{"id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są: wyraz\n1\n8\na = i suma trzech\npoczątkowych wyrazów tego ciągu\n3\n33\nS =\n. Oblicz różnicę 16\n13\na\na\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.\nW tym celu stosujemy wzory na sumę częściową\n3\n1\n3\n3\n33\nS\na\nr\ni\n1\n8\na =\nlub zapisujemy\nrównanie\n1\n1\n1\n2\n33\na\na\nr\na\nr\nObliczamy r:\n3\nr =\nNastępnie obliczamy różnicę 16\n13\na\na\n, jako 3r lub po wyznaczeniu\n16\na i\n13\na , czyli\n53\n3\n15\n8\n16\n⋅\na\n,\n44\n3\n12\n8\n13\n⋅\na\nZatem 16\n13\n3\n9\na\na\nr\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy różnicę ciągu\n3\nr =\n(lub 3\n9\nr =\n) lub obliczy wartość\n1\n11\na\nr\n, lub obliczy\nwartość\n2\n11\na =\n, lub zapisze, że 16\n13\n3\na\na\nr\n, lub obliczy\n3\n14\na =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy różnicę 16\n13\na\na\n9\nUwagi\n1. Jeśli zdający przyjmuje\n33\nn =\nlub\n3\n33\na =\ni nie przedstawia poprawnej metody\nobliczenia różnicy 16\n13\na\na\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający poda wartość\n3\nr =\ni zapisze 16\n13\na\na\n3\n9\nr\n, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 50\n\n## Sposób 1 - Kluczowa właściwość ciągu arytmetycznego (symetria)\n\n**Obserwacja:** w ciągu arytmetycznym, jeśli dwa indeksy dają tę samą sumę, to odpowiadające wyrazy mają tę samą sumę.\n\nSprawdźmy sumy indeksów:\n\n\\[21 + 30 = 51, \\qquad 24 + 27 = 51, \\qquad 25 + 26 = 51\\]\n\nWszystkie pary mają tę samą sumę indeksów! Korzystamy z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\n\\[a_{21} + a_{30} = (a_1 + 20r) + (a_1 + 29r) = 2a_1 + 49r\\]\n\\[a_{24} + a_{27} = (a_1 + 23r) + (a_1 + 26r) = 2a_1 + 49r\\]\n\\[a_{25} + a_{26} = (a_1 + 24r) + (a_1 + 25r) = 2a_1 + 49r\\]\n\n**Wszystkie trzy dwójki mają tę samą sumę**, oznaczmy ją \\(S\\).\n\nZatem:\n\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = (a_{21} + a_{30}) + (a_{24} + a_{27}) = S + S = 2S = 100\\]\n\n\\[\\boxed{S = a_{25} + a_{26} = 50}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie, przez wyraz środkowy\n\nW ciągu arytmetycznym możemy wyrazić każdy wyraz przez **wyraz środkowy** układu. Zauważamy, że indeksy \\(21, 24, 27, 30\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Ich środek to:\n\n\\[\\frac{21 + 30}{2} = 25{,}5\\]\n\nCzyli \"środkiem\" czterech wyrazów jest punkt pomiędzy \\(a_{25}\\) a \\(a_{26}\\). Zapiszmy każdy wyraz przez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (korzystając z różnicy \\(r\\)):\n\n\\[a_{21} = a_{25} - 4r, \\qquad a_{30} = a_{26} + 4r\\]\n\\[a_{24} = a_{25} - r, \\qquad a_{27} = a_{26} + r\\]\n\nSumujemy:\n\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30}\\]\n\\[= (a_{25} - 4r) + (a_{25} - r) + (a_{26} + r) + (a_{26} + 4r)\\]\n\\[= 2a_{25} + 2a_{26} + (-4r - r + r + 4r)\\]\n\\[= 2(a_{25} + a_{26}) + 0 = 100\\]\n\n\\[\\boxed{a_{25} + a_{26} = 50}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do rozpisania poszczególnych wyrazów w Sposobie 2.