Zadanie 32. (5 pkt)
Dane są punkty
(
)
4,0
A = -
i
(
)
2,9
M =
oraz prosta k o równaniu
2
10
y
x
. Wierzchołek
B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek
C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 32. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
równanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b,
mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a
w równaniu kierunkowym oraz interpretuje geometrycznie układ
dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8.b, 8.d).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
M
B
A
Prosta AM przechodzi przez punkty
(
)
4,0
A = -
i
(
)
2,9
M =
, więc jej równanie ma postać
(
)
9
4
2
4
y
x
, czyli
3
6
2
y
x
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Współrzędne punktu C obliczymy, rozwiązując układ równań:
3
6
2
y
x
i
2
10
y
x
Stąd
3
6
2
10
2 x
x
,
7
4
2 x =
,
8
7
x =
, a
3 8
12
54
6
6
2 7
7
7
y =
⋅
Zatem
8 54
,
7
7
C
=
. Wynika stąd, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C
na podstawę AB jest równa
54
7
C
h
y
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
1
1
54
243
5
9
34
2
2
7
7
7
ABC
P
AB h
⋅
⋅
⋅⋅
II sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
N
B
A
M
Wyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt
(
)
2,9
M =
:
(
)
2
2
9
y
x
,
2
13
y
x
Niech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox , więc
(
)
13
2 ,0
N =
. Zatem
(
)
13
21
2
2
4
AN =
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Z równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ANM, a skala
tego podobieństwa jest równa
21
2
9
18
6
21
7
AB
s
AN
Pole trójkąta ANM jest równe
1
1 21
21 9
9
9
2
2
2
4
ANM
P
AN
⋅
⋅
⋅
⋅
,
więc pole trójkąta ABC jest równe
2
2
6
21 9
243
5
34
7
4
7
7
ABC
ANM
P
s
P
⋅
⋅
⋅
Uwaga
Mając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając
ze wzoru
(
)(
) (
)(
)
1
2
ABC
B
A
C
A
B
A
C
A
P
x
x
y
y
y
y
x
x
⋅
:
(
)
1
54
8
1
54
243
5
5
4
0
0
4
9
34
2
7
7
2
7
7
7
ABC
P
⋅
-⋅
⋅
⋅
III sposób
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
0
C
D
B
A
h
M
Prosta k o równaniu
2
10
y
x
przecina oś Ox w punkcie B, więc
(
)
5,0
B =
Zatem
(
)
5
4
9
AB =
Niech h
CD
. Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy 2
-, więc
1
2
DA
h
Zatem
1
9
2
AD
h
Współczynnik kierunkowy prostej AM jest równy
(
)
9 0
3
2
4
2
AM
a
, ale
AM
CD
a
AD
, więc
3
2
CD
AD =
,
1
2
3
2
9
h
h
,
3
2
27
2
h
h
,
7
27
2 h =
,
54
7
h =
Pole trójkąta ABC jest równe
1
1
54
243
5
9
34
2
2
7
7
7
ABC
P
AB h
⋅
⋅
⋅⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AM:
3
2
a
albo
• wyznaczy współrzędne punktu B:
(
)
5,0
B =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• zapisze równanie prostej AM:
3
6
2
y
x
albo
• wyznaczy równanie prostej MN:
2
13
y
x
i zapisze, że trójkąty ABC i ANM są
podobne,
albo
• zapisze zależność między długościami odcinków CD i DA:
3
2
CD
AD =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość podstawy AB trójkąta:
9
AB =
oraz zapisze równanie, z którego można
wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu C
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:
8 54
,
7
7
C
=
(lub drugą współrzędną tego punktu)
i nie zapisze współrzędnych punktu B,
albo
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:
6
7
s =
(lub skalę
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :
1
7
6
s =
),
albo
• obliczy pole trójkąta ANM:
1 21 9
2
2
ANM
P
⋅
⋅ i zapisze, że
2
ABC
ANM
P
s P
⋅
, gdzie s oznacza
skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM,
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta ABC,
np.:
1
2
3
2
9
h
h
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy drugą współrzędną wierzchołka C oraz długość podstawy AB trójkąta ABC:
54
7
C
y
,
9
AB =
albo
• obliczy współrzędne wierzchołków B i C:
(
)
5,0
B =
,
8 54
,
7
7
C
=
,
albo
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM:
6
7
s =
(lub skalę
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC :
1
7
6
s =
) oraz pole trójkąta ANM:
1 21 9
2
2
ANM
P
⋅
⋅ i zapisze, że
2
ABC
ANM
P
s P
⋅
,
albo
• obliczy wysokość CD trójkąta ABC:
54
7
h =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pole trójkąta ABC:
243
7
ABC
P
Uwaga
Akceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np. 34,714.
Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\).
\nOd czego zaczynamy: Znamy oba miejsca zerowe, więc możemy od razu zapisać funkcję w postaci iloczynowej.
