{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych\njest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich (7.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma\ndługość\n. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n,\n,\nStąd\nlub\nDrugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc\nobwód jest równy 60 cm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:\n, gdzie x jest\ndługością krótszej przyprostokątnej\nalbo\n• zapisze układ równań, np.:\n2\n2\n2\n26\na\nb\ni\n14\nb\na\n, gdzie a jest długością krótszej oraz\nb długością dłuższej przyprostokątnej\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni, że\nrozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.\n14\nx +\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx\n2\n2\n28\n196\n676\nx\nx\nx\n2\n14\n240\n0\nx\nx\n10\nx =\n24\nx = -\n(\n)\n2\n2\n2\n14\n26\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(P(A) = \\frac{12}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru \\(\\{1, 2, 4, 5, 10\\}\\), więc każda para \\((a, b)\\) to jedno zdarzenie elementarne:\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Szukamy par \\((a, b)\\), dla których \\(\\frac{a}{b} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(b \\mid a\\) (b dzieli a).**\n\nAnalizuję każdą możliwą pierwszą liczbę \\(a\\):\n\n| Pierwsza liczba \\(a\\) | Które \\(b \\in \\{1,2,4,5,10\\}\\)$ dzielą \\(a\\)? | Sprzyjające pary |\n| \\(a = 1\\) | tylko \\(b = 1\\): \\(\\frac{1}{1}=1\\) | \\((1,1)\\) - **1 para** |\n| \\(a = 2\\) | \\(b = 1\\): \\(\\frac{2}{1}=2\\); \\(b = 2\\): \\(\\frac{2}{2}=1\\) | \\((2,1),(2,2)\\) - **2 pary** |\n| \\(a = 4\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{4}{1}=4\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{4}{2}=2\\); \\(b=4\\): \\(\\frac{4}{4}=1\\) | \\((4,1),(4,2),(4,4)\\) - **3 pary** |\n| \\(a = 5\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{5}{1}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{5}{5}=1\\) | \\((5,1),(5,5)\\) - **2 pary** |\n| \\(a = 10\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{10}{1}=10\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{10}{2}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{10}{5}=2\\); \\(b=10\\): \\(\\frac{10}{10}=1\\) | \\((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\\) - **4 pary** |\n\n**Łączna liczba sprzyjających zdarzeń:**\n\\[|A| = 1 + 2 + 3 + 2 + 4 = 12\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez uzupełnienie (zdarzenie przeciwne)\n\nŁatwiej czasem policzyć, kiedy iloraz **nie jest** liczbą całkowitą, i odjąć od 1.\n\nSprawdzam pary, dla których \\(\\frac{a}{b} \\notin \\mathbb{Z}\\):\n\n- \\(a=1\\): \\(b \\in \\{2,4,5,10\\}\\) - **4 pary** nie całkowite\n- \\(a=2\\): \\(b \\in \\{4,5,10\\}\\) - **3 pary**\n- \\(a=4\\): \\(b \\in \\{5,10\\}\\) - **2 pary**\n- \\(a=5\\): \\(b \\in \\{2,4,10\\}\\) - **3 pary**\n- \\(a=10\\): \\(b \\in \\{4\\}\\) - **1 para** (bo \\(\\frac{10}{4} = 2{,}5\\))\n\n\\[|A'| = 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 13\\]\n\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{13}{25} = \\frac{12}{25}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to moc przestrzeni zdarzeń elementarnych.\n\nWzór uzupełnienia:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2, licząc zdarzenie przeciwne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że ta sama liczba może się pojawić dwa razy - para \\((2,2)\\) jest możliwa! Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), nie \\(20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(\\frac{a}{b}\\) musi być liczbą **całkowitą** - nie wystarczy, że jest liczbą wymierną. Para \\((2,4)\\) daje \\(\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\), co **nie jest** liczbą całkowitą. Typowy błąd: zliczenie par, gdzie iloraz jest po prostu \"ładny\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność ma znaczenie - para \\((2,4)\\) i \\((4,2)\\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne. \\(\\frac{4}{2}=2\\) ✓ sprzyjające, ale \\(\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}\\) ✗ nie sprzyjające.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda klasyczna (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))\nLosujemy parę \\((x, y)\\) ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego. \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).\n\nSzukamy par, gdzie \\(\\dfrac{x}{y} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(y\\) dzieli \\(x\\):\n\nSystematycznie wypisujemy:\n- \\(x=1\\): tylko \\(y=1\\) → \\((1,1)\\).\n- \\(x=2\\): \\(y=1,2\\) → \\((2,1),(2,2)\\).\n- \\(x=4\\): \\(y=1,2,4\\) → \\((4,1),(4,2),(4,4)\\).\n- \\(x=5\\): \\(y=1,5\\) → \\((5,1),(5,5)\\).\n- \\(x=10\\): \\(y=1,2,5,10\\) → \\((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\\).\n\nRazem: \\(1+2+3+2+4 = 12\\) par.\n\n\\[P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48.\\]\n\n### Sposób 2 - Tabela 5\\(\\times\\)5\nZaznaczamy w tabeli pary, dla których \\(\\tfrac{x}{y}\\) jest całkowite. Naliczamy 12 takich pól z 25. \\(P(A) = \\tfrac{12}{25}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega| = 25\\) LUB poprawne wypisanie wszystkich sprzyjających par.\n- **2 pkt** - obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{12}{25} = 0{,}48\\).\n- **Uwagi:** (1) wynik \\(\\tfrac{7}{20}\\) (losowanie bez zwracania) - **1 pkt**. (2) Zmiana kolejności par (pisanie \\((1,2)\\) zamiast \\((2,1)\\)) - **2 pkt**.\n\n**Trik:** \"Iloraz całkowity\" = mianownik dzieli licznik. Systematycznie: dla każdego \\(x\\) wypisz jego dzielniki ze zbioru.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych
jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach
\n