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność \"średniej arytmetycznej\":\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nTo jest szczególny przypadek ogólniejszej zasady: jeśli \\(i + j = k + l\\), to \\(a_i + a_j = a_k + a_l\\). Tej własności użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - zadanie jest rozwiązywalne bez nich. Jeśli próbujesz wyznaczyć oba te parametry oddzielnie, to błędna droga (masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe spostrzeżenie to: \\(21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26 = 51\\). Jeśli tego nie zauważysz, rozwiązanie algebraiczne (Sposób 2) zawsze działa - różnice \\(r\\) znoszą się symetrycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić sumę czterech wyrazów z sumą pary - wynik \\(2S = 100\\) daje \\(S = 50\\), nie \\(S = 100\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{25} + a_{26} = 50\\).\n\n### Sposób 1 - Zapis każdego wyrazu względem \\(a_{25}, a_{26}\\) (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{k} + (n-k)r\\))\nWyrażamy podane wyrazy poprzez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (różnica ciągu \\(= r\\)):\n- \\(a_{21} = a_{25} - 4r\\),\n- \\(a_{24} = a_{25} - r\\) (lub \\(a_{26} - 2r\\)),\n- \\(a_{27} = a_{26} + r\\),\n- \\(a_{30} = a_{26} + 4r\\).\n\nSuma:\n\\[a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30} = (a_{25}-4r)+(a_{25}-r)+(a_{26}+r)+(a_{26}+4r) = 2a_{25}+2a_{26} = 2(a_{25}+a_{26}).\\]\n\nZatem \\(2(a_{25}+a_{26}) = 100\\), czyli \\(\\boxed{a_{25}+a_{26}=50}\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria indeksów\nZauważmy, że pary indeksów są \"symetryczne\" względem środka \\(\\tfrac{25+26}{2}=25{,}5\\):\n- \\(21\\) i \\(30\\): suma indeksów \\(= 51\\);\n- \\(24\\) i \\(27\\): suma indeksów \\(= 51\\);\n- \\(25\\) i \\(26\\): suma indeksów \\(= 51\\).\n\nW ciągu arytmetycznym: jeśli \\(m+n = p+q\\), to \\(a_{m}+a_{n} = a_{p}+a_{q}\\).\n\nStąd \\(a_{21}+a_{30} = a_{24}+a_{27} = a_{25}+a_{26}\\). Suma wszystkich czterech \\(=2(a_{25}+a_{26})=100\\) → \\(a_{25}+a_{26}=50\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapis równości w postaci równoważnej (np. \\(a_{25}+a_{26}+a_{25}+a_{26}=100\\) lub \\(4a_{1}+98r=100\\)).\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie: \\(a_{25}+a_{26}=50\\).\n- **0 pkt** - jeśli zapisano tylko \\(a_{25}+a_{26}=50\\) bez uzasadnienia; pomyłka z ciągiem geometrycznym.\n\n**Trik:** W ciągu arytmetycznym wyrazy o symetrycznych indeksach mają stałą sumę - to klucz do \"sprytnych\" zadań.","image":"img/matematyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
W ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, dane są: wyraz
1
8
a = i suma trzech
początkowych wyrazów tego ciągu
3
33
S =
. Oblicz różnicę 16
13
a
a
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n
\n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone w kontekście
praktycznym (5.c).
Przykładowe rozwiązanie
Wyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.
W tym celu stosujemy wzory na sumę częściową
3
1
3
3
33
S
a
r
i
1
8
a =
lub zapisujemy
równanie
1
1
1
2
33
a
a
r
a
r
Obliczamy r:
3
r =
Następnie obliczamy różnicę 16
13
a
a
, jako 3r lub po wyznaczeniu
16
a i
13
a , czyli
53
3
15
8
16
⋅
a
,
44
3
12
8
13
⋅
a
Zatem 16
13
3
9
a
a
r
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy różnicę ciągu
3
r =
(lub 3
9
r =
) lub obliczy wartość
1
11
a
r
, lub obliczy
wartość
2
11
a =
, lub zapisze, że 16
13
3
a
a
r
, lub obliczy
3
14
a =
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy różnicę 16
13
a
a
9
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający przyjmuje
\n

