. \\(4^{25}\\)** - ktoś obliczył \\(4\\cdot 4^{24} = 4^{25}\\), zapominając że \\(16 = 4^2\\), nie \\(4\\).\n- **C. \\(4^{48}\\)** - pominięto mnożenie przez 4 (czyli suma czterech równych składników).\n\n**Pamiętaj:** \\(n\\cdot a^k \\ne a^{nk}\\). Tu stosujemy \\(4\\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = 4^{49}\\).","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
5
log
2
3
log
2
2
2
jest równa
A.
2
9
log 25
B.
2
3
log 5
C.
2
9
log 5
D.
2
6
log 25

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję
\n

logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym
(1.h).
Wersja
I
Wersja
II
A
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(4^{49}\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika i przeliczenie na potęgi czwórki

\n

Krok 1: Wyłącz wspólny czynnik

\n

Mamy cztery identyczne składniki, więc:
\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4 \\cdot 16^{24}\\]

\n

Krok 2: Zamień 16 na potęgę czwórki

\n

Zauważamy, że \\(16 = 4^2\\), więc:
\\[16^{24} = \\left(4^2\\right)^{24} = 4^{2 \\cdot 24} = 4^{48}\\]

\n

Krok 3: Wróć do całego wyrażenia

\n

\\[4 \\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = \\boxed{4^{49}}\\]

\n

Sposób 2 - Sprowadzenie wszystkiego od razu do podstawy 4

\n

Zamiast wyłączać czynnik, od razu zastępujemy każdą liczbę potęgą czwórki.

\n

Skoro \\(4 = 4^1\\) i \\(16 = 4^2\\), to:
\\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4^{48} + 4^{48} + 4^{48} + 4^{48}\\]

\n

Teraz wyłączamy \\(4^{48}\\):
\\[= 4^{48}\\left(1 + 1 + 1 + 1\\right) = 4^{48} \\cdot 4 = 4^{48} \\cdot 4^1 = 4^{49}\\]

\n

Wynik ten sam: \\(4^{49}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Używamy dwóch reguł działań na potęgach:

\n

\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]

\n
Zastosowanie: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\)
\n

\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]

\n
Zastosowanie: \\(4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}\\)
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(4^{24}\\) | Uczeń pisze \\(16^{24} = 4^{24}\\), ignorując że \\(16 = 4^{\\mathbf{2}}\\), nie \\(4^1\\). Gubi się wykładnik przy zamianie podstawy. |
| B \\(4^{25}\\) | Uczeń poprawnie widzi 4 składniki → \\(4 \\cdot 16^{24}\\), ale błędnie liczy \\(16^{24} = 4^{24}\\) (brak potęgowania wykładnika przez 2). Dostaje \\(4^1 \\cdot 4^{24} = 4^{25}\\). |
| C \\(4^{48}\\) | Uczeń poprawnie przelicza \\(16^{24} = 4^{48}\\), ale zapomina o przemnożeniu przez 4 (sumę czterech wyrazów traktuje jak jeden wyraz). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy zamianie \\(16^{24}\\) na potęgę czwórki musisz pomnożyć wykładniki: \\(\\left(4^2\\right)^{24} = 4^{48}\\), a NIE \\(4^{24}\\). To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Cztery takie same składniki to mnożenie przez 4, nie przez 24 ani przez inne liczby. \\(4 = 4^1\\) - to też potęga czwórki, która zwiększa wykładnik o 1.
\n
⚠️ Uwaga: Gdy dodajesz jednakowe potęgi \\(n \\cdot a^k = a^1 \\cdot a^k = a^{k+1}\\) tylko gdy \\(n = a\\). Tu akurat \\(n = 4\\) i podstawa też jest 4 - korzystamy z \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Zapis jako iloczyn
\n

\\[4\\cdot 16^{24} = 4^1 \\cdot (4^2)^{24} = 4^1 \\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]

\n
Sposób 2 - Zamiana \\(16 = 4^2\\) od razu
\n

\\(16^{24} = (4^2)^{24} = 4^{48}\\). Sumujemy cztery takie składniki:
\\[4\\cdot 4^{48} = 4^{49}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(n\\cdot a^k \\ne a^{nk}\\). Tu stosujemy \\(4\\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = 4^{49}\\).

"}]}