\nPostać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - (-2))(x - 6) = a(x + 2)(x - 6)\\]
Wyznaczamy \\(a\\) - korzystamy z warunku, że wykres przechodzi przez \\(A = (1, -5)\\), czyli \\(f(1) = -5\\):
\\[f(1) = a(1 + 2)(1 - 6) = a \\cdot 3 \\cdot (-5) = -15a\\]
\\[-15a = -5\\]
\\[a = \\frac{1}{3}\\]
Piszemy ostateczną postać funkcji:
\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 2)(x - 6)\\]
Ponieważ \\(a = \\frac{1}{3} > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze - funkcja ma minimum (najniższy punkt to wierzchołek).
\nWyznaczamy wierzchołek: Oś symetrii paraboli przebiega w połowie odległości między miejscami zerowymi:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 6}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]
Najmniejsza wartość funkcji:
\\[f(2) = \\frac{1}{3}(2 + 2)(2 - 6) = \\frac{1}{3} \\cdot 4 \\cdot (-4) = \\frac{-16}{3}\\]
Wynik: Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) to \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\).
\nRozwijamy postać iloczynową (z wyznaczonym wcześniej \\(a = \\frac{1}{3}\\)):
\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 2)(x - 6) = \\frac{1}{3}(x^2 - 4x - 12) = \\frac{1}{3}x^2 - \\frac{4}{3}x - 4\\]
Mamy więc: \\(a = \\frac{1}{3}\\), \\(b = -\\frac{4}{3}\\), \\(c = -4\\).
\nWyznaczamy wierzchołek wzorem:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-\\frac{4}{3}}{2 \\cdot \\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{2}{3}} = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{2} = 2\\]
Obliczamy \\(\\Delta\\):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^2 - 4 \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot (-4) = \\frac{16}{9} + \\frac{16}{3} = \\frac{16}{9} + \\frac{48}{9} = \\frac{64}{9}\\]
Minimalna wartość (rzędna wierzchołka):
\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{\\frac{64}{9}}{4 \\cdot \\frac{1}{3}} = -\\frac{\\frac{64}{9}}{\\frac{4}{3}} = -\\frac{64}{9} \\cdot \\frac{3}{4} = -\\frac{192}{36} = -\\frac{16}{3}\\]
Wynik zgodny: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{16}{3}}\\). ✓
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 - znając miejsca zerowe, od razu zapisaliśmy funkcję.
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia minimalnej wartości funkcji.
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 przy wyznaczaniu rzędnej wierzchołka.
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
\n⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to założenie \\(a = 1\\) bez wyznaczenia go z punktu \\(A\\). Zawsze musisz skorzystać z dodatkowego warunku (tu: punkt \\(A\\)), żeby wyznaczyć \\(a\\)!\n
⚠️ Uwaga: Gdy parabola ma dwa miejsca zerowe, oś symetrii (i wierzchołek) leżą dokładnie w połowie między nimi. Wzór \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\) jest tu najszybszy - nie trzeba liczyć \\(\\Delta\\).\n
⚠️ Uwaga: Minimalna wartość funkcji to wartość \\(f(p)\\), czyli rzędna wierzchołka \\(q\\) - nie mylić z odciętą wierzchołka \\(p\\)! Tu \\(p = 2\\) (gdzie jest minimum), a \\(q = -\\frac{16}{3}\\) (jak małe jest to minimum).\n
Poprawna odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji \\(= -\\dfrac{16}{3}\\).
\nZnamy miejsca zerowe, więc \\(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2}) = a(x+2)(x-6)\\).
\nPodstawiamy punkt \\(A=(1,-5)\\):
\\[-5 = a(1+2)(1-6) = a\\cdot 3\\cdot(-5) = -15a \\Rightarrow a = \\dfrac{1}{3}.\\]
Funkcja: \\(f(x) = \\dfrac{1}{3}(x+2)(x-6)\\).
\nNajmniejsza wartość (karta wzorów): osiągana w wierzchołku, \\(x_{0} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \\dfrac{-2+6}{2} = 2\\).
\n\\[f(2) = \\dfrac{1}{3}(2+2)(2-6) = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\cdot (-4) = -\\dfrac{16}{3}.\\]
\nUkład trzech równań:
\\[a(-2)^{2} + b(-2) + c = 0 \\Rightarrow 4a - 2b + c = 0,\\]
\\[a\\cdot 36 + 6b + c = 0,\\]
\\[a + b + c = -5.\\]
Odejmując pierwsze od drugiego: \\(32a + 8b = 0 \\Rightarrow b = -4a\\).
\nZ pierwszego: \\(c = -4a + 2b = -4a - 8a = -12a\\).
\nPodstawiając do trzeciego: \\(a + (-4a) + (-12a) = -5 \\Rightarrow -15a = -5 \\Rightarrow a = \\tfrac{1}{3}\\), \\(b = -\\tfrac{4}{3}\\), \\(c = -4\\).
\nWierzchołek: \\(x_{0} = -\\tfrac{b}{2a} = -\\tfrac{-4/3}{2/3} = 2\\).
\n\\[f(2) = \\tfrac{1}{3}\\cdot 4 - \\tfrac{4}{3}\\cdot 2 - 4 = \\tfrac{4}{3} - \\tfrac{8}{3} - 4 = -\\tfrac{4}{3} - 4 = -\\tfrac{16}{3}.\\]
\nTrik: Postać iloczynowa \\(f(x) = a(x-x_{1})(x-x_{2})\\) jest najkrótszą drogą, gdy znasz miejsca zerowe.
"}]}