33
n =
lub
3
33
a =
i nie przedstawia poprawnej metody
obliczenia różnicy 16
13
a
a
, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający poda wartość
\n

3
r =
i zapisze 16
13
a
a
3
9
r
, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 50

\n

Sposób 1 - Kluczowa właściwość ciągu arytmetycznego (symetria)

\n

Obserwacja: w ciągu arytmetycznym, jeśli dwa indeksy dają tę samą sumę, to odpowiadające wyrazy mają tę samą sumę.

\n

Sprawdźmy sumy indeksów:

\n

\\[21 + 30 = 51, \\qquad 24 + 27 = 51, \\qquad 25 + 26 = 51\\]

\n

Wszystkie pary mają tę samą sumę indeksów! Korzystamy z ogólnego wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):

\n

\\[a_{21} + a_{30} = (a_1 + 20r) + (a_1 + 29r) = 2a_1 + 49r\\]
\\[a_{24} + a_{27} = (a_1 + 23r) + (a_1 + 26r) = 2a_1 + 49r\\]
\\[a_{25} + a_{26} = (a_1 + 24r) + (a_1 + 25r) = 2a_1 + 49r\\]

\n

Wszystkie trzy dwójki mają tę samą sumę, oznaczmy ją \\(S\\).

\n

Zatem:
\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = (a_{21} + a_{30}) + (a_{24} + a_{27}) = S + S = 2S = 100\\]

\n

\\[\\boxed{S = a_{25} + a_{26} = 50}\\]

\n

Sposób 2 - Algebraicznie, przez wyraz środkowy

\n

W ciągu arytmetycznym możemy wyrazić każdy wyraz przez wyraz środkowy układu. Zauważamy, że indeksy \\(21, 24, 27, 30\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Ich środek to:

\n

\\[\\frac{21 + 30}{2} = 25{,}5\\]

\n

Czyli "środkiem" czterech wyrazów jest punkt pomiędzy \\(a_{25}\\) a \\(a_{26}\\). Zapiszmy każdy wyraz przez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (korzystając z różnicy \\(r\\)):

\n

\\[a_{21} = a_{25} - 4r, \\qquad a_{30} = a_{26} + 4r\\]
\\[a_{24} = a_{25} - r, \\qquad a_{27} = a_{26} + r\\]

\n

Sumujemy:
\\[a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30}\\]
\\[= (a_{25} - 4r) + (a_{25} - r) + (a_{26} + r) + (a_{26} + 4r)\\]
\\[= 2a_{25} + 2a_{26} + (-4r - r + r + 4r)\\]
\\[= 2(a_{25} + a_{26}) + 0 = 100\\]

\n

\\[\\boxed{a_{25} + a_{26} = 50}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do rozpisania poszczególnych wyrazów w Sposobie 2.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność "średniej arytmetycznej":
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
To jest szczególny przypadek ogólniejszej zasady: jeśli \\(i + j = k + l\\), to \\(a_i + a_j = a_k + a_l\\). Tej własności użyliśmy w Sposobie 1.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz znać \\(a_1\\) ani \\(r\\) - zadanie jest rozwiązywalne bez nich. Jeśli próbujesz wyznaczyć oba te parametry oddzielnie, to błędna droga (masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi).
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe spostrzeżenie to: \\(21 + 30 = 24 + 27 = 25 + 26 = 51\\). Jeśli tego nie zauważysz, rozwiązanie algebraiczne (Sposób 2) zawsze działa - różnice \\(r\\) znoszą się symetrycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić sumę czterech wyrazów z sumą pary - wynik \\(2S = 100\\) daje \\(S = 50\\), nie \\(S = 100\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a_{25} + a_{26} = 50\\).

\n
Sposób 1 - Zapis każdego wyrazu względem \\(a_{25}, a_{26}\\) (karta wzorów: \\(a_{n} = a_{k} + (n-k)r\\))
\n

Wyrażamy podane wyrazy poprzez \\(a_{25}\\) i \\(a_{26}\\) (różnica ciągu \\(= r\\)):

\n\n

Suma:
\\[a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30} = (a_{25}-4r)+(a_{25}-r)+(a_{26}+r)+(a_{26}+4r) = 2a_{25}+2a_{26} = 2(a_{25}+a_{26}).\\]

\n

Zatem \\(2(a_{25}+a_{26}) = 100\\), czyli \\(\\boxed{a_{25}+a_{26}=50}\\).

\n
Sposób 2 - Symetria indeksów
\n

Zauważmy, że pary indeksów są "symetryczne" względem środka \\(\\tfrac{25+26}{2}=25{,}5\\):

\n\n

W ciągu arytmetycznym: jeśli \\(m+n = p+q\\), to \\(a_{m}+a_{n} = a_{p}+a_{q}\\).

\n

Stąd \\(a_{21}+a_{30} = a_{24}+a_{27} = a_{25}+a_{26}\\). Suma wszystkich czterech \\(=2(a_{25}+a_{26})=100\\) → \\(a_{25}+a_{26}=50\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: W ciągu arytmetycznym wyrazy o symetrycznych indeksach mają stałą sumę - to klucz do "sprytnych" zadań.

"}]}