płaskich (7.c).
Przykładowe rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma
długość
. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
,
,
Stąd
lub
Drugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc
obwód jest równy 60 cm.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.:
, gdzie x jest
długością krótszej przyprostokątnej
albo
• zapisze układ równań, np.:
2
2
2
26
a
b
i
14
b
a
, gdzie a jest długością krótszej oraz
b długością dłuższej przyprostokątnej
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to
\n

otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni, że
\n

rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.
\n

14
x +
(
)
2
2
2
14
26
x
x
2
2
28
196
676
x
x
x
2
14
240
0
x
x
10
x =
24
x = -
(
)
2
2
2
14
26
x
x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(P(A) = \\frac{12}{25}\\)

\n

Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie par sprzyjających

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych:

\n

Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru \\(\\{1, 2, 4, 5, 10\\}\\), więc każda para \\((a, b)\\) to jedno zdarzenie elementarne:
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]

\n

Szukamy par \\((a, b)\\), dla których \\(\\frac{a}{b} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(b \\mid a\\) (b dzieli a).

\n

Analizuję każdą możliwą pierwszą liczbę \\(a\\):

\n

| Pierwsza liczba \\(a\\) | Które \\(b \\in \\{1,2,4,5,10\\}\\)$ dzielą \\(a\\)? | Sprzyjające pary |
| \\(a = 1\\) | tylko \\(b = 1\\): \\(\\frac{1}{1}=1\\) | \\((1,1)\\) - 1 para |
| \\(a = 2\\) | \\(b = 1\\): \\(\\frac{2}{1}=2\\); \\(b = 2\\): \\(\\frac{2}{2}=1\\) | \\((2,1),(2,2)\\) - 2 pary |
| \\(a = 4\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{4}{1}=4\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{4}{2}=2\\); \\(b=4\\): \\(\\frac{4}{4}=1\\) | \\((4,1),(4,2),(4,4)\\) - 3 pary |
| \\(a = 5\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{5}{1}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{5}{5}=1\\) | \\((5,1),(5,5)\\) - 2 pary |
| \\(a = 10\\) | \\(b=1\\): \\(\\frac{10}{1}=10\\); \\(b=2\\): \\(\\frac{10}{2}=5\\); \\(b=5\\): \\(\\frac{10}{5}=2\\); \\(b=10\\): \\(\\frac{10}{10}=1\\) | \\((10,1),(10,2),(10,5),(10,10)\\) - 4 pary |

\n

Łączna liczba sprzyjających zdarzeń:
\\[|A| = 1 + 2 + 3 + 2 + 4 = 12\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez uzupełnienie (zdarzenie przeciwne)

\n

Łatwiej czasem policzyć, kiedy iloraz nie jest liczbą całkowitą, i odjąć od 1.

\n

Sprawdzam pary, dla których \\(\\frac{a}{b} \\notin \\mathbb{Z}\\):

\n\n

\\[|A'| = 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 13\\]

\n

\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{13}{25} = \\frac{12}{25}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to moc przestrzeni zdarzeń elementarnych.

\n

Wzór uzupełnienia:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2, licząc zdarzenie przeciwne.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Losowanie ze zwracaniem oznacza, że ta sama liczba może się pojawić dwa razy - para \\((2,2)\\) jest możliwa! Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), nie \\(20\\).
\n
⚠️ Uwaga: Iloraz \\(\\frac{a}{b}\\) musi być liczbą całkowitą - nie wystarczy, że jest liczbą wymierną. Para \\((2,4)\\) daje \\(\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\), co nie jest liczbą całkowitą. Typowy błąd: zliczenie par, gdzie iloraz jest po prostu "ładny".
\n
⚠️ Uwaga: Kolejność ma znaczenie - para \\((2,4)\\) i \\((4,2)\\) to dwa różne zdarzenia elementarne. \\(\\frac{4}{2}=2\\) ✓ sprzyjające, ale \\(\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}\\) ✗ nie sprzyjające.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48\\).

\n
Sposób 1 - Metoda klasyczna (karta wzorów: \\(P(A) = \\tfrac{|A|}{|\\Omega|}\\))
\n

Losujemy parę \\((x, y)\\) ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego. \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).

\n

Szukamy par, gdzie \\(\\dfrac{x}{y} \\in \\mathbb{Z}\\), czyli \\(y\\) dzieli \\(x\\):

\n

Systematycznie wypisujemy:

\n\n

Razem: \\(1+2+3+2+4 = 12\\) par.

\n

\\[P(A) = \\dfrac{12}{25} = 0{,}48.\\]

\n
Sposób 2 - Tabela 5\\(\\times\\)5
\n

Zaznaczamy w tabeli pary, dla których \\(\\tfrac{x}{y}\\) jest całkowite. Naliczamy 12 takich pól z 25. \\(P(A) = \\tfrac{12}{25}\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: "Iloraz całkowity" = mianownik dzieli licznik. Systematycznie: dla każdego \\(x\\) wypisz jego dzielniki ze zbioru.

"}]}